Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Poprawi lem 10 pa´
zdziernika 2012, godz 17:20
Znajdziemy teraz wz´or na odleg lo´s´c punktu (x
0
, y
0
) od prostej ` opisanej r´owna-
niem ax + by + c = 0 . Oczywi´scie po to, by to r´ownanie przedstawia lo prosta
,
trzeba
za lo˙zy´c, ˙ze wektor [a, b] ma co najmniej jedna
,
wsp´o lrze
,
dna
,
r´o˙zna
,
od 0 . Oznacza to,
˙ze a
2
+ b
2
> 0 .
Za l´o˙zmy, ˙ze ruszamy z punktu (x
0
, y
0
) i poruszamy sie
,
ze sta la
,
pre
,
dko´scia
,
wek-
torowa
,
[a, b] . Po czasie t przemie´scimy sie
,
o wektor t · [a, b] , znajdziemy sie
,
wie
,
c w
punkcie (x
0
, y
0
) + t · [a, b] = (x
0
+ at, y
0
+ bt) . Poniewa˙z poruszamy sie
,
w kierunku
prostopad lym do prostej ` , wie
,
c pre
,
dzej czy p´o´zniej natrafimy na nia
,
— w tym przy-
padku mo˙ze zdarzy´c sie
,
, ˙ze t < 0 , co oznacza loby, ˙ze byli´smy ju˙z w przesz lo´sci na
prostej i oddalamy sie
,
od niej. Za l´o˙zmy, ˙ze po czasie t
1
trafili´smy w punkt pros-
tej ` . Mamy wie
,
c 0 = a(x
0
+ t
1
a) + b(y
0
+ t
1
b) + c = ax
0
+ by
0
+ c + t
1
(a
2
+ b
2
) ,
a sta
,
d wnioskujemy, ˙ze t
1
= −
ax
0
+by
0
+c
a
2
+b
2
. Wobec tego przemieszczenie r´owne jest
t
1
· [a, b] = −
ax
0
+by
0
+c
a
2
+b
2
· [a, b] , a to oznacza, ˙ze d lugo´s´c przebytej drogi, czyli od-
leg lo´s´c punktu (x
0
, y
0
) od prostej ` r´owna jest
−
ax
0
+ by
0
+ c
a
2
+ b
2
·
p
a
2
+ b
2
=
|ax
0
+ by
0
+ c|
√
a
2
+ b
2
.
Rozumuja
,
c analogicznie mo˙zemy otrzyma´c wz´or na odleg lo´s´c punktu od p lasz-
czyzny, szczeg´o ly dowodu pozostawiamy czytelnikom.
Twierdzenie 3.1 (o odleg lo´sci punktu od p laszczyzny)
Odleg lo´s´c punktu (x
0
, y
0
, z
0
) od p laszczyzny o r´ownaniu ax + by + cz + d = 0 r´owna
jest
|ax
0
+ by
0
+ cz
0
+ d|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
Wypada tu stwierdzi´c, ˙ze r´ownanie
0 = ax + by + cz + d = a
x +
ad
a
2
+b
2
+c
2
+ b
y +
bd
a
2
+b
2
+c
2
+
z +
cd
a
2
+b
2
+c
2
,
czyli r´ownanie
[a, b, c] ·
x −
−ad
a
2
+ b
2
+ c
2
, y −
−bd
a
2
+ b
2
+ c
2
, z −
−cd
a
2
+ b
2
+ c
2
= 0 ,
opisuje p laszczyzne
,
, kt´ora przechodzi przez punkt
−ad
a
2
+b
2
+c
2
,
−bd
a
2
+b
2
+c
2
,
−cd
a
2
+b
2
+c
2
i jest prostopad la do wektora [a, b, c] — suma wszystkich prostych prostopad lych do
prostej ` przechodza
,
cych przez ustalony punkt P ∈ ` jest p laszczyzna
,
przechodza
,
ca
,
przez punkt P prostopad la
,
do prostej ` .
1
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
Zajmiemy sie
,
teraz wzorem na pole r´ownoleg loboku o wierzcho lkach
(0, 0) ,
(x
1
, y
1
) ,
(x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) ,
(x
2
, y
2
) ,
wie
,
c r´ownoleg loboku rozpie
,
tego przez wektory ~v
1
= [x
1
, y
1
] i ~v
2
= [x
2
, y
2
] . Jak
wiemy, jest ono r´owne
p
k~v
1
k
2
· k~v
2
k
2
− (~v
1
· ~v
2
)
2
=
p
(x
2
1
+ y
2
1
) · (x
2
2
+ y
2
2
) − (x
1
x
2
+ y
1
y
2
)
2
=
=
p
x
2
1
· x
2
2
+ y
2
1
· x
2
2
+ x
2
1
· y
2
2
+ y
2
1
· y
2
2
− (x
2
1
x
2
2
+ 2x
1
x
2
y
1
y
2
+ y
2
1
y
2
2
) =
=
p
x
2
1
· y
2
2
+ y
2
1
· x
2
2
− 2x
1
x
2
y
1
y
2
=
p
(x
1
· y
2
− y
1
· x
2
)
2
= |x
1
· y
2
− y
1
· x
2
| =
=|
x
1
y
1
x
2
y
2
| .
Wykazali´smy wie
,
c, ˙ze zachodzi naste
,
puja
,
ce
Twierdzenie 3.2
Pole r´ownoleg loboku rozpie
,
tego przez wektory ~v
1
= [x
1
, y
1
] i ~v
2
= [x
2
, y
2
] jest
r´owne
|
x
1
y
1
x
2
y
2
| .
Wniosek 3.3
Wektory ~v
1
= [x
1
, y
1
] i ~v
2
= [x
2
, y
2
] sa
,
wsp´o lliniowe (czyli le˙za
,
na jednej prostej)
wtedy i tylko wtedy, gdy
x
1
y
1
x
2
y
2
= 0 .
Przyjmujemy, ˙ze wektor zerowy jest wsp´o lliniowy z ka˙zdym wektorem.
Znajdziemy teraz obraz punktu (x, y) w obrocie o ka
,
t β wok´o l punktu (0, 0) .
Niech r =
p
x
2
+ y
2
i niech α oznacza taki ka
,
t, ˙ze x = r cos α i y = r sin α . Po
obrocie o ka
,
t β wok´o l punktu (0,0) punkt (x, y) = (r cos α, r sin α) trafia w punkt
(x
0
, y
0
) = r cos(α + β), r sin(α + β)
=
= r cos α cos β − r sin α sin β, r sin α cos β + r cos α sin β
=
= (x cos β − y sin β, x sin β + y cos β) .
Udowodnimy teraz twierdzenie o zachowywaniu warto´sci wyznacznika
x
1
y
1
x
2
y
2
przy obrotach wok´o l punktu (0, 0) .
Twierdzenie 3.4 (o zachowywaniu warto´sci wyznacznika pary wektor´
ow)
Je´sli obrazem punktu (x
1
, y
1
) w obrocie o ka
,
t β wok´o l punktu (0, 0) jest punkt
(x
0
1
, y
0
1
) , a obrazem punktu (x
2
, y
2
) — punkt (x
0
2
, y
0
2
) , to
x
1
y
1
x
2
y
2
=
x
0
1
y
0
1
x
0
2
y
0
2
.
Dow´
od. Mamy x
0
1
= x
1
cos β − y
1
sin β , y
0
1
= x
1
sin β + y
1
cos β ,
x
0
2
= x
2
cos β − y
2
sin β , y
0
2
= x
2
sin β + y
2
cos β . Wynika sta
,
d, ˙ze
2
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
x
0
1
y
0
1
x
0
2
y
0
2
= x
0
1
y
0
2
− y
0
1
x
0
2
= (x
1
cos β − y
1
sin β)(x
2
sin β + y
2
cos β) −
−(x
1
sin β + y
1
cos β)(x
2
cos β − y
2
sin β) = x
1
x
2
(cos β sin β − sin β cos β) +
+ x
1
y
2
(cos
2
β + sin
2
β) − y
1
x
2
(sin
2
β + cos
2
β) + y
1
y
2
(sin β cos β − cos β sin β) =
= x
1
y
2
− y
1
x
2
=
x
1
y
1
x
2
y
2
. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Definicja 3.5 (dodatnio zorientowanej pary wektor´
ow)
Uporza
,
dkowana para wektor´ow niewsp´o liniowych ~v
1
= [x
1
, y
1
] , ~v
2
= [x
2
, y
2
] jest
dodatnio zorientowana wtedy i tylko wtedy, gdy
x
1
y
1
x
2
y
2
> 0 , w przypadku prze-
ciwnym para ta jest zorientowana ujemnie.
Za l´o˙zmy, ˙ze uporza
,
dkowana para wektor´ow niewsp´o liniowych ~v
1
= [x
1
, y
1
] ,
~v
2
= [x
2
, y
2
] jest dodatnio zorientowana. Mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze wektor ~v
1
= [x
1
, y
1
]
jest zaczepiony w punkcie (0, 0) , tzn. ten wektor zaczyna sie
,
w punkcie 0 = (0, 0) ,
a ko´
nczy sie
,
w punkcie (x
1
, y
1
) . Analogicznie wektor ~v
2
= [x
2
, y
2
] zaczyna sie
,
w punkcie 0 = (0, 0) , a ko´
nczy w punkcie (x
2
, y
2
) . Obr´o´cmy oba o ka
,
t β wok´o l
punktu 0 tak, by obraz (x
0
1
, y
0
1
) punktu (x
1
, y
1
) znalaz l sie
,
na dodatniej p´o losi OX .
Oznacza to, ˙ze x
0
1
> 0 i y
0
1
= 0 . Niech (x
0
2
, y
0
2
) be
,
dzie obrazem punktu (x
2
, y
2
)
w tym obrocie. Mamy 0 <
x
1
y
1
x
2
y
2
=
x
0
1
y
0
1
x
0
2
y
0
2
=
x
0
1
0
x
0
2
y
0
2
= x
0
1
y
0
2
, wie
,
c y
0
2
> 0 .
Wynika sta
,
d, ˙ze je´sli para wektor´ow ~v
1
, ~v
2
jest dodatnio zorientowana, to pierw-
szy nale˙zy obraca´c w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz´owek zegara, by trafi´c
na p´o lprosta
,
, na kt´orej le˙zy drugi (oczywi´scie mowa o obrocie o ka
,
t mniejszy ni˙z
π radian´ow). Oczywi´scie w przypadku pary zorientowanej ujemnie nale˙zy pierwszy
wektor obraca´c zgodnie z ruchem wskaz´owek zegara, by trafi´c na p´o lprosta
,
, na kt´orej
le˙zy drugi wektor.
Twierdzenie 3.6 (
o obje
,
to´
sci r´
ownoleg lo´
scianu rozpie
,
tego przez wektory
~
u,~
v,~
w∈R
3
)
Niech ~u = (u
1
, u
2
, u
3
) , ~v = (v
1
, v
2
, v
3
) , ~
w = (w
1
, w
2
, w
3
) . Wtedy obje
,
to´s´c r´owno-
leg lo´scianu rozpie
,
tego przez wektory ~u, ~v, ~
w (zaczepione w punkcie 0 ) r´owna jest
|(~u × ~v) · ~
w| = |
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
| ,
a jej kwadrat r´owny jest
~u · ~u
~u · ~v
~u · ~
w
~v · ~u
~v · ~v
~v · ~
w
~
w · ~u
~
w · ~v
~
w · ~
w
.
3
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
Dow´
od. Obje
,
to´s´c r´ownoleg lo´scianu r´owna jest iloczynowi pola podstawy przez jego
wysoko´s´c. Niech podstawa
,
be
,
dzie r´ownoleg lobok rozpie
,
ty przez wektory ~u i ~v . Pole
tego r´ownoleg loboku to k~u × ~vk . Trzeba wie
,
c znale´z´c wysoko´s´c. Wektor ~u × ~v jest
prostopad ly do ka˙zdego z wektor´ow ~u, ~v , wie
,
c wysoko´s´c jest odcinkien r´ownoleg lym
do wektora ~u × ~v . Innymi s lowy nale˙zy zrzutowa´c prostopadle wektor ~
w na prosta
,
wyznaczona
,
przez wektor ~u × ~v . Ten rzut to wektor
~
w·(~
u×~
v)
k~
u×~
vk
2
~u × ~v . Jego d lugo´s´c,
czyli wysoko´s´c r´ownoleg lo´scianu, to
~
w·(~
u×~
v)
k~
u×~
vk
. Wobec tego obje
,
to´s´c r´owna jest
k~u × ~vk ·
~
w·(~
u×~
v)
k~
u×~
vk
=
~w · (~u × ~v)
,
co mieli´smy udowodni´c. R´owno´s´c (~u × ~v) · ~
w =
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
wykazujemy bez
trudu rozwijaja
,
c wyznacznik wzgle
,
dem trzeciego wiersza (po przypomnieniu sobie
definicji iloczynu wektorowego).
R´owno´s´c
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
2
=
~u · ~u
~u · ~v
~u · ~
w
~v · ~u
~v · ~v
~v · ~
w
~
w · ~u
~
w · ~v
~
w · ~
w
wyka˙zemy p´o´zniej, gdy poznamy wie
,
cej w lasno´sci wyznacznik´ow.
Wniosek 3.7
Trzy wektory ~u, ~v, ~
w ∈ R
3
, zaczepione w punkcie ~0 = (0, 0, 0) le˙za
,
w jednej
p laszczy´znie wtedy i tylko wtedy, gdy
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
= 0 ⇐⇒
~u · ~u
~u · ~v
~u · ~
w
~v · ~u
~v · ~v
~v · ~
w
~
w · ~u
~
w · ~v
~
w · ~
w
= 0 .
Opisali´smy poprzednio obr´ot na p laszczy´znie wok´o l punktu (0, 0) . To pozwala
opisa´c natychmiast obr´ot w przestrzeni wok´o l osi OZ o ka
,
t β : obrazem punktu
(x, y, z) jest punkt (x
0
, y
0
, z
0
) przy czym x
0
= x cos β − y sin β , y
0
= x sin β + y cos β ,
z
0
= z . Obrazem punktu (x, y, z) w obrocie o ka
,
t β wok´o l osi OY jest punkt
(x cos β − z sin β, y, x sin β + z cos β) . Wreszcie obrazem punktu (x, y, z) w obrocie
o ka
,
t β wok´o l osi OX jest punkt (x, y cos β − z sin β, y sin β + z cos β) .
Mo˙zemy teraz udowodni´c (ale na wyk ladzie ten dow´od pomina
,
lem)
Twierdzenie 3.8 (o zachowaniu warto´sci wyznacznika tr´
ojki wektor´
ow)
Je´sli w obrocie wok´o l jednej z osi obrazem wektora ~v
1
= [x
1
, y
1
, z
1
] jest wektor
~v
0
1
= [x
0
1
, y
0
1
, z
0
1
] , obrazem wektora ~v
2
= [x
2
, y
2
, z
2
] — wektor ~v
0
2
= [x
0
2
, y
0
2
, z
0
2
] , a
4
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
wektora ~v
3
= [x
3
, y
3
, z
3
] — wektor ~v
0
3
= [x
0
3
, y
0
3
, z
0
3
] , to
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
=
x
0
1
y
0
1
z
0
1
x
0
2
y
0
2
z
0
2
x
0
3
y
0
3
z
0
3
Dow´
od. We wszystkich trzech przypadkach jest taki sam. Przeprowadzimy go dla
obrotu wok´ol osi OZ korzystaja
,
c z latwych do wykazania w lasno´sci wyznacznik´ow,
kt´ore jednak uzasadnimy p´o´zniej. Mamy
x
0
1
y
0
1
z
0
1
x
0
2
y
0
2
z
0
2
x
0
3
y
0
3
z
0
3
=
x
1
cos β − y
1
sin β
x
1
sin β + y
1
cos β
z
1
x
2
cos β − y
2
sin β
x
2
sin β + y
2
cos β
z
2
x
3
cos β − y
3
sin β
x
3
sin β + y
3
cos β
z
3
=
= cos β
x
1
x
1
sin β + y
1
cos β
z
1
x
2
x
2
sin β + y
2
cos β
z
2
x
3
x
3
sin β + y
3
cos β
z
3
− sin β
y
1
x
1
sin β + y
1
cos β
z
1
y
2
x
2
sin β + y
2
cos β
z
2
y
3
x
3
sin β + y
3
cos β
z
3
=
= cos β sin β
x
1
x
1
z
1
x
2
x
2
z
2
x
3
x
3
z
3
+ cos
2
β
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
−
− sin
2
β
y
1
x
1
z
1
y
2
x
2
z
2
y
3
x
3
z
3
− sin β cos β
y
1
y
1
z
1
y
2
y
2
z
2
y
3
y
3
z
3
=
powt´
orzone
=========
kolumny
cos
2
β
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
− sin
2
β
y
1
x
1
z
1
y
2
x
2
z
2
y
3
x
3
z
3
=
przestawiamy
==========
kolumny
cos
2
β
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
+ sin
2
β
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
=
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
.
Definicja 3.9 (tr´
ojki wektor´
ow dodatnio zorientowanej)
Uporza
,
dkowana tr´ojka niewsp´o lp laszczyznowych (tj. niele˙za
,
cych w jednej p laszczy´z-
nie) wektor´ow ~v
1
, ~v
2
, ~v
3
∈ R
3
jest dodatnio zorientowana w przestrzeni tr´ojwymia-
rowej wtedy i tylko wtedy, gdy
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
> 0 .
Z definicji wynika latwo, ˙ze je´sli tr´ojka (~v
1
, ~v
2
, ~v
3
) jest uk ladem dodatnio zorien-
towanym, to tr´ojka (~v
2
, ~v
1
, ~v
3
) uk ladem dodatnio zorientowanym nie jest — zmiana
kolejno´sci wierszy powoduje zmiane
,
znaku wyznacznika.
Mo˙zna i nale˙zy sobie wyobra˙za´c, ˙ze uk lad trzech wzajemnie prostopad lych wek-
tor´ow jest dodatnio zorientowany, gdy mo˙zna ten uk lad obr´oci´c (kilka razy, np. trzy
wok´o l r´o˙znych osi ) wok´o l osi uk ladu wsp´o lrze
,
dnych tak, by po tych obrotach wektor
~v
0
1
by l zgodnie r´ownoleg ly (czyli r´ownoleg ly i skierowany w te
,
sama
,
strone
,
) do wek-
tora ~i = (1, 0, 0) , wektor ~v
0
2
— do wektora ~j = (0, 1, 0) i wektor ~v
0
3
— do wektora
5
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
~k = (0, 0, 1) . Temu stwierdzeniu mo˙zna nada´c bardzo precyzyjne znaczenie i wtedy
je udowodni´c.
Gdy wektory nie sa
,
prostopad le, to za pomoca
,
kilku obrot´ow przekszta lcamy
pierwszy z tr´ojki w p´o lprosta
,
wyznaczona
,
przez ~i = (1, 0, 0) , drugi trafia w p´o lp lasz-
czyzne
,
{(x, y, z):
y > 0, z = 0} . Wyznacznik ma wtedy posta´c
x
0
1
0
0
x
0
2
y
0
2
0
x
0
3
y
0
3
z
0
3
, jest
wie
,
c dodatni, gdy z
3
> 0 .
Dodajmy, ˙ze iloczyn wektorowy wektor´ow ~v
1
, ~v
2
∈ R
3
mo˙zna zdefiniowa´c geo-
metrycznie. Oczywi´scie mimo u˙zycia innych s l´ow definiujemy dok ladnie ten sam wek-
tor. Iloczyn wektorowy v
1
× v
2
jest wektorem
prostopad lym do obu wektor´ow ~v
1
, ~v
2
,
o d lugo´sci r´ownej polu r´ownoleg loboku rozpie
,
tego przez te wektory,
o takim zwrocie, ˙ze tr´ojka ~v
1
, ~v
2
, ~v
1
× ~v
2
jest dodatnio zorientowana.
Zadania
1. Na paraboli y = x
2
znale´z´c punkt le˙za
,
cy najbli˙zej punktu (0, 2) . Znale´z´c kosinus
ka
,
ta mie
,
dzy wektorem [1, 0] i wektorem la
,
cza
,
cym punkt (0, 2) ze znalezionym
punktem.
2. Niech A = (−3, −3) , B = (5, −1) , C = (1, 5) . Znale´z´c ´srodek okre
,
gu opisanego
na tr´ojka
,
cie ABC i pole tego tr´ojka
,
ta. Wyja´sni´c, czy tr´ojka
,
t jest ostroka
,
tny,
prostoka
,
tny czy rozwartoka
,
tny.
3. Niech A = (1, 2) , B = (5, 4) , C = (3, 8) . Znale´z´c ´srodek okre
,
gu opisanego
na tr´ojka
,
cie ABC i pole tego tr´ojka
,
ta. Wyja´sni´c, czy tr´ojka
,
t jest ostroka
,
tny,
prostoka
,
tny czy rozwartoka
,
tny.
4. Obliczy´c wyznaczniki
1 −2
3
2
4 −1
−1
0 −3
,
1 −2
4
2
4
8
−1
3
9
,
1
3
5
−1
3
−5
2 111 −1
.
5. (1) Niech ~u =
6
6
3
i ~v =
1
4
8
. Znale´z´c wsp´o lrze
,
dne wektora ~
w :=
1
9
~u × ~v .
Znale´z´c d lugo´sci k~uk i k~vk wektor´ow ~u i ~v .
(2) Znale´z´c kosinusy obu ka
,
t´ow, kt´ore tworza
,
p laszczyzny o r´ownaniach:
6x + 6y + 3z = 15 i x + 4y + 8z = 13 .
(3) Niech A = (1, 1, 1) , B = A +
1
3
~u × ~
w , C = A +
1
3
~u × ~
w +
1
3
~v × ~
w ,
D = A +
1
3
~v × ~
w .
Znale´z´c pole czworoka
,
ta ABCD i jego ´srodek symetrii, je´sli ten czworoka
,
t
jest ´srodkowosymetryczny.
6
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
6. (1) Niech ~u =
1
2
3
i ~v =
3
2
1
. Znale´z´c wsp´o lrze
,
dne wektora ~
w := −
1
4
~u × ~v .
Znale´z´c d lugo´sci k~uk i k~vk wektor´ow ~u i ~v .
(2) Znale´z´c kosinusy obu ka
,
t´ow, kt´ore tworza
,
p laszczyzny o r´ownaniach:
x + 2y + 3z = 0
i
3x + 2y + z = 0 .
(3) Niech A = (1, −2, 1) , B = A+~u× ~
w , C = A+~u× ~
w+~v× ~
w , D = A+~v× ~
w .
Znale´z´c pole czworoka
,
ta ABCD i jego ´srodek symetrii, je´sli ten czworoka
,
t
jest ´srodkowosymetryczny.
(4) Znale´z´c punkt symetryczny do punktu E = (3, 0, 4) wzgle
,
dem p laszczyzny
x + 2y + 3z = 0 .
7. Niech A = (1, 1, 2) , B = (9, 1, 1) , C = (1, 3, 1) , O = (0, 0, 0) .
Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 = [0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .
Znale´z´c kosinusy obu ka
,
t´ow utworzonych przez p laszczyzne
,
ABC i p laszczyzne
,
o r´ownaniu x + y + z = 1 .
8. Niech A = (1, 1, 3) , B = (4, 1, 1) , C = (5, 2, 0) , O = (0, 0, 0) .
Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 = [0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny zawieraja
,
cej punkt O, kt´ora jest r´ownoleg la do
p laszczyzny ABC .
Znale´z´c kosinus ka
,
ta mie
,
dzy p laszczyzna
,
ABC i osia
,
OX .
9. Niech A = (16, 38, 55) , B = (−8, −10, −5) , C = (1, 2, 3) .
Znale´z´c jaki´s (niezerowy) wektor prostopad ly do p laszczyzny ABC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
10. Niech A = (16, 38, 55) , B = (−8, −10, −5) , C = (1, 2, 3) .
Znale´z´c ´srodek M
C
odcinka AB .
Znale´z´c punkt X na odcinku CM
C
, kt´ory dzieli ten odcinek w stosunku
2 : 1 , tzn. odleg lo´s´c punktu X od wierzcho lka C ma by´c dwukrotnie
wie
,
ksza od jego odleg lo´sci od punktu M
C
.
Znale´z´c dowolny punkt Y = (y
1
, y
2
, y
3
) , kt´ory le˙zy na dwusiecznej (to
p´
o lprosta) ka
,
ta ACB .
Informacja: d lugo´sci odcink´ow AC i BC sa
,
liczbami ca lkowitymi.
7
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
11. Niech A = (4, 8, 9) , B = (4, 8, 25) , C = (1, 2, 3) .
Znale´z´c wektory CB , CA ,
−−→
BA i
−−→
AB oraz ich d lugo´sci.
Znale´z´c kosinus najwie
,
kszego z ka
,
t´ow tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c jaki´s (niezerowy) wektor prostopad ly do p laszczyzny ABC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c ´srodek M
C
odcinka AB .
Znale´z´c punkt X na odcinku CM
C
, kt´ory dzieli ten odcinek w stosunku
2 : 1 , tzn. odleg lo´s´c punktu X od wierzcho lka C ma by´c dwukrotnie
wie
,
ksza od jego odleg lo´sci od punktu M
C
.
12. Niech A = (1, 0, 0) , B = (0, 2, 2) , C = (15, 5, 2) , O = (0, 0, 0) .
Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 = [0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC i wyja´sni´c, czy ten tr´ojka
,
t jest ostroka
,
tny, pro-
stoka
,
tny czy rozwartoka
,
tny.
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .
Znale´z´c kosinusy obu ka
,
t´ow utworzonych przez p laszczyzne
,
ABC i p laszczyzne
,
o r´ownaniu x + y + z = 1 .
13. Niech A = (1, 1, 1) , B = (7, 4, 3) , C = (3, 2, 3) .
Znale´z´c wektory
−−→
CB ,
−−→
CA ,
−−→
BA i
−−→
AB oraz ich d lugo´sci.
Znale´z´c kosinus najwie
,
kszego z ka
,
t´ow tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c
−−→
AB ×
−→
AC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c ´srodek M
A
odcinka BC .
Znale´z´c punkt X na odcinku AM
A
, kt´ory dzieli ten odcinek w stosunku 3 : 1 ,
tzn. odleg lo´s´c punktu X od wierzcho lka A ma by´c trzykrotnie wie
,
ksza od jego
odleg lo´sci od punktu M
A
.
14. Obliczy´c wyznacznik
1 −1 2
−1
1 3
−2
1 7
.
Znale´z´c iloczyn wektorowy i skalarny wektor´ow [1, 2, −2] i [14, 5, −2] oraz ko-
sinus i sinus ka
,
ta mie
,
dzy tymi wektorami.
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta o wierzcho lkach (0, 0, 0, ) , (1, 2, −2) i (14, 5, −2) . Czy
wszystkie trzy ka
,
ty tego tr´ojka
,
ta sa
,
ostre?
8
Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Micha l Krych
15. Niech O = (1, 0, 1) , A = (2, 2, 3) , B = (4, 2, 7) , C = (2, 4, 9) .
Znale´z´c wektory
−−→
OA ,
−−→
OC i
−−→
OB oraz ich d lugo´sci.
Znale´z´c kosinus najwie
,
kszego z ka
,
t´ow tr´ojka
,
ta ABO .
Znale´z´c
−→
OA ×
−−→
OB .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABO .
Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu ABCO .
Znale´z´c odleg lo´s´c punktu C od p laszczyzny OAB .
16. Dla jakich liczb rzeczywistych x zachodzi r´owno´s´c
1
2
4
√
2 −2
√
2 4
√
2
1
x
x
2
= 0 ?
Dla jakich liczb rzeczywistych x wektor [1, x, x
2
] jest prostopad ly do iloczynu
wektorowego [1, 2, 4] × [1, −2, 4] ?
Znale´z´c punkt X , kt´ory dzieli odcinek o ko´
ncach (1, 2, 4) , (4, 0, −1) , w sto-
sunku 3 : 2 .
17. Niech O = (0, 0, 0) , A = (−2, 2, 3) , B = (−3, 2, 6) , C = (2, −1, 2) .
Znale´z´c iloczyn [O, A] × [O, B] i obliczy´c pole tr´ojka
,
ta OAB .
Obliczy´c odleg lo´s´c punktu A od prostej OB .
Obliczy´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
Obliczy´c odleg lo´s´c punktu C od p laszczyzny OAB .
Znale´z´c sinus ka
,
ta jaki tworzy wektor [OC] z p laszczyzna
,
OAB .
18. Niech O = (0, 0, 0) , A = (2, −6, 9) , B = (12, −3, −4) , C = (2, −1, 2) .
Znale´z´c iloczyn
−→
OA ×
−−→
OB i obliczy´c pole tr´ojka
,
ta OAB .
Obliczy´c odleg lo´s´c punktu A od prostej OB .
Obliczy´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
Znale´z´c kosinus ka
,
ta mie
,
dzy wektorami
−→
OA i
−−→
OB .
Napisa´c r´ownanie p laszczyzny OAB .
9