Technik_geodeta_311[10]_O1.02

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

SPIS TREŚCI

Wprowadzenie

Wymagania wstępne

Cele kształcenia

Materiał nauczania

4.1.

Definicja, historia, zadania geodezji oraz podstawowe informacje

o układzie współrzędnych prostokątnych, mapie i skali

4.1.1.

Materiał nauczania

4.1.2. Pytania sprawdzające

4.1.3. Ćwiczenia

4.1.4. Sprawdzian postępów

4.2.

Jednostki miar stosowane w geodezji

4.2.1. Materiał nauczania

4.2.2.

Pytania sprawdzające

4.2.3.

Ćwiczenia

4.2.4.

Sprawdzian postępów

4.3.

Posługiwanie się współrzędnymi do rozwiązywania podstawowych zadań

geodezyjnych

4.3.1

Materiał nauczania

4.3.2

Pytania sprawdzające

4.3.3

Ćwiczenia

4.3.4

Sprawdzian postępów

22
22
24

25
25
34
35
39

Sprawdzian osiągnięć

6. Literatura

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

3. CELE KSZTAŁCENIA

W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś, umieć:

–

określić rolę geodezji w gospodarce,

–

przedstawić rys historyczny geodezji,

–

scharakteryzować poszczególne działy geodezji,

–

posłuŜyć się jednostkami miar stosowanymi w geodezji,

–

obliczyć azymut kierunku ze współrzędnych,

–

obliczyć długość odcinka ze współrzędnych,

–

obliczyć współrzędne punktu na prostej,

–

obliczyć wartość kąta ze współrzędnych,

–

określić wartość kąta w róŜnych jednostkach,

–

odczytać współrzędne punktu z mapy,

–

odszukać na mapie punkt o określonych współrzędnych,

–

posłuŜyć się podziałką poprzeczną,

–

zastosować do obliczeń geodezyjnych technikę komputerową,

–

scharakteryzować graficzne zobrazowanie rzeźby,

–

obliczyć powierzchnię figury ze współrzędnych

–

skontrolować poprawność obliczeń geodezyjnych.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4. MATERIAŁ NAUCZANIA

4.1.

Definicja, historia, zadania geodezji oraz podstawowe
informacje o układzie współrzędnych prostokątnych, mapie
i skali

4.1.1. Materiał nauczania

Geodezja – nazwa wprowadzona przez Arystotelesa, pochodzi z języka greckiego geo –

Ziemia, daiso – będę dzielił, a więc dosłownie oznacza podział ziemi, czyli pomiar i podział
posiadłości – nieruchomości, co i w obecnych czasach stanowi jedno z waŜnych zadań
geodezji.

Geodezja jest jedną z nauk o Ziemi a zarazem działem techniki. Zajmuje się pomiarami

obiektów  na  powierzchni  ziemi  oraz  pomiarami  Ziemi  jako  planety.  Pomiary  geodezyjne
określają  wymiary,  kształt  i  wzajemne  połoŜenie  w  przestrzeni  obiektów  (naturalnych
i sztucznych)  znajdujących  się  na  powierzchni  ziemi  a  takŜe  kształt  i  wymiary  Ziemi  jako
planety.  Praktyczne  zadania  geodezji  obejmują  pomiary  topograficzne  przydatne  do
sporządzania  map,  pomiary  gruntów  oraz  pomiary  obiektów  inŜynierskich  związane  z  ich
budową a takŜe późniejszą eksploatacją. Podstawy teoretyczne geodezji opierają się na takich
naukach jak: matematyka, fizyka, astronomia, geografia, mechanika i inne.
Rys historyczny geodezji [2]

Początki geodezji sięgają 3–5 tysięcy lat przed naszą erą, kiedy to wykonywane były

pomiary katastralne. Z czasów najodleglejszych zachowały się do dzisiaj tylko nieliczne ślady
działalności  "geodezyjnej".  Są  to  malowidła  ścienne  w  tureckiej  Anatolii,  niewielkie
fragmenty  glinianych  tablic  katastralnych  w  Mezopotamii,  zapisy  na  papirusie  czy  teŜ
średniowieczne kopie staroŜytnych map. Im bliŜej czasów współczesnych, tym więcej mamy
przekazów  historycznych  i  dowodów,  mówiących  nie  tylko  o  roli  i  znaczeniu  geodezji,  ale
i kolejnych  etapach  jej  rozwoju.  Za  niezwykle  waŜne  w  rozwoju  geodezji  uwaŜa  się
wyznaczenie  wymiarów  Ziemi  przez  Eratostenesa  z  Cyreny  (III  w.  p.n.e.).  Ten  grecki
astronom  i  matematyk  porównał  obserwacje  Słońca  w  dwóch  odległych  punktach  (Asuan
i Aleksandria)  leŜących  w  przybliŜeniu  na  tym  samym  południku.  Dokonał  on  pomiaru  kąta
padania promienia słonecznego w Aleksandrii, w momencie, gdy w Asuanie słońce świeciło
w  zenicie.  Określając  odległość  między  tymi  miastami  na  podstawie  czasu  przejścia
karawany, uczony obliczył promień kuli ziemskiej: R~6300 km.
Początki geodezji w Polsce [3]

Najwcześniejsze wzmianki o mierniczych na ziemiach polskich pochodzą z XII i XIII

wieku. Wykonujących pomiary nazywano wtedy Ŝerdnikami królewskimi, bo teŜ posługiwali
się tak prostymi narzędziami, jak Ŝerdź i sznur, za pomocą których mierzyli grunty i tyczyli
nowe miasta. Budowę tych ostatnich zaczynano od wytyczenia rynku, z reguły prostokątnego
do prowadzenia handlu, potem siatki ulic i parceli budowlanych.

W średniowieczu znana była, równieŜ w Polsce, instytucja Podkomorzego. Na dworze

pierwszych  Piastów  kontrolowali  oni  zarządzanie  dobrami  królewskimi  i byli  zastępcami
wojewodów.  Jednym  z ich  obowiązków  było  rozstrzyganie  sporów  granicznych.  W połowie
XV wieku Podkomorzy był juŜ dobrze zakorzenioną, szlachecką instytucją samorządową, swą
funkcję sprawował praktycznie doŜywotnio. Podkomorzy rozstrzygał spory graniczne, potrafił
oszacować wartość nieruchomości, a z czasem – sklasyfikować grunty.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

W XVI wieku ukazały się pierwsze podręczniki geodezji w języku polskim, jak

chociaŜby „Geometria to jest miernicka nauka...” Stanisława Grzepskiego z 1566 r. Rozwijało
się szkolnictwo. Na Akademii Krakowskiej dzięki inicjatywie kanonika Jana BroŜka w 1631
r. utworzono katedrę geodezji. Jej nieliczni adepci nosili – jak na królewską uczelnię przystało
–  tytuł  geometry  królewskiego.  Zaczęły  się  pojawiać  przyrządy  miernicze,  wynaleziono
lunetę,  podziałkę  transwersalną  (uŜywana  jest  do  dnia  dzisiejszego  –  zostanie  omówiona
w rozdziale  następnym),  a matematyka  dostarczała  juŜ  narzędzi  do  rozwiązywania  coraz
bardziej skomplikowanych zadań.

W XVIII wieku za panowania Stanisława Augusta Poniatowskiego, spopularyzowano

instytucję  Geometry  Jego  Królewskiej  Mości.  Przywilej  uzyskiwało  się  z rąk  królewskich
i wymagane  były  referencje  lub  poparcie  zaufanych  króla.  Kandydaci  na  geometrów
królewskich  nie  musieli  legitymować  się  szlacheckim  pochodzeniem,  nie  byli  teŜ  przypisani
do  pracy  na  terenie  określonego  powiatu,  a obszarem  ich  działania  było  całe  państwo.
W końcu  XVIII  wieku  liczbę  wszystkich  parających  się  zawodem  geometry  (mierniczego)
moŜna szacować na około 400.

Rozbiory Polski i utrata niepodległości pozostawiły, niestety, na dwa wieki sprawy

polskiego  miernictwa  w rękach  trzech  państw:  Austrii,  Prus  i Rosji.  Dwa  pierwsze,
dysponujące  sprawną  administracją,  stosowały  na  podporządkowanych  terenach  swoje
regulacje  prawne.  Z  kolei  w zaborze  rosyjskim  utrzymano,  co  prawda,  instytucję
Podkomorzego,  ale  zlikwidowano  wolny  zawód.  Wyjątkiem  był  okres  Księstwa
Warszawskiego.  Aby  zostać  geometrą  II  klasy,  naleŜało  legitymować  się  odpowiednią
praktyką  i zdać  egzamin  przed  komisją  departamentową.  Następnie  po  rocznej  praktyce
i zaliczeniu  egzaminu  u NajwyŜszej  Komisji  Egzaminacyjnej  moŜna  było  zdobyć  stopień
wyŜszy – geometry klasy I. Tytuły takie uzyskało 70 geometrów, a część z nich stanowili byli
geometrzy  JKM  Stanisława  Augusta.  Po  upadku  Księstwa  Warszawskiego,  przez  ponad  sto
lat, polskich mierniczych egzaminowali Austriacy, Niemcy i Rosjanie, a we wszystkich trzech
zaborach zostali oni wprzęgnięci w obce struktury państwowe.

Po odzyskaniu niepodległości w 1918 r. dostaliśmy w spadku nie tylko niespójne

jednostki  miar,  osnowy,  mapy,  systemy  hipoteczne  i instrukcje,  ale  teŜ  mierniczych
o przeróŜnych  tytułach  i zróŜnicowanych  umiejętnościach.  Potrzeby  gospodarcze  młodego
państwa  wymagały  szybkiego  ujednolicenia  odziedziczonych  po  zaborcach  regulacji
prawnych,  takŜe  tych  dotyczących  naszego  zawodu.  W  1925  r.  wprowadzono  ustawą  tytuł
Mierniczego  Przysięgłego.  Aby  nim  zostać,  naleŜało  mieć:  obywatelstwo  polskie,
wykształcenie  miernicze  wyŜsze  lub  średnie  i odpowiednio  2- lub  5-letnią  praktykę
zawodową. Trzeba było równieŜ zaliczyć egzamin przed jedną z dwóch państwowych komisji
egzaminacyjnych,  z których  pierwsza  zbierała  się  we  Lwowie,  a druga  w Warszawie  (sesje
odbywały  się  dwa  razy  do  roku,  na  wiosnę  i jesienią).  Mierniczy  przysięgły  był  wyłącznym
wykonawcą wszelkich prac pomiarowych, które nie były zastrzeŜone dla słuŜb państwowych.
Plan czy mapa opatrzone pieczęcią mierniczego były dokumentem urzędowym.

Okres międzywojenny przyniósł duŜo zmian. Uregulowano lub stworzono od podstaw

wiele  przepisów  pomiarowych,  dla  potrzeb  katastru  zastosowano  na  szeroką  skalę  zdjęcia
lotnicze,  scalono  prawie  5,5  mln  ha  gruntów,  w większych  miastach  powstały  samorządowe
jednostki  geodezyjne.  Według  róŜnych  szacunków  w 1939  r.  zarejestrowanych  było  w kraju
1200-1500  mierniczych  przysięgłych,  z których  20%  miało  tytuł  inŜyniera,  pozostali
legitymowali  się  średnim  wykształceniem.  W administracji  i szkolnictwie  pracowało  dalsze
750 osób (około 60% z nich miało wyŜsze wykształcenie). Do tego moŜna doliczyć 1800 osób
personelu  pomocniczego.  Razem  daje  to  blisko  4  tysiące  osób.  Taki  był  stan  liczebny
środowiska geodezyjnego u progu II wojny światowej.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Po II wojnie światowej nowe ludowe państwo wzięło sprawy zawodowe geodetów

w swoje  ręce.  Według  artykułu  1.  dekretu  Polskiego  Komitetu  Wyzwolenia  Narodowego
z  7  października  1944  r.  do  realizacji reformy  rolnej  mobilizacji  podlegały  wszystkie  „siły
miernicze”  (wraz  z przyrządami  pomiarowymi),  które  nie  ukończyły  60-tego  roku  Ŝycia.
„Siłami  mierniczymi”  byli:  inŜynierowie  mierniczy,  mierniczy  przysięgli,  mierniczy,
praktykanci  i absolwenci  szkół  mierniczych.  Kto  nie  podporządkował  się  mobilizacji,
ryzykował  2  lata  więzienia,  a dodatkowo  utratę  prawa  wykonywania  zawodu  na  5  lat.
W kolejnym dekrecie Krajowej Rady Narodowej z 30.03.1945 r., został ustanowiony Główny
Urząd  Pomiarów  Kraju.  Wzorcem  dla  nowopowstałego  urzędu  był  moskiewski  WyŜszy
Urząd  Geodezyjny,  utworzony  dekretem  Rady  Komisarzy  Ludowych,  podpisanym  przez
samego  Włodzimierza  I.  Lenina.  Jedną  z  głównych  bolączek  geodezji  w  1945  r.  były
zniszczone  i  niekompletne  archiwa  geodezyjne,  oraz  brak  sprzętu  pomiarowego.  Teodolity
i niwelatory  rozszabrowano  lub  zniszczono.  Wiele  materiałów  i  map  wywieziono  w  głąb
Niemiec.  Po  kilku  latach  starań  zdołano  odzyskać  tylko  około  20  ton  tej  dokumentacji.
Ocalałe  i  odzyskane  materiały  przejęły  archiwa  geodezyjne  zorganizowane  przez  Główny
Urząd  Pomiarów  Kraju.  JuŜ  od  1947  r.,  czyli  w  czasie  akcji  ich  porządkowania,  zaczął
funkcjonować przepis o obowiązku rejestrowania pomiarów i oddawania ich wyników do tych
archiwów (przepis w duŜej mierze aktualny do dzisiaj).

Wraz z odbudową kraju ruszyły pierwsze prace geodezyjne. Były one związane przede

wszystkim  z  delimitacją  granic  kraju,  przygotowaniem  dokumentacji  geodezyjnej  dla  akcji
osiedleńczej  na  Ziemiach  Zachodnich  i  Północnych,  pomiarami  na  potrzeby  reformy  rolnej,
katastrem  i  odbudową  gospodarki.  Prace  geodezyjne  miały  wykonywać  przedsiębiorstwa
państwowe,  bowiem  dyskryminacyjna  polityka  podatkowa  państwa  doprowadziła  w  1950  r.
do  prawie  całkowitej  likwidacji  sektora  prywatnego.  Było  to  bowiem  sprzeczne
z obowiązującą  juŜ  pod  koniec  lat  40.  linią  upaństwowienia  gospodarki.  Ostatnie  biura
mierniczych przysięgłych zamknięto w 1953 r. Prace geodezyjne związane z odbudową kraju
prowadziły  przedsiębiorstwa  państwowe,  niejednokrotnie  z  liczną  załogą,  dochodzącą  do
1000 pracowników i więcej (nawet 1500 osób), które miały monopol na takie prace. PoniewaŜ
firmy  te  nie  mogły  wykonywać  niewielkich  prac  dla  zwykłego  obywatela,  w  1983  r.
umoŜliwiono  wykonywanie  tych  prac  geodetom  posiadającym  uprawnienia  zawodowe.
Określono siedem zakresów, w których moŜna było nadawać takie uprawnienia w dziedzinie
geodezji  i kartografii  oraz  wybrano  specjalną  komisję  do  egzaminowania.  Od  1  stycznia
1989 r.  zaczęła  obowiązywać  ustawa  o działalności  gospodarczej,  fundament  Ŝycia
gospodarczego w nowej Polsce i podstawa wolnego rynku.
W  nowy  ustrój  wkroczyło  6964  geodetów  mających  uprawnienia  zawodowe.  Teraz  kaŜdy
mógł,  bez  Ŝadnych  przeszkód,  załoŜyć  własną  prywatną  firmę.  Od  tego  czasu  nadano
uprawnienia ponad 17 tysiącom ludzi.

Zadania geodezji w gospodarce

Znaczenie geodezji w gospodarce jest ogromne. Do najwaŜniejszych moŜna zaliczyć:

1. Określanie kształtu i wymiarów Ziemi, jako planety.
2. Opisywanie powierzchni Ziemi poprzez określenie przestrzennego rozmieszczenia

obiektów naturalnych i sztucznych oraz rzeźby terenu. Najpowszechniejszym materiałem
wynikowym tego procesu jest mapa w róŜnych skalach (począwszy od 1:500), zarówno
tradycyjna jak i cyfrowa realizowana w technologii informatycznej.

3. Budowanie katastru tj. systemu informacji o nieruchomościach (gruntach, budynkach

i lokalach) dla potrzeb ksiąg wieczystych i podatków. W skład tych informacji wchodzi
min.: sposób uŜytkowania, stan prawny, klasyfikacja gleboznawcza, wartość rynkowa.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4. Wytyczanie (realizacja) w terenie projektów budowli (budynków, dróg,zakładów

przemysłowych, mostów, kolei itp.) oraz kontrola ich funkcjonowania (pomiary
odkształceń i przemieszczeń).

Sporządzanie i gromadzenie dokumentacji geodezyjnej zawierającej opis podziemnej
infrastruktury technicznej (kanalizacja, wodociągi, energetyka, telekomunikacja, gaz itp.),
opis złóŜ mineralnych i wyrobisk górniczych oraz archiwizacja tej dokumentacji w celach
uŜytkowych i udostępnianie jej zainteresowanym osobom i instytucjom.

Przekształcanie struktury powierzchniowej gruntów (scalenia i wymiany gruntów).

Monitorowanie środowiska i przestrzennego zagospodarowania kraju.

Dostarczanie danych do Systemu Informacji Przestrzennej (SIP), które określają
lokalizację oraz cechy jakościowe i ilościowe opisywanych obiektów.

Jak moŜna się zorientować z powyŜszego zestawienia rola geodezji w codziennym Ŝyciu
obywatela, gminy – miasta oraz całego kraju jest nieoceniona.

Podział geodezji

Geodezja dzieli się na szereg działów zajmujących się określonym zakresem zadań.

MoŜna wyróŜnić następujące działy: [1]
1. Geodezja ogólna nazywana dawniej geodezją niŜszą lub miernictwem – zajmuje się

pomiarami na małych obszarach, które moŜna odnieść do płaszczyzny bez uwzględnienia
krzywizny Ziemi.

2. Geodezja wyŜsza – zajmuje się badaniem kształtu oraz wymiarów Ziemi i pomiarami na

duŜych obszarach z uwzględnieniem jej krzywizny.

3. Kartografia zajmuje się podstawami matematycznymi przedstawienia zakrzywionej

powierzchni Ziemi na płaszczyźnie rysunku mapy, poprzez tzw. odwzorowania
kartograficzne oraz technikami sporządzania i reprodukcji map.

Topografia zajmuje się sporządzaniem map w skalach średnich 1:10 000, 1:50 000,
1: 100 000, w oparciu o opracowania wielkoskalowe lub odrębną technikę pomiarową.

Fotogrametria  zajmuje  się  wykonywaniem  i  wykorzystaniem  zdjęć  naziemnych,
lotniczych  i  satelitarnych  do  potrzeb  pomiarowych.  W  oparciu  o  te  zdjęcia  mogą  być
wykonywane  mapy,  plany  oraz  badania  zjawisk  zachodzących  na  powierzchni  Ziemi.
Fotogrametria  stosowana  do  celów  sporządzania  map  średnioskalowych  nosi  nazwę
fotogrametrii topograficznej lub fototopografii.

Instrumentoznawstwo geodezyjne zajmuje się konstrukcją, badaniem, uŜytkowaniem
i konserwacją przyrządów geodezyjnych.

Rachunek wyrównawczy zajmuje się metodami obliczeń geodezyjnych, wyrównania
wyników pomiarów i szukaniem ich najbardziej prawdopodobnych wartości liczbowych
wielkości mierzonych.

Geodezja gospodarcza, to geodezja stosowana w róŜnych dziedzinach gospodarki.
WyróŜniamy zatem geodezję: inŜynieryjno – przemysłową, rolną, leśną, górniczą, i inne.

Astronomia geodezyjna zajmuje się określaniem połoŜenia punktów na powierzchni
Ziemi za pomocą astronomicznych obserwacji ciał niebieskich.
Polska jest jednym z nielicznych krajów, w których słowa „geodezja” uŜywa się do

określenia dziedziny wiedzy i techniki związanej z pomiarami na małych obszarach (geodezja
ogólna). W większości krajów Europy zachodniej termin „geodezja” zarezerwowany jest
wyłącznie dla nauki zajmującej się pomiarami na duŜych obszarach i całej Ziemi. Zadania
zarezerwowane dla geodezji ogólnej określane są tam mianem miernictwa.

Podstawowymi czynnościami technika geodety jest przeprowadzanie pomiarów

w terenie, wykonywanie obliczeń, rysunków i szkiców a w oparciu o nie, sporządzanie map
do róŜnych celów. Te czynności wykonują geodeci będący pracownikami jednostek

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

wykonawstwa  geodezyjnego,  urzędów  administracji  rządowej  lub  samorządowej.  Geodeta
zajmuje  się  równieŜ  prowadzeniem  spraw  dotyczących  gospodarki  gruntami  lub
gromadzeniem  i  archiwizacją  dokumentacji  geodezyjnej  –  w  przypadku  pracy  w  Ośrodku
Dokumentacji Geodezyjnej i Kartograficznej.

Powierzchnia odniesienia

Ziemia jest nieregularną bryłą, której w matematyczny sposób nie da się opisać, dlatego

wyniki  pomiarów  i  obliczeń  geodezyjnych  muszą  być  określane  na  regularnej  powierzchni
dającej się opisać równaniami matematycznymi. Powierzchnia ta musi być zbliŜona kształtem
do  fizycznej  powierzchni  Ziemi.  Powierzchnię,  na  którą  rzutuje  się  pomierzone  w  terenie
punkty,  nazywamy  powierzchnią  odniesienia.  W  zaleŜności  od  wielkości  obszaru
podlegającego  pomiarowi  powierzchnię  odniesienia  moŜe  stanowić:  płaszczyzna,  kula  lub
elipsoida obrotowa. Elipsoida obrotowa spłaszczona powstaje poprzez obrót elipsy wokół osi
małej.
Układy współrzędnych

Układ współrzędnych jest to zespół obiektów geometrycznych względem, których określa

się  jednoznacznie  połoŜenie  punktu  lub  zbioru  punktów.  Przy  dwuwymiarowym  układzie
współrzędnych,  który  występuje  na  płaszczyźnie,  określenie  połoŜenia  punktu  wymaga
podania dwóch liczb, w układzie trójwymiarowym natomiast – trzech liczb. Na płaszczyźnie
i w przestrzeni stosuje się róŜne typy współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich), ponadto
na płaszczyźnie biegunowy układ współrzędnych. Na powierzchniach odniesienia uŜywane są
układy  współrzędnych  krzywoliniowych  (sferycznych  lub  elipsoidalnych),  do  których
zaliczamy współrzędne geograficzne.
Na  przestrzeni  lat,  w  Polsce  stosowane  były  róŜne  państwowe  układy  współrzędnych
prostokątnych [2]. RóŜnice między nimi polegają m. in. na przyjętej powierzchni odniesienia
–  elipsoidzie  obrotowej.  W  Polsce,  podobnie  jak  w  innych  państwach  byłego  Układu
Warszawskiego,  obowiązywała  od  roku  1952  elipsoida  Krassowskiego,  z  punktem
przyłoŜenia  do  geoidy  w  Pułkowie  koło  Sankt  Petersburga.  Kształt  Ziemi  najlepiej  wyraŜa
geoida - bryła powstała w wyniku przedłuŜenia średniej powierzchni mórz i oceanów w stanie
spoczynku  pod  lądami  i  nad  depresjami.  Ze  względu  na  niejednolity  rozkład  mas  wewnątrz
Ziemi,  bryła  ta  jest  nieregularna.  Bryłą  regularną,  która  najbardziej  zbliŜona  jest  do  kształtu
Ziemi  jest  elipsoida  obrotowa.  Wielu  uczonych  wykonało  pomiary,  których  celem  było
ustalenie  dokładnych  wymiarów  elipsoidy  ziemskiej.  Od  nazwisk  tych  uczonych  przyjęto
nazwy  elipsoid.  Znane  są  elipsoidy  Bessela,  Clarka,  Hayforda  oraz  wymieniona  wyŜej
elipsoida Krassowskiego.

Układ współrzędnych geograficznych – geodezyjnych jest jednym z układów, który

składa  się  na  jednolity  dla  całego  kraju,  państwowy  system  odniesień  przestrzennych.
Stosowanie  jednolitych  układów  współrzędnych  dla  całego  kraju  wynika  z  zasady  ciągłości
i porównywalności  wyników  pomiarów  oraz  powstałej  w  ich  rezultacie  dokumentacji
sporządzanej  przez  róŜnych  wykonawców,  która  jest  gromadzona  w  państwowym  zasobie
geodezyjnym  i  kartograficznym.  Układ  ten  określa  połoŜenie  punktu  leŜącego  na  elipsoidzie
za  pomocą  dwóch  wielkości:  szerokości  oraz  długości  geograficznej  geodezyjnej.  Szerokość
geograficzna geodezyjna B jest to kąt zawarty pomiędzy normalną (prostopadłą) do elipsoidy
w  danym  punkcie  a  płaszczyzną  równika.  Długość  geograficzna  geodezyjna  L  jest  to  kąt
dwuścienny, zawarty pomiędzy półpłaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka
przechodzącego  przez  dany  punkt.  Płaszczyznę  południka  na  elipsoidzie  wyznaczają:  oś
obrotu elipsoidy i normalna do elipsoidy w danym punkcie.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 3. Geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych [opracowanie własne]

Do połowy lat 60 – tych, obowiązywał w Polsce układ współrzędnych zwany „1942”. Układ
ten powstał w wyniku zastosowania odwzorowania Gaussa – Krőgera na elipsoidzie
Krassowskiego.

Od końca lat 60-tych w słuŜbie cywilnej zaczęto wprowadzać nowy, pięciostrefowy układ

współrzędnych prostokątnych, zwany skrótowo układem „1965”. W tym układzie
opracowano mapę zasadniczą kraju.

Od początku lat 90-tych podjęto prace, mające na celu włączenie obszaru Polski do

europejskiego systemu odniesień przestrzennych ETRS (European Terrestial Reference
System), będącego częścią światowego systemu ITRS (International Terrestial Reference
System). Wszystkie obliczenia wykonano juŜ na nowej elipsoidzie, zwanej w skrócie GRS-80
(nazwa pełna:„Geodetic Reference System 1980”).

Zarówno dla poziomych sieci pomiarowych jak i dla opracowań kartograficznych

przyjęto dwa nowe układy współrzędnych prostokątnych:
1.

układ nazywany skrótowo „1992”, stanowiący podstawę do wykonywania nowych map
urzędowych w skalach 1:10 000 i mniejszych.

układ nazywany skrótowo „2000”, stosowany do opracowań map w skalach duŜych oraz
dla osnów geodezyjnych. Układ ten wprowadzono w Polsce do 2000r. Układ „1965”
moŜe być wykorzystywany tylko do końca 2009 r.

Poza wymienionymi wyŜej państwowymi układami współrzędnych prostokątnych na

terenach niektórych miast wprowadzono lokalne układy współrzędnych. Przykładem takiego
układu jest układ współrzędnych nazywany skrótowo „ŁAM” (Łódzka Aglomeracja Miejska),
obejmujący dawniej miasto Łódź i okoliczne miejscowości, a obecnie funkcjonujący jedynie
na terenie samego miasta.

Mapa to rzut prostokątny powierzchni Ziemi na płaszczyznę, wykonany w określonym

zmniejszeniu, czyli w skali, w przyjętym układzie odniesienia.

Mapy słuŜą człowiekowi juŜ od kilku tysięcy lat, a najstarsze pochodzą ze staroŜytnego

Egiptu i Babilonii (ok. 3 tys. lat p.n.e.).

Przy tworzeniu map dla niewielkich obszarów (o powierzchni nieprzekraczającej

750 km

), fizyczną powierzchnię mierzonego terenu przenosi się na płaszczyznę mapy

przyjmując odpowiednią skalę, stosując odpowiednie znaki umowne oddające, wybraną treść.
Przy wykonywaniu map bez uwzględnienia krzywizny Ziemi stosuje się układ współrzędnych
prostokątnych.

P (X

)

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Przy przedstawianiu większych obszarów niŜ 750 km

, występuje trudność związana

z przedstawieniem  zakrzywionej  powierzchni  Ziemi  na  płaszczyźnie  mapy.  Trudność  ta
polega  na  tym,  Ŝe  fizyczna  powierzchnia  Ziemi,  zbliŜona  kształtem  do  powierzchni  kuli  lub
elipsoidy  obrotowej,  nie  daje  się  rozwinąć  na  płaszczyznę  bez  zniekształceń  liniowych,
kątowych  a  takŜe  zniekształceń  pól  powierzchni.  Matematycznie  określony  sposób
przeniesienia  punktów  znajdujących  się  na  powierzchni  odniesienia  na  płaszczyznę  rysunku
mapy,  nazywany  jest  odwzorowaniem  kartograficznym.  Odwzorowanie  w  sposób
jednoznaczny  ustala  zaleŜności  pomiędzy  współrzędnymi  geograficznymi  punktu  (φ,  γ)  na
kuli  lub  elipsoidzie  obrotowej,  a  współrzędnymi  prostokątnymi  (X,Y),  rzutu  tego  punktu  na
płaszczyznę.

Skalą mapy nazywamy stosunek długości odcinka na mapie do rzutu poziomego jego

długości w terenie. Skalę moŜemy wyrazić wzorem:

Gdzie: M – mianownik skali.

d – długość odcinka na mapie.

D – długość rzutu poziomego tego odcinka w terenie.

Skala mapy jest, zatem ułamkiem, którego licznik jest równy jedności, a mianownik jest
liczbą, wskazującą stopień zmniejszenia rysunku w porównaniu do obrazu terenu.

Spośród kilku skal ta jest mniejsza, która ma większy mianownik. Skale duŜe stosowane

są  dla  zobrazowania  terenów  o  duŜym  zagęszczeniu  szczegółów  terenowych  (naziemnych
i podziemnych)  –  takich  jak  tereny  zurbanizowane.  Dla  terenów  miejskich  mapa  zasadnicza
wykonywana jest zwykle w skali 1:500 lub 1:1000, dla zurbanizowanych obszarów wiejskich
w  skali  1:1000  i  1:2000,  a  dla  terenów  o  mniejszym  zagęszczeniu  obiektów  terenowych  np.
terenów  leśnych  w  skali  1:5000.  PoniŜej  przedstawiono  fragmenty  map  o  róŜnych  skalach
obrazujących ten sam teren (Rys. 4).

Mapa topograficzna w skali 1:10 000

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Mapa ewidencji gruntów i budynków w skali 1:5000

Mapa zasadnicza w skali 1:1000

Rys. 4. Mapy w róŜnych skalach [opracowanie własne]

Mapy archiwalne, które jeszcze moŜna spotkać np. w księgach wieczystych i archiwach

mogą mieć skale: 1:2880 i 1:4200. Taka wielkość mianownika skali wynika z jednostek
długości stosowanych w zaborze austriackim i rosyjskim.

Oko człowieka jest zdolne ocenić wielkość liniową z dokładnością do 0,1 mm. Długość

terenową, odpowiadającą tej wielkości, nazywamy dokładnością danej skali. Np. dla skali
1:5000 będzie to 0,5 m.

W trakcie korzystania z map obrazujących ten sam obszar, a wykonanych w róŜnych

skalach, moŜe zaistnieć potrzeba przeniesienia określonego odcinka d

w skali 1: M

na mapę

w skali 1: M

. Aby odłoŜyć odpowiednią odległość d

na mapie w skali 1: M

naleŜy

przekształcić zaleŜność:

Na podstawie powyŜszej zaleŜności moŜna równieŜ określić nieznaną skalę mapy.

Aby wykonać to zadanie musimy dysponować mapą o znanej skali na ten sam teren. W celu
określenia nieznanej skali mapy musimy zidentyfikować na obydwu mapach odcinki oparte na

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

tych samych punktach i zmierzyć ich długości z największą moŜliwą dokładnością.
Na podstawie wzoru:

obliczamy nieznany mianownik skali mapy.

Graficzne przedstawienie skali to podziałka. Podziałka wykorzystywana jest do mierzenia

oraz odkładania odległości na mapie. W powszechnym stosowaniu rozróŜnia się podziałki
liniowe i poprzeczne – inaczej nazywane transwersalnymi.

Podziałka liniowa podobna jest do linijki z podziałem centymetrowym, ale jej podział

opisany jest odległościami terenowymi.

Podziałka poprzeczna ma kształt liniału, zwykle wykonanego z mosiądzu, o długości ok.

25 cm i szerokości 4 cm, z wytrawionymi liniami pionowymi, poziomymi i ukośnymi.
Określenie odległości pomierzonej cyrklem – odmierzaczem na mapie, polega na przyłoŜeniu
jego ostrzy do odpowiednich linii pionowych i ukośnych podziałki i odczytaniu odległości
terenowej.

Jak opisano w początkowej części rozdziału, dla nieduŜych obszarów, wykonuje się mapy

z wykorzystaniem układu współrzędnych prostokątnych płaskich. Prowadząc linie równoległe
do  osi  X  i  Y  otrzymamy  siatkę  kwadratów,  która  ułatwia  odszukanie  na  mapie  punktu
o znanych  współrzędnych,  odczytanie  współrzędnych  konkretnego  punktu  lub  wniesienie  na
mapę  punktu  o  zadanych  współrzędnych.  Siatka  kwadratów  przedstawiana  jest  na  mapie
w postaci krzyŜy, umiejscowionych w punktach przecięcia się prostych równoległych do osi X
i Y.  KrzyŜe  te  rozmieszczone  są  w  stałej  odległości  10  cm  od  siebie,  co  odpowiada
(w zaleŜności od skali mapy) odcinkom o długości 50 m, 100 m, 200 m lub 500 m w terenie.

UŜywając podziałki transwersalnej, cyrkla – odmierzacza oraz ekierek, moŜna,

wykorzystując siatkę kwadratów, wykonać następujące zadania:

−

odszukać punkt o znanych współrzędnych,

−

skartować, czyli wnieść na mapę punkt o znanych współrzędnych,

−

odczytać współrzędne wybranych punktów obrysu konkretnego obiektu zobrazowanego
na mapie.

Aby wykonać te zadania naleŜy ustalić kwadrat siatki, dla którego współrzędne naroŜy

będą zbliŜone do współrzędnych interesującego nas punktu. Następnie konieczne jest
odłoŜenie lub określenie róŜnicy współrzędnych między liniami siatki kwadratów a szukanym
punktem.
Graficzne przedstawienie rzeźby terenu na mapie

Rzeźba terenu – czyli jego pionowe ukształtowanie (naturalne lub sztuczne), jest

przedstawiane na mapie za pomocą znaków umownych, opisu wysokości charakterystycznych
punktów terenowych oraz warstwic.

Znaki umowne są graficznym obrazem obiektów znajdujących się na powierzchni ziemi,

których nie moŜna przedstawić w skali mapy. Obiektami mającymi znaczenie dla opisania
ukształtowania terenu będą np. skarpy, wąwozy.

Punkty charakterystyczne dla danego obszaru takie jak: szczyty wyróŜniających się

wzniesień, najwyŜsze punkty działów wodnych i przełęczy, najniŜsze punkty dolin,
wąwozów, parowów, sztucznych zagłębień, rowów, oraz punkty na osiach dróg urządzonych,
uzupełnia się opisem wysokości tych punktów nad poziomem odniesienia.

Warstwice są to linie na mapie, łączące punkty o tej samej wysokości względem

przyjętego poziomu odniesienia. Obrazami warstwic na mapie są ślady przecięcia
powierzchni terenu płaszczyznami poziomymi równoodległymi od siebie. Odległość pionowa
między warstwicami nazywana jest cięciem warstwicowym. Wielkość cięcia warstwicowego

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

uzaleŜniona jest od ukształtowania terenu (wielkości nachylenia terenowego) oraz skali mapy.
Wartości cięcia warstwicowego dla róŜnych skal mapy zasadniczej podano w tabeli nr 1.

Tabela 1. Cięcie warstwicowe dla mapy zasadniczej [1, s. 176]

Skala mapy
zasadniczej

Zasadnicze cięcie

warstwicowe

1:500

0,5 m

1:1000

1,0 m

1:2000
1:5000

2,5 lub 5,0 m

W przypadku gdy opracowywany teren jest równinny, z małym nachyleniem terenu, dla

lepszego zobrazowania rzeźby terenu moŜna zastosować tzw. warstwice pomocnicze, których
cięcie  warstwicowe  wynosi  połowę  cięcia  zasadniczego  podanego  w  tabeli  nr  1,  a  w  razie
potrzeby  takŜe  warstwice  uzupełniające,  o  cięciu  równym  1/4  cięcia.  Charakterystyczną
wartością  liczbową  kaŜdej  warstwicy  jest  wysokość  płaszczyzny  tnącej  nad  poziomem
odniesienia,  określana  jako  cecha  warstwicy.  Opis  cechy  warstwicy  umieszcza  się  w  luce
powstałej  w  wyniku  przerwania  ciągłości  warstwicy  (Rys.  5).  Liczba,  stanowiąca  cechę
warstwicy, jest zapisana w taki sposób, Ŝe jej podstawa wskazuje kierunek spadku terenu a jej
wartość stanowi całkowitą wielokrotność cięcia warstwicowego. Na mapach moŜemy spotkać
się  z  opisem  tylko  warstwic  „pogrubionych”,  czyli  posiadających  cechy  stanowiące
wielokrotność 5m. Dodatkowym elementem, uzupełniającym rysunek warstwic, są wskaźniki
spadu,  czyli  krótkie  kreski  przylegające  do  linii  warstwic,  pozwalające  odróŜnić  formy
wypukłe od wklęsłych oraz określić na mapie kierunki spadku terenu w zakolach warstwic.

Rys. 5. Opis warstwicy [opracowanie własne]

4.1.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

Jakimi cechami charakteryzuje się geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych
płaskich?

Jakimi cechami charakteryzuje się mapa?

Jaką zaleŜność określa skala mapy?

Jaka się nazywa graficzna postać skali mapy?

W jaki sposób zobrazowany jest układ współrzędnych prostokątnych na mapie?

Jakimi narzędziami moŜna odczytywać i odszukiwać współrzędne na mapie?

W jaki sposób przedstawiana jest rzeźba terenu na mapie?

195

196

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.1.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Określ odległość rzeczywistą między punktami wskazanymi na mapie przez nauczyciela.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy,

pomierzyć zadany odcinek cyrklem – odmierzaczem,

ustalić uŜywając podziałki liniowej lub poprzecznej terenową długość odcinka.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

wycinek mapy o znanej skali,

−

cyrkiel – odmierzacz,

−

podziałka liniowa lub transwersalna,

−

papier formatu A4.

Ćwiczenie 2

OdłóŜ na kartce papieru zadane przez nauczyciela odległości w skali: 1:250, 1:500,

1:1000, 1: 2000.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy,

odłoŜyć zadane odległości za pomocą cyrkla – odmierzacza i podziałki liniowej lub
transwersalnej.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

cyrkiel – odmierzacz,

−

podziałka liniowa lub transwersalna,

−

papier formatu A4.

Ćwiczenie 3

Na mapie o nieznanej skali 1:M

oraz na mapie w skali 1: 5000 zidentyfikowano

i pomierzono długość tego samego odcinka terenowego otrzymując wyniki: d

= 23.1 mm,

=19.4 mm. Na podstawie pomierzonych długości ustal mianownik skali – M

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,

wykonać obliczenie,

opisać uzyskany wynik.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Ćwiczenie 4

Odszukaj na mapie punkty o podanych przez nauczyciela współrzędnych.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy,

ustalić kwadraty, w których umiejscowione są zadane punkty,

wykorzystać dwie ekierki do skonstruowania linii równoległych do osi X i Y,

wykorzystać podziałkę poprzeczną do właściwego określenia usytuowania punktów.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

mapa o znanej skali,

−

cyrkiel – odmierzacz,

−

dwie ekierki

−

podziałka transwersalna,

−

poradnik dla ucznia.

Ćwiczenie 5

Odczytaj współrzędne punktów wskazanych na mapie przez nauczyciela.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania zaleŜności dotyczące skali mapy,

ustalić współrzędne naroŜy kwadratów, w których znajdują się zadane punkty,

wykorzystać dwie ekierki do skonstruowania linii równoległych do osi X i Y,

wykorzystać podziałkę transwersalną do odczytania współrzędnych.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

mapa o znanej skali,

−

cyrkiel – odmierzacz,

−

dwie ekierki,

−

podziałka transwersalna.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.1.4. Sprawdzian postępów

Czy potrafisz:

Tak

Nie

zdefiniować pojęcie geodezja?

przedstawić rys historyczny geodezji?

scharakteryzować poszczególne działy geodezji?

podać główne zadania geodezji w gospodarce?

wymienić rodzaje układów współrzędnych stosowanych w geodezji?

scharakteryzować geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych?

scharakteryzować pojęcie skali mapy?

posłuŜyć się podziałką transwersalną?

odczytać współrzędne punktu na mapie?

10)

znaleźć na mapie punkt o zadanych współrzędnych?

11)

scharakteryzować graficzne zobrazowanie rzeźby terenu?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.2.

Jednostki miar stosowane w geodezji

4.2.1. Materiał nauczania

Miary długości

Podstawową jednostką długości stosowaną w geodezji jest metr. Jest to w przybliŜeniu,

długość jednej dziesięciomilionowej (10

-7

) części ćwiartki południka ziemskiego.

W metrach wyraŜone są takie wielkości jak:

−

długości odcinków,

−

wysokości (rzędne) punktów nad poziomem morza,

−

współrzędne prostokątne płaskie.

Pochodnymi jednostkami długości a wykorzystywanymi w geodezji są:

−

milimetr (mm) – uŜywany w dokumentacjach projektowych do zwymiarowania
elementów oraz w podziale na łatach niwelacyjnych do niwelacji precyzyjnej
1 mm = 0,001 m.

−

kilometr (km) – stosowany przy wyrównywaniu sieci geodezyjnych poziomych
i wysokościowych, jako wartość określająca wielkość tych sieci oraz na mapach
i w dokumentacji związanej z drogami, 1km = 1000 m = 1 000 000 mm.

Dawne miary stosowane w Polsce:
1 pręt = 7,5 łokcia = 15 stóp = 4,32 m
1 łokieć = 0,576 m
1 cal = 0,024 m
1 klafter (sąŜeń wiedeński) = 6 stóp = 1,8965 m – dawna miara austriacka
1sąŜeń = 7 stóp = 2,1336 m – dawna miara rosyjska
1 stopa pruska lub reńska = 0.3139 m
1 krok = 3 stopy = 0.9417 m

Miary kątowe

Najstarszą miarą kątową, liczącą ponad 5000 lat, jest miara sześćdziesiętna, nazywana

stopniową [1]. Podział stopniowy powstał przez podzielenie kąta pełnego na 360 części
(stopni). Dalszy podział odbywa się w systemie sześćdziesiętnym, tj. jeden stopień dzieli się
na sześćdziesiąt minut (') a minuta z kolei na sześćdziesiąt sekund (").

1° =

360

część kąta pełnego

1' =

1" =

Zapis kąta w podziale stopniowym podaje się wpisując kolejno stopnie, minuty i sekundy

np.150°02'09"

Niewygoda wynikająca z konieczności przeliczania minut i sekund na części dziesiętne

stopnia, wymusiła wprowadzenie dziesiętnej miary kątowej. Jednostka tej miary kata
nazywana jest gradem. Jeden grad (

)powstaje przez podział kąta prostego na 100 części, lub

podziału kąta pełnego na 400 części. Dalszy podział powstaje przez podzielenie 1 grada na
100 części – centygradów (

), i przez podział 1 centygrada na 100 decymiligradów (

400

część kąta pełnego

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

100

Zapis kąta w gradach moŜna wykonać w dwóch postaciach: grady-centygrady-decymiligrady
lub tylko w gradach, np.: 155

lub 155,7796

Zamiana (przeliczanie) miar kątowych

Wiedząc, Ŝe 90° = 100

moŜna określić zaleŜności między jednostkami.

1° =

=1,1111(1)

oraz 1

= 0,9°

Wzory na przeliczenie kątów wyraŜonych w róŜnych miarach moŜna, więc napisać w postaci:

stopnie → grady :

α°

grady → stopnie

α° =

9 .

gdzie: α° - kąt wyraŜony w stopniach,

g -

kąt wyraŜony w gradach.

Przy zamianie stopni na grady lub odwrotnie – gradów na stopnie, naleŜy na wstępie

wyrazić przeliczany kąt w jednostkach „najgrubszych” (stopnie, grady) a następnie
zastosować odpowiedni współczynnik zamiany.

4.2.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

Jakie miary długości stosowane są w geodezji?

Jakie są zaleŜności pomiędzy miarami długości?

Jakie miary kątowe stosowane są w geodezji?

Jaki jest podział kąta pełnego na stopnie i grady?

Jaką postać mają zaleŜności niezbędne przy przeliczaniu miar kątowych?

4.2.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Zamień podane długości na metry.

11235 km,

21352 mm,

0,534 km,

161 mm,

1,010 km,

1010 mm.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

przypomnieć sobie zaleŜności pomiędzy miarami długości,

przeliczyć podane długości na metry, korzystając z odpowiednich zaleŜności.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator.

Ćwiczenie 2

Wykonaj sumowanie i odejmowanie kątów wyraŜonych w tych samych jednostkach.

100°10'20" + 181°01'02",

269°59'57" + 359°58'57,

269°59'57" - 100°10'20",

311

+399

222

- 99

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

wyrazić kąty w jednolitych jednostkach,np. w stopniach lub w sekundach dla kątów
podanych w mierze stopniowej lub w gradach lub decymiligradach – dla kątów podanych
w mierze gradowej,

wykonać sumowanie lub odejmowanie kątów,

wyrazić ponownie kąty w stopniach – minutach – sekundach, lub gradach – centygradach
– decymiligradach,

sprawdzić czy otrzymane wyniki nie przekraczają wartości kata pełnego. JeŜeli tak, to
naleŜy je zredukować o wartość kąta pełnego.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator.

Ćwiczenie 3

Zamień wartości kątów wyraŜone w stopniach na grady:

100°10'20",

181°01'02",

269°59'57",

359°58'57,

0°01'01".

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania zaleŜności między jednostkami miar kątowych,

zamienić minuty i sekundy na części stopnia,

przeliczyć wartości kątów na grady, stosując odpowiednie zaleŜności.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Ćwiczenie 4

WyraŜone w gradach miary kątowe, zamień na stopnie.

a) 99

222

311

399

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania zaleŜności między jednostkami miar kątowych,

zamienić centygrady i decymiligrady na części grada,

przeliczyć wartości kątów na stopnie, stosując odpowiednie zaleŜności,

wyrazić otrzymany wynik w stopniach, minutach i sekundach.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator.

4.2.4. Sprawdzian postępów

Czy potrafisz:

Tak

Nie

podać miary długości stosowane w geodezji?

przeliczyć miary długości stosowane w geodezji?

scharakteryzować podział stopniowy i gradowy?

scharakteryzować sposób zapisu kąta w stopniach i w gradach?

przeliczyć stopnie na grady i odwrotnie?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.3.

Posługiwanie

się

współrzędnymi

rozwiązywania

podstawowych zadań geodezyjnych

4.3.1. Materiał nauczania

Azymut odcinka

Azymutem A

odcinka AB, jest kąt zawarty pomiędzy kierunkiem południka

przechodzącego przez punkt A, a odcinkiem AB, liczony zgodnie z ruchem wskazówek
zegara od kierunku południka. Azymut moŜe przybierać wartości od 0° do 360° (0

– 400

)

Rys.  6.  JeŜeli  punktem  wyjściowym  dla  określenia  azymutu  jest  punkt  B,  wówczas
prowadzimy z niego kierunek północy i wyprowadzamy w prawo kąt pomiędzy linią północy
a  bokiem  BA.  Otrzymamy  wówczas  azymut  boku  odwrotnego  BA  (azymut  odwrotny),
oznaczany  symbolem  A

, który róŜni się od azymutu boku wyjściowego o wartość kąta

półpełnego - 180° (200

). MoŜemy to zapisać wzorem: A

= A

± 180° (lub 200

). Znak

„plus” we wzorze dotyczy azymutów wyjściowych do 180° (lub 200

), znak „minus”

wprowadzany jest gdy azymut wyjściowy przekracza 180° (lub 200

Rys. 6. Azymut odcinka, przyrosty współrzędnych [1, s. 85]

PoniewaŜ południk moŜe być określany róŜnymi sposobami, w związku, z czym

wyróŜnia się kierunki południków: geograficznego, topograficznego i magnetycznego.

Południk geograficzny jest to linia na powierzchni kuli ziemskiej, łącząca bieguny

geograficzne Ziemi.

Południk topograficzny jest obrazem na mapie południka geograficznego przechodzącego

przez określony punkt na mapie. Na mapach w duŜych skalach opracowanych w prostokątnym
układzie współrzędnych, kierunek osi 0X pokrywa się z kierunkiem południka
topograficznego, przechodzącego przez środek obszaru przedstawionego na mapie. Przyjmuje
się, Ŝe na mapach wielkoskalowych południki topograficzne są do siebie równoległe
i równoległe do osi 0X układu współrzędnych prostokątnych.

∆Y

∆X

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Południk magnetyczny, to linia na powierzchni Ziemi, łącząca bieguny magnetyczne

Ziemi. Kierunek południka magnetycznego jest wyznaczany przez igłę magnetyczną busoli.
W  zaleŜności  od  przyjętego  kierunku  odniesienia,  wyróŜnia  się  azymuty:  geograficzny,
topograficzny i magnetyczny. PoniewaŜ kierunki południków geograficznego, magnetycznego
i  topograficznego  nie  pokrywają  się,  w  związku,  z  tym  azymuty  odcinka,  mającego  swój,
początek w danym punkcie, będą się róŜniły o wartości kątowe:

−

azymut  geograficzny  i  magnetyczny  o  kąt  deklinacji  magnetycznej  „δ”–  (jest  to  kąt
zawarty  pomiędzy  południkiem  geograficznym  Ng  i  magnetycznym  Nm.  Azymut
geograficzny  Ag  obliczamy  sumując  azymut  magnetyczny  i  deklinację  magnetyczną:
Ag = Am + δ,

−

azymut  geograficzny  i  topograficzny  o  kąt  zbieŜności  południków  „γ”–  (jest  to  kąt
zawarty  pomiędzy  południkiem  geograficznym  Ng  i  topograficznym  Nt).  Azymut
geograficzny  Ag  obliczamy  sumując  azymut  topograficzny  i  kąt  zbieŜność  południków:
Ag = At + γ. (Rys. 7)

Rys. 7. ZaleŜność między azymutem geograficznym, topograficznym i magnetycznym [1, s. 84]

Zgodnie z rys. nr 6, wzór na obliczenie azymutu topograficznego ma postać:

tgA

∆Y

∆

gdzie:
tgA

– tangens azymutu odcinka AB,

∆X

– róŜnica (przyrost) współrzędnych na odcinku AB wzdłuŜ osi X: ∆X

= X

– X

∆Y

– róŜnica (przyrost) współrzędnych na odcinku AB wzdłuŜ osi Y: ∆Y

= Y

– Y

Jak opisano wcześniej wartości azymutu przybierają wielkości od 0° do 360° (0

-400

a na podstawie podanego wzoru nie jesteśmy w stanie określić wartości kąta A

W  celu  jednoznacznego  określenia  tej  wartości  wprowadzono  pojęcie  czwartaka.  Czwartak
„φ”  jest  to  kąt  ostry,  zawarty  pomiędzy  linią  osi  X  a  danym  odcinkiem  AB  obliczony  na
podstawie  podanego  wyŜej  wzoru.  ZaleŜności  pomiędzy  czwartakiem,  a  azymutem
przedstawia tabela nr 2.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Tabela 2. ZaleŜność pomiędzy czwartakiem a azymutem [1, s. 86]

Znaki

Numer ćwiartki

azymutu

∆X

cos A

∆Y

sin A

ZaleŜność pomiędzy
azymutem „A”
i czwartakiem „φ”

A =

–

A = 200

III

–

A = 200

–

A = 400

Układ ćwiartek i czwartaków przedstawia Rys. nr 8. (a,b,c,d)

II ćwiartka

= 200

(180°) - φ

I ćwiartka

= φ

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 8. ZaleŜności pomiędzy azymutem i czwartakiem [2, s. 85]

Obliczenia kontrolne azymutu odcinka polegają obliczeniu azymutu powiększonego o kąt 45°
(50

tg(A

+45°) =

)

(

∆

−

∆

Obliczenie odległości ze współrzędnych

Wzór na obliczenie długości odcinka AB ze współrzędnych ma postać:

∆

Dla kontroli poprawności obliczeń moŜna stosować wzór:

cosA

∆

sinA

∆

III ćwiartka

IV ćwiartka

= 200

(180°) + φ

= 400

(360°) - φ

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

W praktyce geodezyjnej stosuje się formę tabelarycznego zestawienia danych do

obliczeń, wyników oraz obliczeń kontrolnych. Przykład takich obliczeń przedstawia tabela
nr 3.

Tabela 3. Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych [1, s. 87]

Kontrola

∆

cos

∆x + ∆y

Oznaczenie

punktów:

końcowy B

początkowy -

Czwartak φ

sin

∆x - ∆y

A+45° (50

)

Lp.

Oznaczenie

zwrotu

boku: A→B

∆X

∆Y

Azymut A

Odległość

∆

tgΨ=

∆

cos

∆

sin

∆

2 708,63

4 541,15

0,364 483 9

0,939 537 4

-980,29

89,1

4 251,14

3 978,93

10,9

0,342 446 2

-2 104,73

227

A - B

-1 542,51

+562,22

177

1 641,776

0,465 7557

1 641,776

3 978,93

12 561,78

0,804 230 1

0,779 258 4

+144,21

6°11'33,8"

+562,22

13 154,20

38°48'26,2"

0,626 702 8

+1 329,05

6°11'33,8"

C - D

+736,63

-592,42

321°11'33,8"

945,296

0,108 506 1

945,296

Obliczenie współrzędnych punktu końcowego, gdy znany jest azymut i długość odcinka

JeŜeli znane są współrzędne punktu A (X

) – początku odcinka, azymut linii AB oraz

jej długość d

(Rys. 6) aby obliczyć współrzędne punktu B – końca odcinka, stosujemy

wzory:

= X

+ ∆X

= X

+ d

AB.

cosA

= Y

+ ∆Y

= Y

+ d

sinA

Obliczenia kontrolne:

)

(

oraz A

= arc tg

∆

Obliczenie współrzędnych punktu na prostej

Aby obliczyć współrzędną punktu P połoŜonego na prostej wyznaczonej przez punkty A

i B o znanych współrzędnych (Rys. nr 9),

Rys. 9. Punkt na prostej AB [opracowanie własne]

naleŜy posłuŜyć się wzorem:

= X

+ d

cosA

= Y

+ d

sinA

A(X

)

B(X

, Y

)

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Jako obliczenie kontrolne moŜna obliczyć odległości: d

AP,

oraz d

AB,

ze współrzędnych

a następnie sprawdzić czy spełniona jest równość:

= d

AP,

+ d

lub obliczyć azymut A

i sprawdzić czy A

= A

Obliczenie współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym

Jedną z metod pomiaru połoŜenia obiektów terenowych jest metoda rzędnych i odciętych

nazywana równieŜ metodą domiarów prostokątnych. Metoda ta wykorzystuje odcinek – linię
pomiarową - oparty na punktach o znanych współrzędnych, do zrzutowania na nią szczegółów
terenowych i polega na określeniu ich rzędnej i odciętej.
Zgodnie z Rys. 10, odciętą nazywamy odcinek „d” a rzędną - prostopadły do linii AB odcinek
„h”. Przy obliczaniu współrzędnych punktów pomierzonych metodą domiarów prostokątnych,
rzędnym nadaje się róŜne znaki w zaleŜności od tego, po której stronie linii AB znajduje się
mierzony punkt. JeŜeli punkt P znajduje się po prawej stronie linii, to rzędna otrzymuje znak
plus (+), a jeŜeli po lewej stronie – znak minus (-). Podana zasada jest słuszna przy załoŜeniu,
Ŝe linia pomiarowa jest tak zorientowana, Ŝe w punkcie A jest jej początek a w punkcie
B – koniec.

Rys. 10. Rzędna i odcięta punktów P i R [opracowanie własne]

Do obliczenia współrzędnych punktu P słuŜą wzory:

= X

+ d cosA

– h sinA

= Y

+ d sinA

+ h cosA

Obliczenia kontrolne moŜemy wykonać dwoma sposobami:

Ponownie określić współrzędne szukanego punktu, po zmianie kierunku obliczeń na
odwrotny (od B do A). Wymaga to przeliczenia wartości odciętych i zmiany znaku
rzędnych.

Obliczyć odległość AP i BP ze współrzędnych oraz z danych terenowych:

∆

)

W przypadku obliczania współrzędnych wielu punktów rzutowanych na tę samą prostą,

wskazane i wygodne jest wykonywanie obliczeń w formie tabelarycznej. Przykładową tabelę
przedstawiono poniŜej.

)

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Tabela 4. Obliczenie współrzędnych punktów na domiarze prostokątnym [1, s. 91]

Domiary

prostokątne

Przyrosty

domiarów

Bok osnowy

Przyrosty

współrzędnych

Współrzędne

punktów

Oznacze

nie

punktó

Odcięta

Rzędna

odciętej

∆l

rzędnej

∆h

∆x

∆y

AB ob.l

-f

dmax

Współczynnik

Kierunkowe

cosA

sinA

∆x=

∆lcosA-

∆hsinA

∆y=

∆lsinA-

∆hcosA

Oznacze-

nie

punktów

0,00

4950,12

7251,84

+47,93

-22,47

+14,32

-186,89

+0,0763978

-0,9970657

-18,75

-49,49

47,93

-22,47

4931,37

7202,35

+30,19

+46,41

187,44

+48,59

-26,55

78,12

+23,94

4979,96

7175,80

0,00

62,94

-23,94

+0,06
±0,13

-15,52

-110,85

187,50

SUMY

187,44

0,00

+14,32

-186,89

4964,44

7064,95

Obliczenie kąta ze współrzędnych

JeŜeli dane są trzy punkty o znanych współrzędnych to moŜna na ich podstawie obliczyć

kąt zawarty pomiędzy odcinkami opartymi na tych punktach.

Rys. 11. ZaleŜności między wartością kąta a azymutami jego ramion [1, s. 92]

Na podstawie Rys. 11, moŜemy stwierdzić, Ŝe kąt β zawarty pomiędzy odcinkami CL

i CP równy jest róŜnicy azymutów kierunków, które są jego ramionami.

β = A

- A

MoŜliwe jest równieŜ obliczenie kąta ze współrzędnych na podstawie wzoru:

tgβ =

∆

•

Wykorzystując ten wzór naleŜy zwrócić uwagę na znaki licznika i mianownika w celu

ustalenia ćwiartki i prawidłowego obliczenia wartości funkcji arc tg.

Obliczenie pola powierzchni figury ze współrzędnych

Powierzchnię czworoboku 1,2,3,4 przedstawionego na Rys. 12 moŜemy przedstawić jako

kombinację powierzchni trapezów.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 12. Powierzchnia wieloboku jako kombinacja powierzchni trapezów [1, s. 115]

Są to trapezy o podstawach równoległych do osi X lub o podstawach równoległych do osi

Y. Pole wieloboku moŜna rozpatrywać jako sumę pól trapezów zawierających fragmenty
wieloboku, pomniejszoną o pola trapezów znajdujących się na zewnątrz wieloboku.
Rozpatrując trapezy o podstawach równoległych do osi X, moŜemy napisać:

2P = (X

+ X

)(Y

– Y

) – (X

+ X

)(Y

– Y

) – (X

+ X

)(Y

– Y

) + (X

+ X

)(Y

– Y

)

Analogicznie rozpatrując trapezy o podstawach równoległych do osi Y moŜemy napisać:

2P = (Y

+ Y

)(X

– X

) + (Y

+ Y

)(X

– X

) – (Y

+ Y

)(X

– X

) – (Y

+ Y

)(X

– X

)

Po odpowiednich przekształceniach i uogólnieniu oznaczeń otrzymamy wzory:

2P =

∑

i 1

)

)(Y

(

-2P =

)

)(X

(

∑

Wzory te noszą nazwę wzorów trapezowych.

Po wymnoŜeniu wyraŜeń w nawiasach oraz dokonaniu redukcji wyrazów i uogólnieniu,

otrzymamy wzory:

2P =

∑

i 1

-2P =

∑

Podczas ustalania kierunku wzrostu wskaźnika „

i” dla obliczeń poszczególnych

iloczynów  naleŜy  pamiętać,  Ŝe  kierunek  ten  powinien  biec  zgodnie  z  ruchem  wskazówek
zegara,  tj.  (w  prawo).  W  przypadku  niezachowania  tej  zasady  otrzymamy  na  podstawie
pierwszego wzoru pole ujemne a na podstawie drugiego pole dodatnie.

Kontrolę obliczenia róŜnic Y

i+1

– Y

i-1

oraz X

i+1

– X

i-1

stanowi warunek, Ŝe suma tych

róŜnic równa się zero (wielobok zamknięty):

∑

i 1

)

(

)

(

∑

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Kontrolą jest równieŜ dwukrotne obliczenie tej samej powierzchni ze wzorów 2P oraz -

2P. Otrzymane wartości powinny być takie same.

Obliczenia pośrednie róŜnic współrzędnych, a zwłaszcza iloczynów wchodzących

w skład sumy, nie muszą być zapisywane, lecz rejestrowane w pamięci kalkulatora.

Przy obliczaniu pola powierzchni korzystne jest utworzenie tabeli z punktami ułoŜonymi

po obwodzie figury zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w postaci: nr punktu, współrzędna
X, współrzędna Y. Dla ułatwienia wyszukiwania z tabeli właściwych wartości współrzędnych,
potrzebnych do utworzenia kaŜdego iloczynu, wygodne jest korzystanie z szablonów
z wyciętymi okienkami, przedstawionych poniŜej.

Współrzędnymi prostokątnymi, które mogą być wykorzystane do obliczania pól wyŜej

wymienionymi wzorami mogą być zarówno współrzędne geodezyjne X i Y jak i domiary
prostokątne z metody ortogonalnej: odcięte jako współrzędne X i rzędne jako współrzędne Y.

NaleŜy przy tym pamiętać o właściwych znakach odciętych i rzędnych. Ujemna

współrzędna  X  występuje  tylko,  wtedy,  gdy  pomierzony  punkt  obrysu  figury znajduje się na
przedłuŜeniu  linii  pomiarowej,  przed  jej  punktem  początkowym.  Ujemna  współrzędna  Y
występuje  wtedy,  gdy  pomierzony  punkt  obrysu  figury  znajduje  po  lewej  stronie  linii
pomiarowej.

Przykład: na rys. nr 13 przedstawiono pomiar działki wykonany metodą domiarów

prostokątnych.

Rys. 13. Pomiar działki metodą domiarów prostokątnych [2, s. 114]

Sposób obliczenia powierzchni działki zestawiono w tabeli nr 5.

Tabela 5. Obliczenie pola działki wg. danych pokazanych na rys. 13 [2, s. 116]

Współrzędne

punktów

Iloczyny

pkt

i+1

-Y

i-1

i+1

-X

i-1

i+1

- Y

i-1

) Y

i+1

-X

i-1

)

Pole obiektu

+15,40

+13,40

+19,60

-21,50

-31,10

+16,10

-589,96

-346,15

+31,50

-16,70

+30,70

+30,40

+967,05

-507,68

+50,00

+9,20

+30,10

-16,10

+1505,00

-148,12

+15,40

+13,40

-30,70

-30,40

-472,78

-407,36

+19,60

-21,50

Σ=0,00

2p=+1409,31 -2p=-1409,31

704,66m

i-1

i+1

i-1

i+1

działka 245/2

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Sposób obliczenia powierzchni działki na podstawie znanych współrzędnych zestawiono

w tabeli nr 6.

Tabela 6. Obliczenie pola działki wg. danych współrzędnych [opracowanie własne]

Współrzędne punktów

Iloczyny

Pkt

i+1

-Y

i+1

-X

i-1

i+1

- Y

i-1

)

i+1

-X

i-1

)

Pole

obiektu

136,89

623,31

121,60

778,25

+153,80

-27,67

18702,08

-21534,18

109,22

777,11

-156,10

+2,91

-17049,24

2261,39

124,51

622,15

-153,80

+27,67

-19149,64

17214,89

136,89

623,31

+156,10

-2,91

21368,53

-1813,83

121,60

778,25

Σ=0,00

2P=3871,73

-2P=-3871,73

1935,86m

Zastosowanie do obliczeń geodezyjnych programów obliczeniowych

Wszystkie podane powyŜej zadania z rachunku współrzędnych moŜna wykonać

z wykorzystaniem komputera i zainstalowanych na nim programów obliczeniowych. Spośród
popularnych  programów  obliczeniowych,  wykorzystywanych  przez  geodetów,  moŜna
wymienić następujące: Geo89, C-geo, Geonet, WinKalk, GeoMap. W róŜnych programach te
zadania  mogą  być  nieco  inaczej  nazywane,  niemniej,  jednak  jeŜeli  szukamy  w  programie
sposobu  obliczenia  współrzędnych  punktu  na  prostej  lub  punktu  pomierzonego  metodą
rzędnych  i  odciętych,  to  szukamy  obliczeń  lub  pomiarów  wykonanych  metodą  domiarów
prostokątnych.  JeŜeli  mamy  obliczyć  współrzędną  punktu,  gdy  dany  jest  punkt  zaczepienia,
azymut  i  długość  odcinka,  to  szukamy  obliczeń  metodą  biegunową,  nazywaną  równieŜ
w programie  WinKalk  tachimetrią.  Obliczenie  odległości,  azymutu,  pola  powierzchni  ze
współrzędnych teŜ nie będzie trudnym zadaniem, poniewaŜ rozwijając zakładki w zadaniach
obliczeniowych,  znajdziemy  interesujące  nas  zadanie  obliczeniowe. W przypadku obliczania
azymutu  lub  kąta  ze  współrzędnych,  nie  musimy  ustalać  w  której  ćwiartce  znajdują  się
szukane wielkości i podstawiać do obliczeń czwartaki, poniewaŜ program obliczeniowy zrobi
to za nas i poda nam prawidłową wielkość.

NiezaleŜnie od tego, jaki program obliczeniowy zastosujemy, przed wykonaniem

obliczeń musimy załoŜyć obiekt, nadając mu nazwę (najlepiej kojarzącą się nam z konkretną
pracą geodezyjną), wprowadzić do tego obiektu dane, takie jak numery i współrzędne
punktów. Zapisanie tych danych pozwoli nam wielokrotnie powracać do tego obiektu, a przy
wykonywaniu obliczeń operować numerami punktów, co przyśpieszy wykonanie pracy.

W trakcie pracy moŜemy wykonać (w celach kontrolnych) edycję rysunku obliczonej

konstrukcji. Po wykonaniu obliczeń, w zaleŜności od zastosowanego programu, moŜemy
wykonywać wydruki raportów obliczeniowych, które będą zawierały dane, przyjęte do
obliczeń oraz wyniki.

4.3.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

1. Jakie układy współrzędnych są stosowane w geodezji?
2.

Jak zorientowany jest geodezyjny układ współrzędnych prostokątnych płaskich?

Co to jest czwartak?

Przy jakich obliczeniach stosowany jest czwartak?

Jakie są rodzaje azymutów?

Na jakich zasadach nadaje się odciętym znak (+) lub (–), przy obliczaniu współrzędnych
punktu na domiarze prostokątnym?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Z jakich zaleŜności korzysta się przy obliczaniu azymutu i długości ze współrzędnych?

Jakie wzory stosuje się przy obliczaniu pola powierzchni ze współrzędnych?

Jakie czynności naleŜy wykonać, aby wykonać obliczenia geodezyjne przy pomocy
komputerowego programu obliczeniowego?

4.3.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Odcinek AB oparty jest na punktach o znanych współrzędnych X

= 5000.00,

= 5000.00, X

= 4842.77, Y

= 5118.17. W oparciu o podane wartości współrzędnych

oblicz azymut odcinka AB wyraŜony w gradach oraz długość tego odcinka.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,

obliczyć przyrosty współrzędnych,

ustalić ćwiartkę azymutu,

obliczyć szukane wielkości,

wykonać obliczenia kontrolne.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator inŜynierski.

Ćwiczenie 2

Znany jest odcinek AC o długości 123,45 m, zaczepiony w punkcie A o współrzędnych:

= 5000.00, Y

= 5000.00, zorientowany azymutem A

= 311

. Na podstawie

podanych danych oblicz współrzędne końca odcinka – punktu C.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,

obliczyć przyrosty współrzędnych,

obliczyć szukane wartości,

wykonać obliczenia kontrolne.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator inŜynierski.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono punkty pomierzone na prostej oraz metodą domiarów

prostokątnych. Oblicz współrzędne punktów 1,2,3,4.Jako współrzędne punktów A i B
przyjmij wartości: X

= 5000.00, Y

= 5000.00, X

= 4842.77, Y

= 5118.17. Obliczenia

wykonaj w formie tabelarycznej.

Rysunek do ćwiczenia 3

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,

ułoŜyć tabelę do obliczeń współrzędnych punktów na domiarach prostokątnych,

określić współczynniki kierunkowe,

określić znaki dla domiarów,

obliczyć współrzędne pomierzonych punktów,

wykonać obliczenia kontrolne.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator inŜynierski.

Ćwiczenie 4

Odcinki LC i CP zaczepione są we wspólnym punkcie C (Rys.). Znając współrzędne

punktów LCP oblicz kąt α (wyraŜony w gradach), zawarty między odcinkiem CL i CP. Dane
współrzędne punktów:
Punkt L:

X = 4325.00,

Y = 6467.00

Punkt C:

X = 4416.00,

Y = 6560.00

Punkt P:

X = 4444.00,

Y = 6560.00

Rysunek do ćwiczenia 4

↑

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

1) odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,
2) obliczyć azymuty ramion kąta,
5)

obliczyć kąt z róŜnicy azymutów,

wykonać jako kontrolę obliczenie kąta ze współrzędnych wg. odpowiedniego wzoru
kontrolnego, zwracając uwagę na znak licznika i mianownika.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator inŜynierski.

Ćwiczenie 5

Wykorzystując miary z pomiaru metodą domiarów prostokątnych oblicz powierzchnię

figury ograniczonej punktami1, 2, 3, 4.

Rysunek do ćwiczenia nr 5

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,

ułoŜyć tabelę do obliczenia pola powierzchni na podstawie rzędnych i odciętych,

określić znaki domiarów ,

przyjąć odcięte i rzędne jako współrzędne punktów do obliczenia powierzchni figury,

obliczyć powierzchnię figury 1,2,3,4,

wykonać obliczenia kontrolne.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator.

..6

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Ćwiczenie 6

Znane są współrzędne punktów granicznych działki.

punktu

153.42

608.99

138.51

606.87

124.51

622.15

109.22

777.11

136.45

779.62

W podanym wykazie punkty ułoŜone są kolejno po obwodnicy, zgodnie z ruchem

wskazówek zegara. Na podstawie podanych wartości współrzędnych oblicz powierzchnię
działki.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

odszukać w materiale nauczania potrzebne wzory,

wykonać szablon, przydatny do obliczenia powierzchni ze współrzędnych,

obliczyć pole powierzchni działki wykorzystując wykonany szablon,

wykonać obliczenia kontrolne.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

−

papier formatu A4,

−

kalkulator.

Ćwiczenie 7

Wykorzystując komputer i dostępny program do obliczeń geodezyjnych, wykonaj zadania

opisane w ćwiczeniach 1 - 6, przyjmując te same dane.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:

przestrzegać zasad bezpieczeństwa koniecznych przy pracy z komputerem,

odszukać odpowiednie zadanie w programie obliczeniowym,

wprowadzić konieczne dane do wykonania obliczeń,

ustawić o ile to konieczne odpowiednie jednostki w programie,

wykonać niezbędne obliczenia,

porównać uzyskane wyniki z obliczonymi bez pomocy komputera.

WyposaŜenie stanowiska pracy:

–

papier formatu A4,

–

komputer,

–

program do obliczeń geodezyjnych zainstalowany na komputerze.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.3.4. Sprawdzian postępów

Czy potrafisz:

Tak

Nie

zdefiniować pojęcie azymutu kierunku?

zdefiniować pojęcie czwartaka?

obliczyć azymut kierunku ze współrzędnych?

obliczyć długość odcinka ze współrzędnych?

obliczyć współrzędną punktu na prostej i na domiarze prostokątnym?

obliczyć wartość kąta ze współrzędnych?

obliczyć pole powierzchni figury ze współrzędnych?

wykonać

obliczenia

zakresu

rachunku

współrzędnych,

wykorzystując oprogramowanie komputerowe?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

SPRAWDZIAN OSIĄGNIĘĆ

INSTRUKCJA DLA UCZNIA

Przeczytaj uwaŜnie instrukcję.

Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.

Zapoznaj się z zestawem zadań testowych.

Test zawiera dwadzieścia trzy zadania. Do kaŜdego zadania dołączone są cztery
moŜliwości odpowiedzi. Tylko jedna jest prawidłowa.

Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi stawiając w odpowiedniej rubryce
znak „X”. W przypadku pomyłki naleŜy błędną odpowiedź zaznaczyć kółkiem a
następnie ponownie zakreślić odpowiedź prawidłową.

Zadania wymagają stosunkowo prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed
wskazaniem poprawnego wyniku.

Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonanego zadania.

JeŜeli udzielanie odpowiedzi będzie sprawiało Ci trudność, wtedy odłóŜ jego rozwiązanie
na później i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.

Po zakończeniu testu podnieś rękę i zaczekaj aŜ nauczyciel odbierze od Ciebie pracę.

10.

Na rozwiązanie testu masz 80 minut.

Powodzenia!

ZESTAW ZADAŃ TESTOWYCH

1. Geodezja jako nauka zajmuje się

budową wnętrza Ziemi.

określeniem wymiarów i kształtu Ziemi.

budową geologiczną Ziemi.

badaniem jądra Ziemi.

Jako jeden z pierwszych pomiary i obliczenia kształtu Ziemi wykonywał

Tales z Miletu.

Pitagoras.

Erastostenes.

Galileusz.

Układ współrzędnych geodezyjnych róŜni się od układu współrzędnych matematycznych
a)

połoŜeniem osi X i Y oraz kierunkiem liczenia kątów.

promieniem wodzącym i kierunkiem liczenia kątów.

kierunkiem osi pionowej, która jest zgodna z kierunkiem południka magnetycznego.

oznaczeniem osi: H i Z.

Podział gradowy polega na podziale kąta pełnego na
a)

100 części.

360 części.

400 części.

1000 części.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Kąt wyraŜony w mierze stopniowej wynosi: 259°16'25". Ten sam kąt wyraŜony w gradach
ma wielkość
a)

288

289

295

Kąt wyraŜony w mierze gradowej ma wielkość 135

. Ten sam kąt wyraŜony

w mierze stopniowej ma wielkość
a)

121°58'34".

164°56'24".

125°13'26".

121°48'14".

Skala mapy oznacza
a)

wielkość arkusza, na którym wykreślona jest mapa.

wielkość terenu objętego mapą.

stosunek długości odcinka na mapie do długości rzutu poziomego tego odcinka
w terenie.

odległość pionową między warstwicami.

Podziałka poprzeczna (transwersalna) jest stosowana do
a)

pomiaru i odkładania odległości na mapie.

podziału odcinka na równe części.

sprawdzania prawidłowości naniesienia podziału na taśmach geodezyjnych.

nanoszenia siatki kwadratów na mapach.

Na mapie o nieznanej skali 1:M

oraz na mapie w skali 1:5000 zidentyfikowano

i pomierzono ten sam odcinek terenowy, otrzymując wynik: d

= 46,2 mm, i d

38,8 mm. Nieznany mianownik skali - M

1000.

2000.

2880.

4199.

10.

Ta terenach byłego zaboru rosyjskiego moŜna się spotkać ze skalą mapy
a)

1:2000.

1:2880.

1:4200.

1:5000.

11.

Na mapie w skali 1:500 pomierzono odcinek o długości 125.3 mm. W terenie odpowiada
mu odcinek o długości
a)

62.65 m.

105.30 m.

125.30 m.

626.50 m.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

12.

Odcinek łączący dwa punkty geodezyjnej sieci pomiarowej o znanych współrzędnych ma
długość: 201.60 m. Po naniesieniu tych punktów na mapę w skali 1:2000, ten sam odcinek
będzie miał na mapie długość
a)

100.8 mm.

151.1 mm.

201.6 mm.

403.2 mm.

13 Dany jest odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: X

= 100.00,

= 100.00, XB= 50.00, Y

= 50,00. Prawidłowa wartość azymutu odcinka AB wyraŜona

w gradach to
a)

150

250

350

14. Dany jest odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: X

= 100.00,

= 100.00, XB= 50.00, Y

= 50,00, prawidłowa długość odcinka AB to

50.71 m.

70.07 m.

70,71 m.

107.71 m.

15. Od punktu A o współrzędnych X

= 100.00, Y

= 100.00, odmierzono odcinek o długości

110.00 m i azymucie: 335

. Współrzędne końca odcinka będą miały wartość

X = 107.47, Y = 56.21.

X = 160.00, Y = 150.00.

X = 160.00, Y = 56.21.

X = 107.47, Y = 6.21.

16. Na odcinek oparty na punktach A i B o znanych współrzędnych: X

= 100.00,

= 100.00, XB= 50.00, Y

= 50,00, wtyczono punkt D w odległości 50.00 m od punktu

A. Prawidłowa wartość współrzędnych punktu D to
a)

X = 54.64, Y = 136.56.

X = 64.64, Y = 64.64.

X = 34.34, Y = 36.36.

X = 164.64, Y = 136.35.

17. Podczas obliczania współrzędnych punktów pomierzonych metodą domiarów

prostokątnych, odcięte pomierzonych punktów przyjmuje się ze znakiem (-), w przypadku,
gdy punkt znajduje się
a)

na prawo od prostej.

na lewo od prostej.

na przedłuŜeniu prostej, za punktem końcowym.

na przedłuŜenie prostej, przed punktem początkowym.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

18. Na linię pomiarową poprowadzoną przez punkty A i B o znanych współrzędnych:

= 100.00, Y

= 100.00, XB= 50.00, Y

= 50,00, zrzutowano punkt E, otrzymując

wartości: odcięta d = 25.00 m, rzędna h = -15.00 m. Przyjmując, Ŝe odcinek jest
zorientowany A→B oraz podane dane, właściwe współrzędne punktu E to

X = 93.93, Y = 128.28.

X = 71.72, Y = 107.07.

X = 71.72, Y = 92.93.

X = 100.00,Y = 135.36.

19. Czwartakiem nazywamy

azymut kierunku znajdującego się w IV ćwiartce.

kąt zawarty pomiędzy południkiem magnetycznym i geograficznym.

kąt zawarty pomiędzy południkiem geograficznym i topograficznym.

kąt ostry zawarty pomiędzy osią X a danym kierunkiem.

20. Znane są odcinki LF i FP zaczepione we wspólnym punkcie F.(Rys.) Współrzędne

punktów mają wartości:

L: X = 200.00, Y = 100.00

F: X = 150.00, Y = 150.00

P: X = 100.00, Y = 100.00.

Rysunek do zadania nr 20

Przyjmując oznaczenia zgodne z rysunkiem oraz podane wartości współrzędnych, kąt

wyraŜony w gradach będzie miał wartość

275

300

335

350

21. Warstwica jest to linia

oddzielająca warstwy gleby na profilu glebowym.

łącząca na mapie punkty o tym samym azymucie.

łącząca punkty na mapie o tej samej wysokości względem przyjętego poziomu
odniesienia.

łącząca punkty na mapie o tej samej wartości współrzędnej X lub Y.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

22. Metodą domiarów prostokątnych pomierzono punkty graniczne działki przedstawionej na

rysunku.

Rysunek do zadania 22

Pole powierzchni pomierzonej w ten sposób działki ma wartość

3100 m

3110 m

3112 m

3118 m

23.

Pomierzono połoŜenie i obliczono współrzędne punktów granicznych działki. Punkty
połoŜone na obwodnicy działki mają wartości współrzędnych:

136,89

623,31

121,60

778,25

109,22

777,11

124,51

622,15

Przyjmując, Ŝe punkty ułoŜone są po obwodnicy działki zgodnie z kierunkiem ruchu

wskazówek zegara, pole powierzeni działki ma wartość

1926 m

1936 m

1946 m

1956 m

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

KARTA ODPOWIEDZI

Imię i nazwisko:..........................................................................................

Posługiwanie

się

jednostkami

miar,

skalą

oraz

współrzędnymi

geodezyjnymi

Zakreśl poprawną odpowiedź.

zadania

Odpowiedź

Punkty

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Razem: