1
Pochodne funkcji elementarnych
(c)
0
= 0
(x
α
)
0
= αx
α−1
(sin x)
0
= cos x
(cos x)
0
= − sin x
(tan x)
0
=
1
cos
2
x
= 1 + tan
2
x
(cot x)
0
=
−1
sin
2
x
= −1 − cot
2
x
(a
x
)
0
= a
x
ln a
(e
x
)
0
= e
x
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
(ln x)
0
=
1
x
(arcsin x)
0
=
1
√
1−x
2
(arccos x)
0
=
−1
√
1−x
2
(arctan x)
0
=
1
1+x
2
(arc ctg x)
0
=
−1
1+x
2
(sinh x)
0
= cosh x
(cosh x)
0
= sinh x
(tanh x)
0
=
1
cosh
2
x
(coth x)
0
=
−1
sinh
2
x
2
Wzory na podstawowe całki
R x
n
dx =
x
n+1
n+1
+ C
R
1
x
dx = ln |x| + C
R sin xdx = − cos x + C
R cos xdx = sin x + C
R
dx
cos
2
x
= tan x + C
R
dx
sin
2
x
= − cot x + C
R a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
R e
x
dx = e
x
+ C
R
dx
1+x
2
= arctan x + C
R
dx
√
1−x
2
= arcsin x + C
R sinh xdx = cosh x + C
R cosh xdx = sinh x + C
R
dx
cosh
2
x
= tanh x + C
R
dx
sinh
2
x
= − coth x + C
R
f
0
(x)
f (x)
= ln |f (x)| + C
3
Dodatkowe wzory całek
R
dx
x
2
+a
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C
R
dx
x
2
−a
2
=
1
2a
ln
x−a
x+a
+ C
R
dx
a
2
−x
2
=
1
2a
ln
a+x
a−x
+ C
R
dx
√
a
2
−x
2
= arcsin
x
a
+ C
R
√
a
2
− x
2
=
a
2
2
arcsin
x
a
+
x
a
√
a
2
− x
2
+ C
R
dx
√
x
2
+a
= ln
x +
√
x
2
+ a
+ C
R
√
x
2
+ adx =
a
2
ln
x +
√
x
2
+ a
+
x
2
√
x
2
+ a + C
4
Uniwersalne podstawienie trygo-
nometryczne
Jeśli t = tan
x
2
to dx =
2dt
1+t
2
sin x =
2t
1+t
2
cos x =
1−t
2
1+t
2
tan x =
2t
1−t
2
cot x =
1−t
2
2t
5
Całka oznaczona
1. Długość łuku krzywej y = f (x) dla a ¬ x ¬ b wyraża
wzór:
l =
R
b
a
p1 + f
0
(x)
2
dx
2. Długość łuku krzywej określonej parametrycznie x =
x(t), y = y(t) dla α ¬ t ¬ β wyraża wzór:
l =
R
β
α
p(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
dt
3. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy-
wej o równaniu y = f (x) dla a ¬ x ¬ b wyraża wzór:
V = π
R
b
a
f
2
(x)dx
4. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół
osi Ox krzywej o równaniu y = f (x) dla a ¬ x ¬ b
wyraża wzór:
S = 2π
R
b
a
f (x)
p1 + (f
0
(x))
2
dx
5. Objętość bryły powstałej przy obrocie wokół osi Ox krzy-
wej określonej parametrycznie x = x(t),y = y(t) dla
α ¬ t ¬ β wyraża wzór:
V = π
R
β
α
y
2
(t)|x
0
(t)|dt
6. Powierzchnie boczną bryły powstałej przy obrocie wokół
osi Ox krzywej określonej parametrycznie x = x(t),y =
y(t) dla α ¬ t ¬ β wyraża wzór:
S = 2π
R
β
α
|y(t)|
p(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
dt
6
Zastosowania fizyczne
M =
RR ρ(x, y)dxdy-Masa obszaru
M
x
=
RR
D
yρ(x, y)dxdy-moment statyczny względem osi OX
M
y
=
RR
D
xρ(x, y)dxdy-moment statyczny względem osi OY
I
x
=
RR
D
y
2
ρ(x, y)dxdy-moment bezwładności względem osi
OX
I
y
=
RR
D
x
2
ρ(x, y)dxdy-moment bezwładności względem osi
OY
I
0
=
RR
D
(x
2
+ y
2
)ρ(x, y)dxdy-moment bezwładności zględem
punktu (0, 0)
M =
RRR
V
ρ(x, y, z)dxdydz-Masa bryły
M
xy
=
RRR
V
zρ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem
płaszczyzny XOY
M
yz
=
RRR
V
xρ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem
płaszczyzny YOZ
M
zx
=
RRR
V
yρ(x, y, z)dxdydz-moment statyczny względem
płaszczyzny ZOX
I
xy
=
RRR
V
z
2
ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę-
dem płaszczyzny XOY
I
yz
=
RRR
V
x
2
ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę-
dem płaszczyzny YOZ
I
zx
=
RRR
V
y
2
ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności wzglę-
dem płaszczyzny ZOX
I
x
=
RRR
V
(y
2
+ z
2
)ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności
względem osi X
I
y
=
RRR
V
(z
2
+ x
2
)ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności
względem osi Y
I
z
=
RRR
V
(x
2
+ y
2
)ρ(x, y, z)dxdydz-moment bezwładności
względem osi Z
1