•

 

Wartość oczekiwana 

  ∑ 

∙   

  

wartość oczekiwana to przeciętna wartość zmiennej losowej 

•

 

Moment zwykły rzędu K 





 ∑ 



∙   

  

•

 

Wariancja zmiennej losowej

 





  ∑

 




∙   

   

•

 

Odchylenie standardowe 

   



 

Odchylenie standardowe wyraża przeciętną różnicą pomiędzy wartościami 

zmiennej losowej a wartością oczekiwaną 

Właściwości parametrów rozkładu prawdopodobieństwa 

1.

 

     
  
 

2.

 

 ∙     ∙ 
,    ∈  

3.

 

   ,   ∈  

4.

 





 0 

5.

 





  
  




 




 2 ∙  ∙ 
  




  




 2
 ∙

  




 




 2




 




 




 




 

6.

 





  0 



   0 ,    ł 

Typowe rozkłady dyskretne 

•

 

Rozkład dwupunktowy (0-1, binarny) 
  1   ! ! ∈ 0,1   0   1  ! 

  !




 ! 





  !  !



 !1  !  

•

 

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) 

Zmienna losowa X określona jako liczba „sukcesów” w n niezależnych 

próbach, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest identyczne i wynosi p 

(

! ∈ 0,1 ) ma rozkład prawdopodobieństwa określony wzorem: 

  "   #

$

"% ∙ !



∙ 1  !



, "  1,2,3, … , $ 



 1   ! 1  ($ )" 

 0   1  ! 

  $ ∙ ! 



  $ ∙ ! ∙ 1  !  

•

 

Rozkład Poissona 

  "  

*



"! ∙ 



, "  0,1,2,3, … , * , 0 

•

 

Rozkład geometryczny 

Zmienna losowa X określona jako liczba prób, które wykonano do momentu 

uzyskania pierwszego „sukcesu” w schemacie Bernoulliego (próby 

niezależne, prawdopodobieństwo sukcesu identyczne w każdej próbie i 

wynosi p) ma rozkład prawdopodobieństwa określany przez funkcję 

prawdopodobieństwa 

  "   1  !



∙ ! , - "  1,2,3, … 

 

1

!

 





 

1  !

!



 

Wartość oczekiwana zmiennej losowej X typu ciągłego  

  .  ∙ / 





o ile . || ∙ / 





1 ∞  

Moment zwykły rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego 

 





 . 



∙ / 





o ile . || ∙ / 





1 ∞ 

Wariancja i odchylenie standardowe:  





  




 




   



 

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną wzorem 
3    1  -  ∈  

Wyznaczanie dystrybuanty na przykładzie 

/   4 -  ∈ 0, √2

0 -  ∉ 0, √2

 

 1    . / 



 Wstawiamy f(t) zamiast f(x) ponieważ nie możemy 

całkować po x-sie w granicach zależnych od x 

3   7 / 



 

Dla 

 8 0 

3   7 0 



 0 

Dla

 ∈ 0, √2  

3   7 0 





 7  



 0  9





2 :

 









2 

0



2 





2

 

Dla 

  √2 

3   7 0 





 7  

√



 7 0 



√

 9





2 :

 

 √

 √

2



2 

0



2 

2

2  1

 

3   ;

0 -  8 0





2 -  ∈ 0, √2

1 -   √2

 

Właściwości dystrybuanty: 

1)

 

lim

→

3   1,  lim

→

3   0 

2)

 

Funkcja F(x) jest niemalejąca 

3)

 

Funkcja F(x) jest lewostronnie ciągła 

4)

 

Jeżeli  pewna  funkcja  G(x)  spełnia  powyższe  warunki  to  jest  ona 

dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej 

5)

 

 8  8 ?   3?   3 ,  1 ? 

W  przypadku  rozkładu  typu  ciągłego  dodatkowo  występują  następujące 

własności: 

6)

 

F(x) jest funkcją ciągłą 

7)

 

3



   / /    ę(ść C("ł) !CD(!((?ńD 

8)

 

 1  1 ?  

 8  8 ?  

 1  8 ?  

 8  1 ?  

F 3?   3 -  1 ? 

 

Typowe rozkłady ciągłe 

•

 

Rozkład jednostajny 

~H, ?  

/   I

1

?    -  ∈ , ?

0 -  ∉ , ?

 

 

  ?

2  



 

?  



12

 

3   ;

0 -  ∈ ∞,  ,

  

?    -  ∈ , ?

1 -  ∈1 ?, ∞

 

•

 

Rozkład wykładniczy 

/   J* ∙ 



-   0

0 -  1 0

 

  * 



  *



 

3   K

0 -  1 0

1  



-   0

 

•

 

Rozkład normalny (Gaussa)

~, 

 

/  

1

√2L ∙ M

∙ 



 

మ



మ

 

•

 

Standardowy rozkład normalny 

~N0,1  

/  

1

√2L

∙ 



మ



 

Proces standaryzacji: 

O   P   Q

  R



  R



S   #H

  R



%  

w kwadracie odpowiedni znak nierówności 

,, 1, , 8 

by odczytać wartości z tablic musi być nierówność 

1 -)? 8 

 #H ,

  R



%  1   #H 8

  R



% 

 #H 8

  R



%  T #

  R



%   DC(ść  ?-  

T #

  R



%  1  T #

  R



% 

 1 H 1 ?   T?   T