Strona 1 z 3
Metoda Ritza
w zastosowaniu do belek na spręŜystych podporach
Przykład liczbowy
Leszek Chodor
Dla belki pokazanej na rys. 1 wyznaczyć przybliŜoną linię ugięcia metodą Lagrange’a-Ritza
Ograniczyć się do II przybliŜenia.
1. Funkcjonał energii potencjalnej Lagrange’a
Funkcjonał energii potencjalnej Lagrange’a
Π
dla belki pryzmatycznej na podłoŜu spręŜystym
ze stałą spręŜystości
)
(x
k
, obciąŜonej rozłoŜonym obciąŜeniem
)
(x
q
i ściskanej siłą
)
(x
N
,
ze spręŜystymi podporami skupionymi ze stałymi spręŜystości [pionowa,
obrotowa]=
)
](
,
[
k
M
V
x
C
C
]oraz z obciąŜeniem skupionym
)
](
,
[
k
x
M
V
zlokalizowanym w
punkcie o współrzędnej
k
x
, moŜna zapisać w postaci:
{
}
∫
+
−
+
−
=
Π
l
k
N
EJ
dx
x
w
x
q
x
w
x
w
x
w
0
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)]
(
'
[
)]
(
'
[
)]
(
"
[
(1)
{
}
∑
−
−
+
k
k
k
k
k
k
C
k
C
x
w
M
x
w
V
x
w
x
w
M
V
)
(
'
)
(
)]
(
'
[
)]
(
[
2
2
2
2
,
gdzie w(x)- funkcja ugięcia belki, EJ –sztywność giętna belki względem głównej osi zginania.
Uwaga: W przyjętym układzie współrzędnych pokazany na rys.1, oś w skierowana jest do dołu, więc kąty obrotu
i momentu zginające są dodatnie, jeśli są zgodne z ruchem wskazówek zegara (ogólnie z ruchem od osi x do w).
2. Metoda Ritza minimalizacji funkcjonału
W metodzie Ritza poszukuje się funkcji realizującej minimum funkcjonału w klasie
wielomianów:
∑
+
=
=
n
i
i
i
x
a
x
w
1
0
)
(
)
(
ϕ
ϕ
(2)
Rys.1. Rozwiązywana belka
Strona 2 z 3
Funkcje aproksymujące muszą być dopuszczalne, czyli spełniać warunki brzegowe.
Warunkiem koniecznym stacjonarności funkcjonału
Π
jest zerowanie się jego pochodnych
funkcjonału podług stałych w funkcjach Ritza:
,
0
...
1
=
=
=
∂
Π
∂
∂
Π
∂
i
a
a
(3)
który prowadzi do układu równań , z których wyznacza się stałe funkcji aproksymujących.
3. Metodologia podej
ś
cia w zadaniu
Warunek stacjonarności (3) zastosowany do funkcji podcałkowych (1) z podstawioną
aproksymacją (2), doprowadzi do układu równań Ritza ze współczynnikami wyraŜonymi
stosownymi całkami.
W niniejszym zadaniu, w celu zwiększenia przejrzystości metody – stosuje się podejście
bezpośrednie bez przygotowania ogólnych formuł.
3.1. Przypuszczenie funkcji aproksymuj
ą
cej Ritza
W danych zadania, warunki brzegowe, które powinna spełniać funkcja Ritza, to:
0
)
5
,
1
(
:
)
1
3
3
=
→
=
=
→
w
m
x
x
dla
,
2) innych stabilnych warunków brzegowych nie ustalimy, poniewaŜ nie są znane reakcje na
podporach spręŜystych, w tym podłoŜa spręŜystego. Dlatego w węzłach tych pozostawiamy
swobodę.
Uwaga:
Jeśliby reakcje na podporach spręŜystych moŜna było ustalić, to wówczas, znając stałe
spręŜystości podpór wyznaczymy równieŜ stabilne przemieszczenia i mielibyśmy dodatkowe
warunki brzegowe. Jednym zdaniem zamienilibyśmy statyczne warunki brzegowe na warunki
kinematyczne. W ten sposób, ograniczając ilość moŜliwych funkcji rozwiązujących ,
zwiększylibyśmy dokładność rozwiązania przybliŜonego
Przy zadanych wyŜej warunkach brzegowych, przypuszczamy następujące funkcje Ritza:
1)
,
0
0
=
ϕ
2),
2
3
1
)
(
)
(
x
x
x
−
=
ϕ
,
3)
3
3
2
)
(
)
(
x
x
x
−
=
ϕ
,
4) pozostałe człony rozwinięcia pomija się (w myśl zlecenia zadania)
Przypuszczona funkcja ugięcia Ritza ma więc postać:
.
)
(
)
(
)
(
3
3
2
2
3
1
x
x
a
x
x
a
x
w
−
+
−
=
3.2. Wyznaczenie funkcjonału
Π
dla przyj
ę
tej funkcji Ritza
Pochodne funkcji ugięcia, występujące w funkcjonale , wynoszą:
).
(
6
2
)
(
"
,
)
(
3
)
(
2
)
(
'
3
2
1
2
3
2
3
1
x
x
a
a
x
w
x
x
a
x
x
a
x
w
−
+
=
−
+
−
=
Na poszczególnych odcinkach belki mamy:
1) na całej długości belki (x
0
=0x
l
=7m)
),
2037
336
28
(
50
)]
(
"
[
2
2
2
1
2
1
2
2
)
1
0
a
a
a
a
dx
x
w
l
x
x
EJ
+
+
⋅
∫
=
=
Π
na dwóch pierwszych elementach (x
0
=0; x
l
=1,5m)
Strona 3 z 3
{
}
).
6688
,
13
1875
,
15
5
,
4
(
14950
)]
(
'
[
)]
(
'
[
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
)
2
0
a
a
a
a
dx
x
w
x
w
l
x
x
k
N
+
−
⋅
∫
=
+
−
=
Π
3
) na czterech środkowych elementach (x
0
=1,5m; x
l
=5,5m)
{
}
),
64
333
.
21
(
6
)
(
)
(
2
1
)
3
0
a
a
dx
x
w
x
q
l
x
x
+
−
=
∫
−
=
Π
4) w punktach przyłoŜenia sił i spręŜystych podpór kupionych(x
C
=5,5m;x
V
=0m i 7m,
x
M
=5,5m)
)
a
36.75
+
a
15(7
)
163a
5
,
32
(
10
)
64
16
(
4000
)
5
,
5
(
'
)
7
(
)
0
(
(
)]
5
,
5
(
[
2
1
2
1
2
1
2
2
)
4
+
+
−
+
=
=
+
+
−
=
Π
a
a
a
Mw
w
w
V
w
C
3.2. Wyznaczenie punktu stacjonarno
ś
ci funkcjonału
Π
0,
)
64
16
(
128000
)
336
56
(
50
)
15,1875a
-
4950(9a
1
33
3
2
1
2
1
2
1
1
=
+
+
+
+
+
−
=
∂
Π
∂
a
a
a
a
a
0
)
64
512000(16a
)
4074a
a
(336
0
5
27.3375a
(-15.1875a
4950
1
1294
2
1
2
1
2
1
2
=
+
+
+
+
+
+
−
=
∂
Π
∂
a
a
Rozwiązanie tego układu równań, daje
.
0000183906
,
0
,
0000852087
,
0
2
1
=
=
a
a
Linię ugięcia aproksymowano więc funkcją:
3
2
)
5
,
1
(
06
0.00001839
)
5
,
1
(
87
0.00008520
)
(
−
+
−
=
x
x
x
w
3.3. Wykres linii ugi
ę
cia
Na rys.2 pokazano wykres aproksymowanej linii ugięcia oraz kątów obrotu.
1
2
3
4
5
6
7
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
1
2
3
4
5
6
7
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
Rys.2. Wykres linii ugięcia i kątów obrotu