Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
1
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
B A D A N I A O P E R A C Y J N E
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU
CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
Prezentacja materiałów pomocniczych do wykładu
STOCHASTYCZNE MODELE STEROWANIA ZASOBAMI
WPROWADZENIE
C e l e m w y k ł a d u j e s t prezentacja stochastycznego modelu pewnej polityki odnawiania wybranego
asortymentu części wymiennych.
Rozważany jest system pojazdów, w którym zużycie zasobów części wymiennych oraz czas dostaw
uzupełniających zapas zasobu są zmiennymi losowymi o znanych rozkładach prawdopodobieństwa.
Zakres wyk ładu obejmuje:
♦
budowę modelu matematycznego polityki odnawiania zasobów części wymiennych;
♦
opis komputerowego modelu symulacyjnego polityki odnawiania zasobów części wymiennych;
♦
sformułowanie przykładowego zadania, przeprowadzenie eksperymentu symulacyjnego
i pokazanie jego wybranych wyników.
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
2
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
2. MODEL MATEMATYCZNY
Rozpatrywany jest system pojazdów, w którym zużycie zasobów części wymiennych oraz czas dostaw
uzupełniających zapas zasobu są zmiennymi losowymi. W systemie stosowana jest określona polityka
odnawiania zasobów części wymiennych. Schemat ideowy modelu matematycznego takiej polityki
sterowania zasobami części wymiennych i schemat stosowanych w modelu matematycznym oznaczeń,
przedstawia
rys. 1
.
T
i
T
i+1
t
i-1
t
i+1
t
i
t
i+2
t
M
t
M+1
T
M
S(T
i
)
S(T
i+1
)
S(T
i-1
)
S(T
M
)
Z(T
i-1
)
Z
śr
(T)
i-1
Z
śr
(T)
i
Z
śr
(T)
i+1
Z
śr
(T)
M
Z(T
i
)
Z(T
i+1
)
Z(T
M
)
t
r
t
r+1
T
r
τ
r
, U(T
i
)=1
S(T
r
)
Z
śr
(T)
r
Z(T
r
)
T
i-1
Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (
1
)
Koncepcję niniejszego modelu matematycznego i zbudowanego na jego podstawie symulatora
cyfrowego, oparto na koncepcjach i procedurach wcześniej już prezentowanych modeli.
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
3
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
T
i
T
i+1
t
i-1
t
i+1
t
i
t
i+2
t
M
t
M+1
T
M
S(T
i
)
S(T
i+1
)
S(T
i-1
)
S(T
M
)
Z(T
i-1
)
Z
śr
(T)
i-1
Z
śr
(T)
i
Z
śr
(T)
i+1
Z
śr
(T)
M
Z(T
i
)
Z(T
i+1
)
Z(T
M
)
t
r
t
r+1
T
r
τ
r
, U(T
i
)=1
S(T
r
)
Z
śr
(T)
r
Z(T
r
)
T
i-1
Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (
2
)
1. System zasobów części wymiennych pracuje w sposób ciągły, ale wszystkie możliwe zmiany stanu
systemu dokonywane i rejestrowane są w określonych chwilach czasu t
1
, t
2
, … .
2. W okresie T
i
system zasobów dysponuje losową ilością części wymiennych n
sys
(T
i
) stanowiącą podstawę
realizacji przez niego zadań.
3. Niech w chwili t
i
określane jest zadanie do realizacji przez system zasobów części wymiennych,
wyrażające się popytem x na zasób jaki trzeba zaspokoić. Rozkład określający popyt na zasób części
wymiennych w okresie pracy T
i
przedstawia zależność:
(
)
( )
{
}
(
)
1
,
,
N
,
,
=
∈
=
=
∑
x
i
popyt
i
popyt
i
popyt
x
T
p
x
x
T
X
P
x
T
p
.
(1)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
4
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
T
i
T
i+1
t
i-1
t
i+1
t
i
t
i+2
t
M
t
M+1
T
M
S(T
i
)
S(T
i+1
)
S(T
i-1
)
S(T
M
)
Z(T
i-1
)
Z
śr
(T)
i-1
Z
śr
(T)
i
Z
śr
(T)
i+1
Z
śr
(T)
M
Z(T
i
)
Z(T
i+1
)
Z(T
M
)
t
r
t
r+1
T
r
τ
r
, U(T
i
)=1
S(T
r
)
Z
śr
(T)
r
Z(T
r
)
T
i-1
Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (
3
)
4. Istnieje poziom zasobu części wymiennych n
u
wskazujący na potrzebę wdrożenia procedury jego
uzupełniania w systemie, tzn. procedura uzupełniania zasobu jest inicjowana gdy n
sys
(T
i
)
≤ n
u
. Niech
( )
⎩
⎨
⎧
=
,
0
,
1
i
T
U
(2)
(2)
gdy w okresie T
i
nie trwa procedura uzupełniania zasobu.
gdy w okresie T
i
trwa procedura uzupełniania zasobu,
5. Od chwili t
i
(początek okresu T
i
) wdrożenia procedury uzupełniania zasobu części wymiennych
(złożenia zamówienia) do dostarczenia zasobu w chwili t
r
(początek okresu T
r
) upływa losowy czas τ
r
zwany czasem opóźnienia realizacji zamówienia. Czas opóźnienia realizacji zamówienia ma rozkład
dyskretny postaci:
( ) {
}
( )
1
,
N
,
=
∈
Δ
⋅
=
=
∑
r
op
r
op
r
p
r
t
r
P
r
p
τ
.
(3)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
5
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
T
i
T
i+1
t
i-1
t
i+1
t
i
t
i+2
t
M
t
M+1
T
M
S(T
i
)
S(T
i+1
)
S(T
i-1
)
S(T
M
)
Z(T
i-1
)
Z
śr
(T)
i-1
Z
śr
(T)
i
Z
śr
(T)
i+1
Z
śr
(T)
M
Z(T
i
)
Z(T
i+1
)
Z(T
M
)
t
r
t
r+1
T
r
τ
r
, U(T
i
)=1
S(T
r
)
Z
śr
(T)
r
Z(T
r
)
T
i-1
Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (
4
)
6. Wielkość partii dostawczej zasobu części wymiennych jest stała i wynosi zawsze n
dost
.
7. Stan systemu zasobów wybranego asortymentu części wymiennych w okresie pracy T
i
określa wektor:
( )
( )
( ) ( )
[
]
i
i
popyt
i
sys
i
T
U
T
X
T
n
T
S
,
,
=
(4)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
6
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
8. Koszty i przychody w działalności systemu zasobów wybranego asortymentu części wymiennych
wynikają z następujących jednostkowych kosztów i jednostkowych cen sprzedaży:
k
n
− jednostkowy koszt nabycia zasobu;
k
r
− jednostkowy koszt realizacji procedury uzupełniania zasobu;
k
m
(T
i
)
− jednostkowy koszt magazynowania zasobu w jednym okresie pracy systemu;
k
b
(T
i
)
− jednostkowy koszt niedoboru (braku) zasobu w jednym okresie pracy systemu;
c
s
− wartość jednostki zasobu w chwili jej wykorzystania (cena sprzedaży jednostki zasobu
znajdującej się magazynie).cena sprzedaży jednostki zasobu przez system.
9. W warunkach losowego popytu na zasoby części wymiennych (rozkład p
popyt
(T
i
, x)) i losowego czasu
realizacji zamówień na zasoby (rozkład p
op
(r)), w okresie pracy T
i
, w systemie wypracowywany jest
zysk Z(T
i
). Zysk ten przedstawiają następujące modele matematyczne:
– jeżeli n
sys
(T
i
)
≥ X
popyt
(T
i
), to
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
dost
n
r
i
sys
i
m
i
popyt
s
i
n
k
k
T
n
T
k
T
X
c
T
Z
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
,
(5)
– jeżeli n
sys
(T
i
) < X
popyt
(T
i
), to
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
dost
n
r
i
sys
i
popyt
b
i
sys
i
m
i
sys
s
i
n
k
k
T
n
T
X
k
T
n
T
k
T
n
c
T
Z
⋅
+
−
−
⋅
−
⋅
−
⋅
=
.
(6)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
7
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
T
i
T
i+1
t
i-1
t
i+1
t
i
t
i+2
t
M
t
M+1
T
M
S(T
i
)
S(T
i+1
)
S(T
i-1
)
S(T
M
)
Z(T
i-1
)
Z
śr
(T)
i-1
Z
śr
(T)
i
Z
śr
(T)
i+1
Z
śr
(T)
M
Z(T
i
)
Z(T
i+1
)
Z(T
M
)
t
r
t
r+1
T
r
τ
r
, U(T
i
)=1
S(T
r
)
Z
śr
(T)
r
Z(T
r
)
T
i-1
Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (
5
)
10. Rozpatrując funkcjonowanie systemu zasobów części wymiennych w długim okresie czasu T takim,
że jest on wielokrotnością M okresów T
i
o długości
Δt, to w następujący sposób można przedstawić
model matematyczny średniego zysku wypracowywanego przez system zasobów w okresach pracy
o długości
Δt:
( )
( )
∑
=
⋅
=
M
i
i
M
śr
T
Z
M
T
Z
1
1
(7)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
8
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
3. MODEL SYMULACYJNY POLITYKI ODNAWIANIA ZASOBU
Model matematyczny polityki odnawiania zasobu części wymiennych odwzorowano w symulatorze
cyfrowym Sym_Sys_Zas_2.xls. Symulator składa się z arkuszy kalkulacyjnych opracowanych w formacie
programu Microsoft Excel. Podstawą symulatora jest arkusz szablonu symulacji. Na podstawie arkusza
szablonu tworzone są arkusze robocze do przeprowadzania kolejnych eksperymentów symulacyjnych.
Widok ekranu monitora z uruchomionym symulatorem pokazano na
rys. 2
.
Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym
symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (
1
)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
9
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
Na ekranie monitora zawsze widoczny jest formularz do wprowadzania danych opisujących warunki
eksperymentu symulacyjnego. W formularzu deklaruje się parametry systemu zasobów części wymiennych,
z których najważniejsze to:
– wielkość partii dostawczej zasobu n
dost
,
– poziom uzupełniania zasobów n
u
,
– jednostkowe koszty związane z funkcjonowaniem systemu: k
r
, k
n
, k
b
, k
m
,
– cena sprzedaży jednostki zasobu (tzn. wartość jednostki zasobu w chwili jej wykorzystania) c
s
,
– rozkład popytu na zasoby jaki trzeba
zaspokoić
p
popyt
(T
i
, x) oraz rozkład
opóźnienia realizacji zamówienia
uzupełniającego poziom zapasów
zasobu p
op
(r).
Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym
symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (
2
)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
10
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
Wyniki symulacji po kolejnych okresach pracy symulowanego systemu zasobów części wymiennych
zapisywane i zapamiętywane są w bazie danych w układzie kolumnowym (
rys. 2
). Najbardziej istotne z
rejestrowanych lub obliczanych w niej wielkości to:
– numer i-tego symulowanego okresu pracy odpowiadający numerowi doświadczenia eksperymentu
symulacyjnego,
– zapas zasobu na początku i-tego okresu pracy,
– wielkość symulowanego popytu na zasób, wyznaczana na podstawie rozkładu popytu na zasób oraz
liczby wylosowanej przez generator liczb losowych,
– zapas zasobu na końcu i-tego okresu pracy,
– czas realizacji zamówienia, określający
wielkość opóźnienia w czasie realizacji
zamówienia,
– średni zysk do bieżącego (tzn. i-tego)
okresu pracy.
Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym
symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (
3
)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
11
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
Użytkownik symulatora Sym_Sys_Zas_2.xls ma do dyspozycji szereg przycisków, które pozwalają w
wygodny sposób prowadzić badania symulacyjne. Do przycisków przypisano procedury operacyjne (
rys. 2
).
Dwie najważniejsze z nich to: realizacja kolejnego doświadczenia eksperymentu symulacyjnego (przycisk
«Krok po kroku») i pełna realizacja (od doświadczenia bieżącego do doświadczenia odpowiadającego
zadeklarowanej liczbie okresów symulacji) eksperymentu symulacyjnego (przycisk «Uruchom symulację»).
Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym
symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (
3
)
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
12
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
4. PRZYKŁADOWY PROBLEM BADAWCZY I JEGO WYNIKI
W ramach systemu pojazdów zorganizowany jest system zasobów, który ma za zadanie zaspokoić
określony popyt na zasoby,. Niech popyt na zasoby części wymiennych i opóźnienie w czasie realizacji
zamówień uzupełniających stan zapasów zasobu, określają przedstawione poniżej empiryczne rozkłady
prawdopodobieństwa:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
=
3,
20
.
0
2
30
.
0
1
40
.
0
0
x
10
.
0
)
,
(
x
dla
x
dla
x
dla
dla
x
T
P
i
popyt
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
=
.
4
r
15
.
0
3
r
15
.
0
2
r
40
.
0
1
30
.
0
)
(
dla
dla
dla
r
dla
r
P
op
Dodatkowo niech: jednostkowa cena sprzedaży zasobu wynosi 18 zł, koszt realizacji zamówienia wynosi
30 zł, jednostkowy średni koszt nabycia zasobu – 10 zł, jednostkowy średni koszt braku zasobu – 40 zł, zaś
jednostkowy średni koszt magazynowania zasobu – 2 zł. Niech wielkość zapasu wstępnego wynosi 10 sztuk.
Dla opisanego systemu zasobów należy wyznaczyć średni zysk Z
śr
(T
i
) przy różnej wartości poziomu
uzupełniania zasobów n
u
oraz różnej wielkości jego zamówień uzupełniających n
dost
. Na tej podstawie
należy wskazać parametry n
u
i n
dost
, przy których średni zysk jest największy.
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
13
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
W celu rozwiązania postawionego problemu przeprowadzono szereg eksperymentów wykorzystując do
tego symulator Sym_Sys_Zas_2.xls. Proces symulacji prowadzono przez 600 okresów pracy – aż do
stabilizacji wartości średniego zysku. Sposób przygotowania danych do eksperymentu pokazano na
rys. 3
.
Rysunek ten przedstawia także przykładowe wyniki kilkunastu pierwszych doświadczeń eksperymentu
symulacyjnego.
Rys. 3.
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
14
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
Rys. 3. Podstawowy ekran symulatora Sym_Sys_Zas_2.xls i przykładowe wyniki eksperymentu symulacyjnego
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
15
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
Ilustrację graficzną wybranych wyników symulacji uzyskanych podczas badania systemu zasobów
części wymiennych, pokazano na
rys. 4
. Z przeprowadzonych badań wynika m. in., że maksymalny średni
zysk systemu zasobów osiągany jest przy następujących wartościach jego parametrów:
– wielkość partii dostawczej części wymiennych: n
dost
= 11 sztuk,
– poziom uzupełniania zapasu części wymiennych: n
u
= 4 sztuki.
Dla takich parametrów sterowania systemem zasobów części wymiennych jego średni zysk wynosi
Z
śr
(T
i
) = 4,58 zł.
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
0
100
200
300
400
500
600
Numer okresu pracy
Sredni zysk
Rys. 4. Ilustracja średniego zysku w funkcji liczby okresów pracy procesu symulacji
dla parametrów n
u
= 4 oraz n
dost
= 11
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
16
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW
5. PODSUMOWANIE
Rozważano system pojazdów, w którym zużycie zasobów części wymiennych oraz czas dostaw
uzupełniających zapas zasobu są zmiennymi losowymi o znanych rozkładach prawdopodobieństwa.
Zbudowano model matematyczny pewnej polityki odnawiania zasobów części wymiennych.
Stworzono i opisano komputerowy model symulacyjny polityki odnawiania zasobów części
wymiennych.
Wykorzystując zbudowane modele
–
zaplanowano i przeprowadzono przykładowy eksperyment
symulacyjny oraz pokazano jego wybrane wyniki.
Przeprowadzone badania i ich prezentacja potwierdziły przydatność metody modelowania cyfrowego
do badań stochastycznych modeli sterowania zasobami części wymiennych.
Plik:
BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc
17
/
17
A. KADZIŃSKI,
POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW