WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE
MATERIAŁY DO ĆWICZEŃ
Z ELEKTROTECHNIKI
WARSZAWA 2004
WYŻSZA SZKOŁA TECHNICZNO – EKONOMICZNA W WARSZAWIE
MATERIAŁY DO ĆWICZEŃ
Z ELEKTROTECHNIKI
WARSZAWA 2004
ROZWIĄZYWANIE OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Elementy obwodu elektrycznego dzielimy na: elementy czynne – aktywne i elementy bierne –
pasywne. Do elementów czynnych należą źródła napięcia i źródła prądu. Wyróżniamy:
źródła idealne opisane jednym parametrem napięciem źródłowym - siłą elektromotoryczną E
lub prądem źródłowym I
źr
.
• źródła rzeczywiste opisane dwoma parametrami napięciem źródłowym E i
rezystancją wewnętrzną R
w
lub prądem źródłowym I
źr
i konduktancją wewnętrzną
G
w
.
Elementy bierne – pasywne to odbiorniki energii elektrycznej, przy czym wyróżniamy:
• elementy rezystancyjne w których występuje zjawisko dyssypacji – rozpraszania
energii,
• elementy reaktancyjne zdolne do gromadzenia energii.
Elementy rezystancyjne dzielimy na liniowe i nieliniowe.
Rezystancja R zależy od długości l, przekroju poprzecznego s rezystywności ρ lub
konduktywności γ materiału z którego został wykonany element rezystancyjny
s
l
s
l
R
⋅
=
⋅
=
ρ
γ
.
Rezystywność wielu materiałów jest opisana zależnością
(
)
[
]
293
1
293
−
+
=
T
T
α
ρ
ρ
gdzie: α – temperaturowy współczynnik zmiany rezystywności wyrażony w K
-1
, ρ
293
–
rezystywność materiału w temperaturze T = 293 K w warunkach normalnych .
Nieliniowy element rezystancyjny charakteryzuje się:
• rezystancją statyczną definiowaną, jako stosunek napięcia na zaciskach elementu do
płynącego prądu
I
U
R
s
=
• rezystancją dynamiczną definiowaną, jako stosunek przyrostu napięcia na jego
zaciskach do przyrostu prądu
I
U
R
d
Δ
Δ
=
.
Zależność wiążąca spadek napięcia
u
na elemencie rezystancyjnym z natężeniem prądu
i
płynącego przez ten element nosi nazwę prawa Ohma.
i
R
u
⋅
=
Do rozwiązywania obwodów elektrycznych rozgałęzionych zawierających , węzły i oczka
wykorzystywane są prawa Kirchhoffa:
• pierwsze – prądowe: suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie
prądów wypływających z węzła,
• drugie – napięciowe: w dowolnym oczku obwodu suma napięć źródłowych jest
równa sumie napięć odbiornikowych.
Na powyższych prawach opierają się metody rozwiązywania obwodów elektrycznych prądu
stałego i prądu zmiennego. Stosując metodę praw Kirchhoffa można obliczyć wartości
wszystkich prądów płynących w g gałęziach obwodu. W tym celu należy ułożyć w – 1
równań prądowych i g – w + 1 równań napięciowych. Wadą tej metody jest konieczność
rozwiązania g równań, co przy większej liczbie gałęzi jest zadaniem uciążliwym bez
stosowania numerycznych metod obliczeniowych.
Metoda prądów oczkowych ogranicza liczbę równań do równań napięciowych. Wartości
prądów oczkowych oblicza się w pierwszym etapie, rozwiązując równanie macierzowe
[R] [I] = [E]
w którym [R] jest macierzą rezystancyjną, [I] – macierzą prądów oczkowych, [E] –
macierzą sił elektromotorycznych.
Szukane prądy gałęziowe są obliczane w drugim etapie. Prądy gałęziowe są sumą, różnicą
lub są równe prądom oczkowym, zależnie od tego w skład których dana gałąź wchodzi.
Do obliczania wartości prądu w dowolnie wybranej gałęzi obwodu stosowana jest metoda
zastępczego źródła napięcia zwana metodą Thevenina. Według tej metody obwód
elektryczny liniowy można zastąpić źródłem o napięciu źródłowym E równym napięciu
stanu jałowego U
o
na zaciskach a-b i o rezystancji wewnętrznej R
w
, równej rezystancji
zastępczej mierzonej na zaciskach a-b obwodu. Prąd w wybranej gałęzi
R
R
U
I
w
o
+
=
gdzie R – rezystancja gałęzi.
Metodę zastępczego źródła napięcia można stosować do rozwiązywania obwodów
nieliniowych, jednak pod warunkiem, że wszystkie elementy nieliniowe będą umieszczone
w wyodrębnionej gałęzi.
Do rozwiązywania obwodów nieliniowych są stosowane metody obliczeniowe i metody
graficzne. Obwody elektryczne złożone z szeregowo połączonych elementów nieliniowych
z liniowymi lub nieliniowymi stosuje się metody graficzne: charakterystyki wypadkowej
lub przecięcia charakterystyk. Przy równoległym połączeniu kilku elementów stosuje się
metodę charakterystyki wypadkowej lub wspomnianą wcześniej metodę Thevenina, w
której oblicza się parametry zastępczego źródła napięcia, zaś rozwiązanie z elementem
nieliniowym – graficznie
Obwód magnetyczny składa się z elementów, które służą do wytworzenia i skierowania
wzdłuż określonej drogi strumienia magnetycznego. Obwody można podzielić na
jednorodne, składające się z jednego ośrodka i niejednorodne, składające się z dwóch lub
większej liczny ośrodków np. rdzeń ze szczeliną powietrzną.
Obliczanie obwodów magnetycznych sprowadza się do:
• wyznaczeniu przepływu Θ i parametrów obwodu (rodzaj materiału, wymiary
geometryczne rdzenia), gdy dany jest strumień Φ
• wyznaczeniu strumienia Φ przy danym przepływie Θ i parametrach obwodu.
Podstawą obliczania obwodów magnetycznych są równania
∫
∑
Θ
=
=
;
I
Hdl
∫
=
⋅
;
0
dS
B
H
B
⋅
=
μ
które przy zastosowaniu przybliżeń sprowadza się do postaci dogodniejszej do obliczeń.
Przepływ Θ jest wymuszeniem w obwodach magnetycznych i nosi nazwę siły
magnetomotorycznej. Jednostką przepływu jest amper.
z
I
⋅
=
Θ
W obwodzie magnetycznym lub jego oczku suma spadków napięć magnetycznych jest
równa sumie sił magnetomotorycznych – prawo przepływu
∑
∑
=
=
=
Θ
m
i
n
k
k
k
i
l
H
1
1
gdzie l
k
jest długością k -tego odcinka obwodu magnetycznego w którym jest pole
magnetyczne o natężeniu H
k
. Jednostką napięcia magnetycznego jest amper [A], a jednostką
natężenia pola magnetycznego jest amper na metr [A/m].
Strumień magnetyczny
μ
R
Θ
=
Φ
Jednostką strumienia magnetycznego jest weber [Wb].
Reluktancję obwodu oblicza się z zależności
k
k
k
s
l
R
⋅
=
μ
μ
w której s
k
oznacza przekrój poprzeczny, , l
k
długość, μ
k
przenikalność magnetyczną k -tego
odcinka obwodu. Jednostką reluktancji jest odwrotność henra [H
-1
].
Zjawisko indukowania się napięcia w cewce pod wpływem zmian prądu płynącego przez tę
cewkę nazywa się indukcją własną
i
L
Ψ
=
gdzie Ψ jest strumieniem magnetycznym skojarzonym z cewką. Jeżeli cewka ma z zwojów
z których każdy obejmuje ten sam strumień otrzymujemy
l
S
z
R
z
L
⋅
=
=
μ
μ
2
2
dla cewki z rdzeniem ferromagnetycznym, wartość przenikalności magnetycznej zależy od
punktu pracy na charakterystyce magnesowania B(H); indukcyjność własna będzie zależeć
od wartości prądu płynącego w uzwojeniu.
Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego z wykorzystaniem przebiegów czasowych
jest kłopotliwe, stosuje się metodę wykresów wektorowych lub metodę liczb zespolonych.
W metodzie wykresów, przebiegowi sinusoidalnemu przyporządkowuje się wskaz – wektor
o długości odpowiadającej wartości skutecznej przebiegu, narysowany względem osi
odniesienia pod kątem odpowiadającym jego fazie początkowej. Zmiany wartości przebiegu
w czasie odwzorowuje się, przyjmując, że wiruje on na płaszczyźnie z prędkością kątową ω
w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Rozwiązywanie obwodów metodą liczb zespolonych polega na wykorzystaniu związku
miedzy zapisem wielkości sinusoidalnie zmiennej a zapisem wykładniczym liczby
zespolonej, który ma postać
α
j
e
I
I
⋅
=
, w której moduł I oznacza wartość skuteczną a
argument może być zapisany w postaci α = ω t +ψ
i
. Liczbę zespoloną w postaci
algebraicznej można przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej w postaci wektora
takiego samego jak w metodzie wykresów.
LICZBY ZESPOLONE
Wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora wodzącego o module równym
amplitudzie tej wielkości, obracającego się na płaszczyźnie liczbowej ze stałą prędkością
kątową ω.
Wektor r na płaszczyźnie liczbowej
Im
Re – oś rzeczywista,
A
Im – oś urojona
jb
j.- jednostka urojona
r
Postacie liczby zespolonej
Re
α
0
• postać algebraiczna
a
jb
a
z
+
=
• postać trygonometryczna
(
)
α
α
sin
cos
j
r
z
+
=
• postać wykładnicza
α
α
α
∠
=
=
=
r
j
r
re
z
j
exp
gdzie
2
2
b
a
z
r
+
=
=
moduł liczby zespolonej z
(
a
b
arctg
/
=
)
α
argument liczby zespolonej z
exp jest stosowanym w matematyce zapisem funkcji wykładniczej,
α
∠
r
oznacza wektor o module r, który tworzy z dodatnią półosią Re kąt α.
Jeżeli
to
jest liczba zespoloną sprzężoną z liczbą z
jb
a
z
+
=
jb
a
z
−
=
∗
.
2
2
r
b
a
z
z
=
+
=
=
∗
Jeżeli
1
=
r
to liczba
jest liczbą zespoloną o module jednostkowym, zatem
α
j
e
α
α
α
sin
cos
j
e
j
+
=
.
1
sin
cos
2
2
=
+
=
α
α
α
j
e
Działania na liczbach zespolonych
dodawanie i odejmowanie
(
) (
) (
) (
)
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
b
b
j
a
a
jb
a
jb
a
z
z
+
+
+
=
+
+
+
=
+
(
) (
) (
) (
)
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
b
b
j
a
a
jb
a
jb
a
z
z
−
+
−
=
+
−
+
=
−
mnożenie
(
)(
) (
) (
)
bc
ad
j
bd
ac
jd
c
jb
a
z
z
+
+
−
=
+
+
=
2
1
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
α
α
α
α
+
⋅
=
=
⋅
j
j
j
e
r
r
e
r
e
r
z
z
(
)
β
α
β
+
=
⋅
j
j
re
e
z
2
r
re
re
z
z
j
j
=
=
⋅
−
∗
α
α
∗
⋅
=
z
z
r
,
2
⋅
∗
+
=
z
z
a
,
j
z
z
b
2
∗
−
=
dzielenie
(
)(
) (
) (
)
2
2
2
2
2
1
d
c
ad
bc
j
bd
ac
d
c
jd
c
jb
a
jd
c
jb
a
z
z
+
−
+
+
=
+
−
+
=
+
+
=
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
exp
exp
exp
α
α
α
α
α
α
−
=
−
=
=
j
e
r
r
j
r
r
j
r
j
r
z
z
(
)
β
α
β
α
β
−
∠
=
=
−
r
re
e
z
j
j
α
j
e
r
z
−
=
1
1
( )
α
α
jn
n
n
j
n
e
r
re
z
=
=
potęgi liczby urojonej
1
−
=
j
przy
⋅⋅
⋅
±
±
=
2
,
1
,
o
k
j
j
j
j
j
j
j
j
k
k
k
1
1
3
3
4
2
2
4
1
4
=
−
=
=
−
=
=
=
+
+
+
2
α
α
j
j
e
r
re
z
=
=
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
π
α
2
j
e
r
z