dr inż. Remigiusz Nowak 
Wydział Energetyki i Paliw AGH 

MODELOWANIE MATEMATYCZE - Równania różniczkowe rzędu I 

Zadania problemowe 

 
Zad 1. 
Zbiornik o pojemności 500 litrów wypełniono w całości wodą, zawierającą ok. 5 kg soli. Po 
otwarciu  zaworu  1,  do  zbiornika  zaczęto  doprowadzać  roztwór  wody  z  solą.  W  tym  samym 
czasie otworzono zawór 2, aby umożliwić swobodny wypływ mieszanki ze zbiornika. 
 
(a)  Zakładając,  że  strumienie  doprowadzanego  i  odprowadzanego  roztworu  są  równe 
       i  wynoszą  5  l/min,  oraz,  że  zawartość  soli  w  doprowadzanym  roztworze  wynosi 
       0,2  kg/litr,  oblicz  jaka  będzie  koncentracja  soli  (w  kg/litr)  w  zbiorniku  po  upływie 
      10 minut od otwarcia zaworów 1 i 2. 
 
(b)  Po 10 minutach w zbiorniku pojawia się niewielka nieszczelność, którą zaczyna wyciekać 
      roztwór.  Oblicz  jaka  będzie  koncentracja  soli  w  zbiorniku  (w  kg/l)  po  20  minutach  od  
      wystąpienia  nieszczelności,  przy  założeniu,  że  strumień  wypływającego  w  ten  sposób  
     roztworu wynosi 1 l/min. 
 
(b1)  Jakie  będzie  graniczne  (maksymalne)  stężenie  soli  (kg/l)  w  zbiorniku  po  wystąpieniu 
         nieszczelności.  Kiedy  (po  jakim  czasie  zostanie  ono  osiągnięte).  Jaka  będzie 
         maksymalna ilość soli w zbiorniku (w kg). Czy maksymalne stężenie i ilość wystąpią w 
        tym samym czasie?  
 
 
 
 
 
 
 
    

(a)  

 

 

 

 

(b) 

 
Pomoc w rozwiązaniu przykładu (b) - rozwiązanie równania 
Rozwiązanie równania liniowego w przypadku zmiany wartości współczynnika P(x) 
 

(x) y

x

dy

P

dx

+

=

  

(1)

1

y

=

 

1,

0

2

(x)

3,

2

x

P

x

≤ ≤



=



>



 

- Krok 1: Znajdź rozwiązanie ogólne równania dla przedziału od 0 do 2 
- Krok 2: Wyznacz stałą, tak aby spełniała warunek początkowy 
- Krok 3: Znajdź rozwiązanie ogólne dla przedziału x>2 
- Krok 4: Dobierz stałą dla rozwiązania z kroku 3 w taki sposób, aby rozwiązanie z kroku 2 i  
                kroku 3 pokrywały się ze sobą w punkcie x = 2. 

(1) 

(2) 

5 l/min 
0,2 kg/l 

5 l/min 

X(t) 

X(0) = ? 

 

500 l 

(1) 

(2) 

5 l/min 
0,2 kg/l 

5 l/min 

1 l/min 

X(t) 

X(10) = ? 

 

? l 

dr inż. Remigiusz Nowak 
Wydział Energetyki i Paliw AGH 

 
 
 
Zad 2. 
Trzy  ostatnie  izotopy  uranowo-radowego  szeregu  promieniotwórczego  to:  Bizmut  210  (Bi 
210), Polon 210 (Po 210) oraz Ołów 206 (Pb 206). W łańcuchu tym izotop Pb 206 jest stały i 
nie ulega już rozpadowi promieniotwórczemu. Przyjmując stałą rozpadu Bi 210 oraz Po 210 
równe  odpowiednio  k

1

  =  0,14  [1/dzień]  oraz  k

2

  =  0,005  [1/dzień]  oraz  początkową  ilość 

Bizmutu 210 równą 1 kg. 
 
(a) Oblicz jaka będzie ilość każdego z izotopów po 65 dniach. 
(b) Oblicz ile czasu upłynie zanim izotopy Bizmutu oraz Polonu rozpadną się całkowicie do 
     izotopu trwałego. 
(c) Przy pomocy programu Excel sporządź wykresy otrzymanych zależności, ilości danego  
     izotopu od czasu i na tej podstawie zbadaj poprawność otrzymanego rozwiązania. 
(d) Jaka maksymalna ilość (w kg) izotopu Po 210 powstanie w tym układzie z 1 kg Bi 210 
 

 

Ź

ródło rysunku - www.if.pw.edu.pl/ 

 
 
 
 
 
 
 

dr inż. Remigiusz Nowak 
Wydział Energetyki i Paliw AGH 

 
 
 
Zad 3. 
Początkowo,  1000  W  żelazko,  którego  płyta  grzewcza  wykonana  jest  ze  stopu  aluminium  o 
grubości  0,5  cm  (ρ  =  2770  kg/m

3

,  c

p

  =  875  J/kgK,  a  =  7.3·10

-5

  m

2

/s)    powierzchni  0.03  m

2

 

znajduje  się  w  równowadze  termodynamicznej  z  otaczającym  powietrzem  o  temperaturze 
22°C.  Przyjmując,  że  współczynnik  wnikania  ciepła  wynosi  12  W/m

2

K  oraz  zakładając,  że 

85%  ciepła  generowanego  przez  opór  przewodu  elektrycznego  dociera  do  powierzchni 
grzejnej żelazka, oblicz ile czasu upłynie zanim osiągnie ona temperaturę 140 °C. 
 
 
 
Zad 4. 
W poniedziałkowy poranek,  temperatura w sali wykładowej wynosi 4 °C. O godzinie 7:00 w 
budynku  włączono  piec  i  nastawiono  go  na  temperaturę  21  °C.  Zakładając,  że  ilość  ciepła 
doprowadzonego prze piec do sali wykładowej jest wyrażona równaniem: 
 

 

(

)

( )

( )

U

D

U t

K

T

T t

=

−

  

,gdzie  T

D

  jest  oczekiwaną  (pożądaną  temperaturą  w  pomieszczeniu)  oraz,  że  stała  czasowa 

budynku (nie uwzględniającą zainstalowanych urządzeń grzewczych) 1/K = 2 godz., a także 
fakt, iż stała czasowa budynku (z uwzględnieniem systemów grzewczych tj. np. piec) wynosi 
1/K

1

 = 0,5 godz., gdzie K

1

 = K + K

U

, oblicz: 

 
(a) Jaka będzie temperatura w sali wykładowej o godzinie 8:00 
(b) Kiedy temperatura w budynku osiągnie wartość 18,5 °C.