05

Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów
Analiza widmowa
dr inż. Jarosław Bułat

2010.03.08

Ćwiczenie 1.

W   poniższym   programie   wykonano   analizę   częstotliwościową   różnymi   metodami   przebiegu 
opisanego następującą zależnością:

x t =cos2  f

1

t0.5cos2  f

2

t ,

gdzie : f

1

=

100Hz , f

2

=

102Hz

•

Która metoda jest właściwa? 

•

Powtórz   zadanie   dla   N   =   1000   oraz   zaprezentuj   widmo   sygnału   dla   obu   przypadków   na 
jednym wykresie (oś X wykresu powinna być wyskalowana w częstotliwości unormowanej,

oś Y w dB)

•

Oblicz wartość bezwzględną współczynników transformacji odpowiadających częstotliwościom
f

1

 i f

2

 i porównaj z wartościami odczytanymi z wykresów.

•

dla  f

1

=100Hz,  f

2

=102.5Hz   i   N=1000   wykonaj   analizę   poniższym   programem,   wytłumacz 

dlaczego wartość maksymalna współczynników odpowiadających  f

2

  zmniejszyła się chociaż 

energia składowej sygnału f

2

 pozostała bez zmian (nieznacznie zmieniła się częstotliwość)

clear 

all

;  close 

all

;

 
fs = 1000; Nx = 1000;
A1 = 1;
A2 = 0.5;                      
f1 = 100;                      
f2 = 102;
 
t = 1/fs*(0:Nx-1);
x = A1*cos( 2*pi*f1*t ) + A2*cos( 2*pi*f2*t );
 
figure, freqz( x );

% freqz

 
N = 500; 

% FFT

X = fft( x, N );
figure, plot( 20*log10(abs(X(1:end/2+1))) );
 
fvtool( x );

% fvtool

Ćwiczenie 2.

Dla sygnału z ćw. 1 o parametrach f

1

=100Hz, f

2

=102.5Hz wykonaj analizę częstotliwościową z przy 

użyciu transformacji Fouriera interpolując widmo poprzez dodanie zer do sygnału  x, w taki sposób 
aby cały wektor miał długość 10x większą od oryginalnego. Następnie oblicz transformację Fouriera 

DTFT  typu  ,,lupa''  (patrz  ćwiczenie  3 z laboratorium  3) w zakresie  f

d

=90Hz,  f

g

=120Hz  dla  1024 

współczynników. Oba wykresy wraz z widmem prostej transformacji FFT (ćw. 1) narysuj na jednym 

wykresie (oś X wyskalowana w hercach, oś Y w dB).

Powtórz ćwiczenie stosując różne okna czasowe, tzn. nie analizuj interesujący nas sygnał tylko jego 

iloczyn z wybraną funkcją okna (np.: Hanning, Hamming, Blackman, Kaiser, Bartlett, etc...). Zmień 
amplitudę drugiej składowej sygnału na 0.0001. Dobierz funkcję okna oraz liczbę próbek sygnału, 

zapewniające   wymaganą   w   tym   przypadku   rozdzielczość   częstotliwościową   i   amplitudową.   Obie 
składowe mają być w widmie widoczne.

Ćwiczenie 3.

Wyznacz widmo sygnału pseudolosowego n z rozdzielczością 1Hz dla przedziału 0-128Hz (f

s

=1kHz).

clear 

all

;  close 

all

;

Nn = 10000;
randn( 

'state'

, 0 );

  

% inicjalizacja generatora liczb pseudolosowych

n = 0.3*randn( Nn, 1 );

Jakie   powinno   być   widmo   sygnału   pseudolosowego   o   rozkładzie   normalnym?   Dlaczego   widmo 

takiego   sygnału   obliczone   z   jednego   okna   nie   jest   takie   jakie   być   powinno?   (Jest   różne   od 
teoretycznego).   Co   należy   zrobić   aby   przybliżyć   go   do   widma   teoretycznego?   Zastosuj   funkcję 
spectrum() do wyznaczenia widma tego sygnału. Co ona liczy?
Dodaj ten szum do sygnału z ćw. 1: N=1000,  f

1

=100Hz,  f

2

=102Hz. Oblicz fft() i spectrum() dla 

sygnału sumy. Jakie wnioski można wyciągnąć z tej analizy?

Ćwiczenie 4.

Wygeneruj   sygnał   spróbkowany   częstotliwością  f

s

=1000Hz   o   czasie   trwania  t=1s   opisany 

następującą zależnością:

x t =cos2  f t0.5 df t

2



cos2  f  f

0



t0.5 df t

2



, f =100Hz , f

0

=

20Hz , df =100Hz

Następnie wykonaj analizę częstotliwościową jak w ćw. 1 oraz analizę czasowo-częstotliwościową za 
pomocą funkcji spectrogram(...). Dobierz długość oraz rodzaj okna analizy w ten sposób aby oba 

przebiegi o zmiennej częstotliwości były rozróżnialne. Kosztem czego się ją osiąga? Powtórz analizę 
z wykorzystaniem funkcji spectrum(). Poniżej został przedstawiony fragment programu generujący 

niewłaściwe wykresy - parametry okna zostały tak dobrane, że nie pozwalają na rozróżnienie obu 
składowych sinusoidalnych.

[S,F,T,P] = spectrogram( x, boxcar(64), 60, [0:500], fs );
figure; imagesc( T, F, P ); colormap( jet ); colorbar;
xlabel( 

't [s]'

 ); ylabel( 

'f [Hz]'

 );

Ćwiczenie 5.

Dla podanego przebiegu, wykonaj analizę częstotliwościową i podaj parametry każdej ze składowych 
sygnałów z których został złożony cały sygnał: 

•

czas rozpoczęcia i zakończenia każdej składowej

•

częstotliwość początkową i końcową każdej składowej

•

amplituda (w dziedzinie czasu) na początku i końcu każdej składowej

•

poziom szumu w dB

Załóż,  że parametry  każdej  składowej  sygnału  takiej  jak:  amplituda,  częstotliwość   zmieniają  się 
liniowo w czasie. Przyjmij częstotliwość próbkowania jako: f

s

=1000Hz.