Ekonometria 

 

      Ćwiczenia 3 

Ćwiczenia 3 

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów 

 
Zadanie 1 

Dane są następujące szeregi: 
x

i

 

2   

3   

4   

5   

8   

9 

10 

11 

y

i 

8 

4,5    7   

3,5    5   

9,5 

8 

12,5 

gdzie  y

i

  oznacza wynik kolokwium z ekonometrii (w punktach), a  x

i

  – liczbę zadań 

rozwiązanych przez i-tego studenta przed kolokwium. Wysunięto hipotezę,  że wyniki 
uzyskane przez studentów są liniową funkcją ich pracowitości. Stosując klasyczną metodę 
najmniejszych kwadratów: 
Znaleźć oceny parametrów strukturalnych modelu 

0

1

i

y

x

i

i

β

β

ξ

=

+

+ . Podać interpretację 

oszacowań. 
 

Zadanie 2 

Całkowite koszty produkcji (w tys. zł) przedsiębiorstwa przetwórstwa owocowo-warzywnego 
zależą liniowo od skali produkcji (w tys. ton) i warunków przechowywania surowców 
(mierzonych temperaturą przechowywania w stopniach Celsjusza). Szeregi czasowe 
obserwacji powyższych wielkości dla tego przedsiębiorstwa kształtowały się następująco: 
Koszty  10 12 13 15 20 
Produkcja 

2 1 2 1 4 

Temperatura 

1 1 2 3 3 

a)  Oszacować parametry strukturalne modelu. 
b)  Zinterpretować wyniki oszacowania. 
c)  Uzupełnić poniższą tabelę: 
 

t

y  

y

y

t

−  

(

)

2

y

y

t

−

 

t

yˆ  

t

ξ

ˆ  

2

ˆ

t

ξ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑ 

 

 

 

 

 

 

 

Zadanie 3 

(Maddala, ćw. 2, str. 144)

 

Kierownik sklepu sprzedającego odbiorniki telewizyjne stwierdził,  że sprzedaż w ciągu 10 
dni była następująca (y – liczba sprzedanych odbiorników telewizyjnych, w tysiącach sztuk; x 
– liczba przedstawicieli handlowych): 

x 

3  6 10 5 10 12 5 10 10 8 

y 

1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 

Oszacuj równanie regresji y względem x. Zinterpretuj wyniki oszacowania. 

1 

1

Ekonometria 

 

      Ćwiczenia 3 

Zadanie 4 

Na podstawie informacji zawartych w tabeli 3 oszacować i zinterpretować parametry 
strukturalne funkcji indywidualnej wydajności pracy. Indywidualna wydajność pracy ( ) 
wyrażona jest liczbą sztuk wyrobów wykonanych przez i-tego pracownika w ciągu miesiąca. 
Zmiennymi objaśniającymi są: 

 - staż i-tego pracownika w latach, 

- poziom kwalifikacji 

i-tego pracownika (

=0, gdy zatrudniony nie ma wykształcenia zawodowego, oraz 

=1, 

gdy je posiada). Zakłada się, że badana zależność ma charakter liniowy.  

i

y

i

x

1

i

x

2

i

x

2

i

x

2

i

y  

i

x

1

 

i

x

2

 

155 1 0 

171 2 1 

172 3 0 

207 5 1 

201 4 1 

210 5 1 

 

Zadanie 5 

Postanowiono oszacować model liniowy postaci:  

A. 

0

1 1

2 2

t

t

y

x

x

t

t

β

β

β

=

+

+

+

ξ

t

 

B. 

0

1 1

2 2

3

4 1, 1

t

t

t

t

y

x

x

t

x

β

β

β

β

β

−

=

+

+

+

+

+

ξ  

 

W oparciu o założenia numeryczne MNK podaj minimalną liczbę obserwacji i zapisz model 
w postaci macierzowej. 
 

Zadanie 6 

Dany jest model: 

t

t

t

t

x

x

y

ξ

β

β

β

+

+

+

=

2

2

1

1

0

   

 

t = 1,2,...,T. 

Ustalić możliwość oszacowania tego modelu wiedząc, że:  

 

1 2 1
1 0 2

X

⎡

⎤

= ⎢

⎥

⎦

⎣

12
14

Y

⎤

⎡

=

⎥

⎢

⎣ ⎦

 

 

Zadanie 7  

(Kukuła (red), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN 1996, zad 27, 

str. 73-74)

 

Wykorzystując poniższe informacje: 

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

−

09

,

0

20

,

0

10

,

0

20

,

0

49

,

0

05

,

0

10

,

0

05

,

0

25

,

2

)

(

1

X

X

T

     

∑

t

y =40,  

t

t

x

y

1

∑

=50, 

2

∑

t

y

=2815, 

=100,    

t

t

x

y

2

∑

oraz T=13, oszacuj parametry strukturalne modelu liniowego 

t

t

t

t

X

x

y

ξ

β

β

β

+

+

+

=

2

2

1

1

0

  

oraz średnie błędy ich szacunku.  

2 

2