mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 1
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości b i h. Obliczyć położenie jego środka
ciężkości, momenty bezwładności i moment dewiacji oraz wyznaczyć orientacje głównych
centralnych osi bezwładności i wartości głównych centralnych momentów bezwładności.

Obszar figury oznaczyć można jako

A =

{

x , y : x∈(0, b), y∈

(

0 , h−

h

b

x

)

}

.

Pole powierzchni:

A =

∬

A

d A =

∫

x=0

b

∫

y=0

h−h

b

x

d y d x =

∫

x=0

b

[

y

]

y=0

h−

h
b

x

d x =

∫

0

b

(

h−

h
b

x

)

d x =

=

h

[

x−

1

2 b

x

2

]

0

b

=

1
2

b h

Momenty statyczne i położenie środka ciężkości:

S

x

=

∬

A

y d A =

∫

x=0

b

∫

y=0

h− h

b

x

y d y d x =

∫

x=0

b

[

y

2

2

]

y=0

h− h

b

x

d x =

1
2

∫

0

b

(

h−

h
b

x

)

2

d x =

=

1

2

∫

0

b

[

h

2

−

2

h

2

b

x+

h

2

b

2

x

2

]

d x =

h

2

2

[

x−

1
b

x

2

+

1

3 b

2

x

3

]

0

b

=

b h

2

6

S

y

=

∬

A

x d A =

∫

x=0

b

∫

y=0

h− h

b

x

x d y d x =

∫

x=0

b

x

[

y

]

y=0

h−

h
b

x

d x =

∫

0

b

[

h x−

h
b

x

2

]

d x =

=

[

h
2

x

2

−

h

3 b

x

3

]

0

b

=

h b

2

6

x

O

=

S

y

A

=

b
3

y

O

=

S

x

A

=

h
3

Momenty bezwładności w układzie globalnym:

I

x

=

∬

A

y

2

d A =

∫

x=0

b

∫

y=0

h− h

b

x

y

2

d y d x =

∫

x=0

b

[

y

3

3

]

y=0

h− h

b

x

d x =

1
3

∫

0

b

(

h−

h
b

x

)

3

d x =

=

1
3

∫

0

b

[

h

3

−

3

h

3

b

x+3

h

3

b

2

x

2

−

h

3

b

3

x

3

]

d x =

h

3

3

[

x−

3

2b

x

2

+

1

b

2

x

3

−

1

4 b

3

x

4

]

0

b

=

b h

3

12

I

y

=

∬

A

x

2

d A =

∫

x=0

b

∫

y=0

h − h

b

x

x

2

d y d x =

∫

x=0

b

x

2

[

y

]

y=0

h−

h
b

x

d x =

∫

0

b

[

h x

2

−

h
b

x

3

]

d x =

=

[

h
3

x

3

−

h

4 b

x

4

]

0

b

=

h b

3

12

D

xy

=

∬

A

xy d A =

∫

x=0

b

∫

y=0

h− h

b

x

xy d y d x =

∫

x=0

b

x

[

y

2

2

]

y=0

h− h

b

x

d x =

1
2

∫

0

b

x

(

h−

h
b

x

)

2

d x =

=

1

2

∫

0

b

[

h

2

x−2

h

2

b

x

2

+

h

2

b

2

x

3

]

d x =

h

2

2

[

1
2

x

2

−

2

3b

x

3

+

1

4 b

2

x

4

]

0

b

=

b

2

h

2

24

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

Centralne momenty bezwładności:

I

X

=

I

x

−

A⋅y

O

2

=

b h

3

12

−

1
2

b h⋅

(

h
3

)

2

=

b h

3

36

I

Y

=

I

y

−

A⋅x

O

2

=

h b

3

12

−

1

2

b h⋅

(

b

3

)

2

=

h b

3

36

D

XY

=

D

xy

−

A⋅x

O

y

O

=

b

2

h

2

24

−

1
2

b h⋅

b
3

⋅

h
3

= −

b

2

h

2

72

Biegunowy moment bezwładności:

I

0

=

∬

A

(

X

2

+

Y

2

)

d A = I

X

+

I

Y

=

b h

36

(

h

2

+

b

2

)

Tensor bezwładności:

I =

[

I

X

−

D

XY

−

D

XY

I

Y

]

=

b h

72

[

2 h

2

b h

b h

2 b

2

]

Niezmienniki tensora bezwładności: α = tr(I) = I

X

+

I

Y

=

b h

36

(

h

2

+

b

2

)

β =

det(I) = I

X

I

Y

−

D

XY

2

=

b

4

h

4

1728

Równanie wiekowe:

I

2

−α

I +β=0

Główne momenty bezwładności – rozwiązania równania wiekowego:

I

ξ

=

I

max

=

I

X

+

I

Y

2

+

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

=

bh
72

[

b

2

+

h

2

+

√

b

4

−

b

2

h

2

+

h

4

]

I

η

=

I

min

=

I

X

+

I

Y

2

+

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

=

bh
72

[

b

2

+

h

2

−

√

b

4

−

b

2

h

2

+

h

4

]

Kąt między osią X centralnego układu współrzędnych a osią maksymalnego centralnego momentu
bezwładności:

tg φ =

D

XY

I

Y

−

I

max

=

bh

h

2

−

b

2

+

√

h

4

−

h

2

b

2

+

b

4

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 2
Dany jest wycinek pierścienia o promieniu wewnętrznym R

W

i promieniu zewnętrznym R

Z

odpowiadający kątowi środkowemu γ . Obliczyć położenie jego środka ciężkości oraz główne
centralne momenty bezwładności.

Globalny układ współrzędnych dobieramy w ten sposób, aby jego oś x była osią symetrii figury.
Środek ciężkości leży zatem na tej osi. Jest ona ponadto jedną z głównych centralnych osi
bezwładności. Druga główna centralna oś bezwładności musi być do niej prostopadła. Stosując
współrzędne biegunowe obszar figury opisać można jako:

A =

{

r , ψ: r ∈( R

W

, R

Z

)

,φ ∈

(

−

γ
2

,

γ

2

)

}

Pole powierzchni:

A =

∬

A

d A =

∫

r =R

w

R

z

∫

ψ=−γ /

2

γ /

2

J d ψ d r =

∫

R

W

R

Z

r d r

∫

−γ/

2

γ/

2

d ψ =

[

r

2

2

]

R

W

R

Z

[

ψ

]

−γ /

2

γ/

2

=

γ
2

(

R

Z

2

−

R

W

2

)

Momenty statyczne i położenie środka ciężkości:

S

y

=

∬

A

x d A =

∫

r =R

w

R

z

∫

ψ=−γ/

2

γ/

2

r cos ψ J d ψ d r =

∫

R

W

R

Z

r

2

d r

∫

−γ /

2

γ/

2

cos ψ d ψ =

[

r

3

3

]

R

W

R

Z

[

sin ψ

]

−γ/

2

γ/

2

=

=

2
3

(

R

Z

3

−

R

W

3

)⋅

sin

γ
2

x

O

=

S

y

A

=

4

3 γ

(

R

Z

3

−

R

W

3

)

(

R

Z

2

−

R

W

2

)

sin

(

γ

2

)

y

O

=

0

Momenty bezwładności w układzie globalnym:

I

x

=

I

X

=

∬

A

y

2

d A =

∫

r =R

w

R

z

∫

ψ=−γ /

2

γ /

2

(

r sin ψ)

2

J d ψ d r =

∫

R

W

R

Z

r

3

d r

∫

−γ /

2

γ/

2

sin

2

ψ

d ψ =

[

r

4

4

]

R

W

R

Z

[

1
2

(

x−sin ψcos ψ

)

]

−γ/

2

γ/

2

=

1
8

(

R

Z

4

−

R

W

4

)

[

γ−

sin γ

]

I

y

=

∬

A

x

2

d A =

∫

r =R

w

R

z

∫

ψ=−γ/

2

γ/

2

(

r cos ψ)

2

J d ψ d r =

∫

R

W

R

Z

r

3

d r

∫

−γ/

2

γ/

2

cos

2

ψ

d ψ =

[

r

4

4

]

R

W

R

Z

[

1
2

(

x+sin ψcos ψ

)

]

−γ/

2

γ/

2

=

1
8

(

R

Z

4

−

R

W

4

)

[

γ+

sin γ

]

Centralne momenty bezwładności:

I

X

=

I

x

−

A⋅y

O

2

=

1
8

(

R

Z

4

−

R

W

4

)

[

γ−

sin γ

]

I

Y

=

I

y

−

A⋅x

O

2

=

1
8

(

R

Z

4

−

R

W

4

)

[

γ+

sin γ

]

−

8

9 γ

(

R

Z

3

−

R

W

3

)

2

(

R

Z

2

−

R

W

2

)

sin

2

(

γ

2

)

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

Biegunowy moment bezwładności:

I

0

=

I

X

+

I

Y

=

γ
4

(

R

Z

4

−

R

W

4

) −

8

9 γ

(

R

Z

3

−

R

W

3

)

2

(

R

Z

2

−

R

W

2

)

sin

2

(

γ
2

)

Wycinki koła R

Z

=

R , R

W

=

0

•

Koło (γ=2 π) :

A=π R

2

x

O

=

0

I

X

=

I

Y

=

π

R

4

4

•

Półkole (γ=π) :

A=

π

R

2

2

x

O

=

4
3

R
π

I

X

=

π

R

4

8

I

Y

=

R

4

(

π
8

−

8

9 π

)

•

Ćwiartka koła

(

γ=

π

2

)

:

A=

π

R

2

4

x

O

=

4

√

2

3

R
π

I

X

=

π

R

4

4

=

( π−

2)

16

R

4

I

Y

=

(

9 π

2

+

18 π−128)

144

R

4

Profil rurowy R

Z

=

R , R

W

=

r ,

( γ=

2 π) :

A=π(R

2

−

r

2

)

x

O

=

0

I

X

=

I

Y

=

π(

R

4

−

r

4

)

4

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 3
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności oraz orientację
głównych centralnych osi bezwładności figury jak na rysunku.

Schemat rozwiązania zadania – omówiony bardziej szczegółowo w następnym, bardziej
skomplikowanym zadaniu – jest następujący:

1. Przedstawiamy figurę jako sumę lub różnicę najmniejszej możliwej liczby figur prostych

(prostokątów, trójkątów prostokątnych, kół oraz ich ćwiartek i połówek).

2. Obliczamy pole całej figury a także momenty statyczne względem osi przyjętego układu

współrzędnych i obliczamy współrzędne środka ciężkości.

3. Wyznaczmy charakterystyki geometryczne każdej z figur składowych w jej własnym

centralnym układzie współrzędnych oraz sumujemy charakterystyki wszystkich figur
składowych sprowadziwszy je uprzednio do środka ciężkości całej figury za pomocą
twierdzenia Steinera.

4. Wyznaczamy główne centralne momenty bezwładności oraz orientację osi maksymalnej

bezwładności.

Podział figury i przyjęcie globalnego układu współrzędnych:

Pole powierzchni figury:

A = A

I

+

A

II

+

A

III

=

[

2⋅2

]

+

[

1
2

⋅

2⋅2

]

+

[

1⋅4

]

=

4+2+4=10

Momenty statyczne figur składowych względem osi x i y przyjętego układu współrzędnych
obliczamy jako iloczyn ich pola oraz współrzędnej odpowiednio y oraz x położenia ich lokalnego
centralnego układu współrzędnych. Środek ciężkości prostokątów znajduje się w połowie ich
szerokości i wysokości, zaś w przypadku trójkątów prostokątnych w 1/3 ich wysokości i szerokości
licząc od kąta prostego:

S

x

=

[

(

2⋅2

)

⋅

(

1+

1
2

⋅

2

)

]

+

[

(

1
2

⋅

2⋅2

)

⋅

(

1+

1
3

⋅

2

)

]

+

[

(

1⋅4

)

⋅

(

1
2

⋅

1

)

]

=

13,333

S

y

=

[

(

2⋅2

)

⋅

(

1

2

⋅

2

)

]

+

[

(

1
2

⋅

2⋅2

)

⋅

(

2+

1
3

⋅

2

)

]

+

[

(

1⋅4

)

⋅

(

1
2

⋅

4

)

]

=

17,333

Położenie środka ciężkości: x

O

=

S

y

A

=

1,733

y

O

=

S

x

A

=

1,333

Momenty bezwładności oraz momenty dewiacji dla całej figury obliczamy jako sumę
odpowiednich momentów figur składowych, sprowadzonych do środka ciężkości całej figury
zgodnie z twierdzeniem Steinera.

I

X

=

[

2⋅2

3

12

+

(

2⋅2

)

⋅

(

1+

1
2

⋅

2−1,333

)

2

]

+

[

2⋅2

3

36

+

(

1
2

⋅

2⋅2

)

⋅

(

1+

1
3

⋅

2−1,333

)

2

]

+

[

4⋅1

3

12

+

(

4⋅1

)

⋅

(

1
2

⋅

1−1,333

)

2

]

=

=

3,113 + 0,667 + 3,109 = 6,889

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

I

Y

=

[

2

3

⋅

2

12

+

(

2⋅2

)

⋅

(

1

2

⋅

2−1,733

)

2

]

+

[

2

3

⋅

2

36

+

(

1
2

⋅

2⋅2

)

⋅

(

2+

1
3

⋅

2−1,733

)

2

]

+

[

4

3

⋅

1

12

+

(

4⋅1

)

⋅

(

1
2

⋅

4−1,733

)

2

]

=

=

3,482 + 2,188 + 5,618 = 11,288

D

XY

=

[

0+

(

2⋅2

)

⋅

(

1+ 1

2

⋅

2−1,333

)(

1
2

⋅

2−1,733

)

]

+

[

−

2

2

⋅

2

2

72

+

(

1
2

⋅

2⋅2

)

⋅

(

1+1

3

⋅

2−1,333

)(

2+1

3

⋅

2−1,733

)

]

+

+

[

0+

(

4⋅1

)

⋅

(

1
2

⋅

1−1,333

)(

1
2

⋅

4−1,733

)

]

= −

1,956 + 0,401 − 0,890 = −2,445

Główne centralne momenty bezwładności i orientacja osi maksymalnej bezwładności:

I

max

=

I

X

+

I

Y

2

+

√

(

I

x

−

I

y

2

)

2

+

D

XY

2

=

12,377

I

min

=

I

X

+

I

Y

2

−

√

(

I

x

−

I

y

2

)

2

+

D

XY

2

=

5,800

φ = arctg

D

XY

I

y

−

I

max

=

66

∘

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 4
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności oraz orientację
głównych centralnych osi bezwładności figury jak na rysunku.

Figurę można określić jako sumę trzech figur:

F =F

I

+

F

II

+

F

III

F

I

- prostokąt

F

II

- trójkąt

F

III

- ćwiartka koła

Wszystkie zadania tego typu można rozwiązywać z wykorzystaniem prostego (choć na pierwszy
rzut oka złożonego) schematu obliczeniowego. W tym celu wprowadź szereg pomocniczych
układów współrzędnych:

•

globalny u.w.

(czarny)

•

lokalne centralne u.w. figur składowych

(

czerwone

)

•

dla figur składowych będących wycinkami koła – u.w. w środku koła (

żółty

)

•

centralny u.w. całej figury

(

zielony

)

•

główny centralny u.w. cełj figury

(

niebieski

)

Schemat postępowania jest następujący:

1. Obliczamy pole całkowite figury będące sumą pól figur składowych.

A = Σ A

i

2. Wyznaczamy środki ciężkości każdej z figur składowych.

3. Obliczamy momenty statyczne S

x

, S

y

całej figury względem osi globalnego u.w.

(czarnego) – każdy z nich jest sumą momentów statycznych figur składowych, które z kolei
są równe odpowiednim polom przemnożonym przez właściwą współrzędną środka
ciężkości danej figury w globalnym u.w. (czarnym).

S

x

=Σ

S

xi

S

xi

=

A

i

⋅

y

Oi

S

y

=Σ

S

yi

S

yi

=

A

i

⋅

x

Oi

4. Wyznaczamy współrzędne środek ciężkości całej figury w globalnym (czarnym) u.w.:

x

O

=

S

y

A

y

O

=

S

x

A

W punkcie tym określony jest centralny u.w. (

zielony

), którego osie są równoległe do osi

globalnego u.w. (czarnego).

5. Dla każdej figury składowej wyznaczamy jej momenty bezwładności

I

xi

,

I

yi

,

D

xyi

w jej

lokalnym centralnym u.w. (

czerwonym

). W przypadku figur będących wycinkami koła

najpierw określamy momenty bezwładności w pomocniczym (

żółtym

) u.w. a następnie

wykorzystując tw. Steinera przechodzimy do lokalnego u.w. (

czerwonego

) dla wycinka.

6. Obliczamy momenty bezwładności całej figury w centralnym u.w. (

zielonym

) – są one sumą

momentów bezwładności figur składowych

I

Xi

,

I

Yi

,

D

XYi

względem centralnego u.w.

(

zielonego

), obliczonych zgodnie z tw. Steinera

I

X

= Σ

I

Xi

I

Xi

=

I

xi

+

A⋅( y

Oi

−

y

O

)

2

I

Y

= Σ

I

Yi

I

Xi

=

I

yi

+

A⋅(x

Oi

−

x

O

)

2

D

XY

= Σ

D

XYi

D

XYi

=

D

xyi

+

A⋅( y

Oi

−

y

O

)(

x

Oi

−

x

O

)

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

Nie wolno zmieniać kolejności odejmowania współrzędnych środków ciężkości – w
przypadku momentów dewiacji, zamiana kolejności w jednym tylko nawiasie prowadzi do
błędów! Uwaga: niektóre współrzędne mogą być ujemne – znak należy uwzględnić w
obliczeniach

7. Konstruujemy tensor bezwładności i wyznaczamy jego wartości własne i orientację osi

głównych - osi głównego centralnego u.w. (

niebieskiego

).

I

max

=

I

X

+

I

Y

2

+

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

,

I

min

=

I

X

+

I

Y

2

−

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

, tg φ =

D

XY

I

Y

−

I

max

Rozwiązanie:

Figura I - trójkąt:

Figura II -prostokąt:

x

OI

=

2
3

b=1,3333

x

OII

=

1
2

b=2,0000

y

OI

=

3+

1
3

h=3,6667

y

OI

=

2+

1
2

h=2,5000

A

I

=

1
2

b h =

1
2

2⋅2 = 2,0000

A

I

=

b h = 4⋅1 = 4,0000

I

xI

=

b h

3

36

=

2⋅2

3

36

=

0,4444

I

xI

=

b h

3

12

=

4⋅1

3

12

=

0,3333

I

yI

=

b

3

h

12

=

2

3

⋅

2

36

=

0,4444

I

yI

=

b

3

h

12

=

4

3

⋅

1

12

=

5,3333

D

xyI

= +

b

2

h

2

72

=

0,2222

D

xyI

=

0

Figura III – ćwiartka koła:

A

III

=

π

R

2

4

=

3,1416

x

OIII

=

2+

4
3

R
π

=

2,8488

y

OIII

=

2−

4
3

R
π

=

1,1512

I

x ' III

=

π

R

4

16

=

3,1416

I

xIII

=

π

R

4

16

−

π

R

2

4

⋅

(

4
3

R
π

)

2

=

0,8781

I

y' III

=

π

R

4

16

=

3,1416

I

yIII

=

π

R

4

16

−

π

R

2

4

⋅

(

4
3

R
π

)

2

=

0,8781

D

x ' y' III

= −

R

4

8

=−

2,0000

D

xyIII

= −

R

4

8

−

π

R

2

4

⋅

(

4
3

R
π

)

⋅

(

−

4
3

R
π

)

=

0,2635

Pole powierzchni całej figury:

A = A

I

+

A

II

+

A

III

=

9,1416

Momenty statyczne całej figury względem osi globalnego u.w.:

S

x

=

A

I

y

OI

+

A

II

y

OII

+

A

III

y

OIII

=

20,950

S

y

=

A

I

x

OI

+

A

II

x

OII

+

A

III

x

OIII

=

19,616

Środek ciężkości całej figury:

x

O

=

S

y

A

=

2,1458

y

O

=

S

x

A

=

2,2917

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

Centralne momenty bezwładności:

I

X

=

[

I

xI

+

A

I

(

y

OI

−

y

O

)

2

]

+

[

I

xII

+

A

II

(

y

OII

−

y

O

)

2

]

+

[

I

xIII

+

A

III

(

y

OIII

−

y

O

)

2

]

=

9,6971

I

Y

=

[

I

yI

+

A

I

(

x

OI

−

x

O

)

2

]

+

[

I

yII

+

A

II

(

x

OII

−

x

O

)

2

]

+

[

I

yIII

+

A

III

(

x

OIII

−

x

O

)

2

]

=

9,6137

D

XY

=

[

D

xyI

+

A

I

(

x

OI

−

x

O

)(

y

OI

−

y

O

)

]

+

[

D

xyII

+

A

II

(

x

OII

−

x

O

)(

y

OII

−

y

O

)

]

+

[

D

xyIII

+

A

III

(

x

OIII

−

x

O

)(

y

OIII

−

y

O

)

]

=

= −

4,3890

Główne momenty bezwładności:

I

ξ

=

I

max

=

I

X

+

I

Y

2

+

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

=

14,045

I

η

=

I

min

=

I

X

+

I

Y

2

−

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

=

5,2662

Orientacja osi maksymalnej bezwładności:

φ = arctg

D

XY

I

Y

−

I

max

=

arctg(0,9905)=44,727

∘

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 5
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności oraz orientację
głównych centralnych osi bezwładności figury jak na rysunku.

Podział na figury składowe
i przyjęcie globalnego u.w.:

Pole powierzchni:

A =

[

4⋅3

]

pr

−

[

1
2

⋅

2⋅2

]

tr

−

[

π⋅

2

2

4

]

ck

=

10−π = 6,8584

Momenty statyczne i współrzędne środka ciężkości

S

x

=

[

4⋅3⋅

3
2

]

pr

−

[

1
2

⋅

2⋅2⋅

(

1+

2
3

⋅

2

)

]

tr

−

[

π⋅

2

2

4

⋅

(

3−

4
3

2

π

)

]

ck

=

6,5752

y

O

=

S

x

A

=

0,9587

S

y

=

[

4⋅3⋅2

]

pr

−

[

1

2

⋅

2⋅2⋅

(

2+

1
3

⋅

2

)

]

tr

−

[

π⋅

2

2

4

⋅

(

2−

4
3

2

π

)

]

ck

=

3,6165

x

O

=

S

y

A

=

2,1944

Centralne momenty bezwładności:

I

X

=

[

4⋅3

3

12

+

4⋅3⋅

(

3
2

−

0,9587

)

2

]

pr

−

[

2⋅2

3

36

+

1
2

⋅

2⋅2⋅

(

1+

2

3

⋅

2−0,9587

)

2

]

tr

−

−

[

π⋅

2

4

16

−

π⋅

2

2

4

⋅

(

4
3

2
π

)

2

+

π⋅

2

2

4

⋅

(

3−

4
3

2

π

−

0,9587

)

2

]

ck

=

2,9425

I

Y

=

[

4

3

⋅

3

12

+

4⋅3⋅

(

2−2,1944

)

2

]

pr

−

[

2

3

⋅

2

36

+

1

2

⋅

2⋅2⋅

(

2+

1
3

⋅

2−2,1944

)

2

]

tr

−

−

[

π⋅

2

4

16

−

π⋅

2

2

4

⋅

(

4
3

2
π

)

2

+

π⋅

2

2

4

⋅

(

2−

4
3

2
π

−

2,1944

)

2

]

ck

=

11,2659

D

XY

=

[

0+4⋅3⋅

(

3
2

−

0,9587

)

(

2−2,1944

)

]

pr

−

[

2

2

⋅

2

2

72

+

1
2

⋅

2⋅2⋅

(

1+2

3

⋅

2−0,9587

)(

2+1

3

⋅

2−2,1944

)

]

tr

−

−

[

π⋅

2

4

16

−

π⋅

2

2

4

⋅

(

−

4
3

2

π

)(

−

4
3

2
π

)

+

π⋅

2

2

4

⋅

(

3− 4

3

2
π

−

0,9587

)(

2− 4

3

2

π

−

2,1944

)

]

ck

=

1,3884

Główne momenty bezwładności:

I

ξ

=

I

max

=

I

X

+

I

Y

2

+

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

=

11,4914

I

η

=

I

min

=

I

X

+

I

Y

2

−

√

(

I

X

−

I

Y

2

)

2

+

D

XY

2

=

2,7170

Orientacja osi maksymalnej bezwładności:

φ = arctg

D

XY

I

Y

−

I

max

=

arctg(6,1570) = 80,775

∘

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 6
Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności dla trójkąta równoramiennego o podstawie b i
wysokości h. Rozważyć szczególny przypadek trójkąta równoramiennego.

Trójkąt równoramienny posiada oś symetrii – jest ona zatem jedną z
głównych centralnych osi bezwładności. Druga z nich musi być do niej
prostopadła i przechodzić musi przez środek ciężkości. Środek ciężkości
jest punktem przecięcia się środkowych w trójkącie – ponieważ jedna z
nich zawiera się w osi symetrii, a ponadto środkowe dzielą się na odcinki
o stosunku długości 2:1 (licząc od wierzchołka) zatem środek ciężkości
jest w 1/3 wysokości trójkąta.

Główne centralne momenty bezwładności:

I

x

=

[

(

b /2)⋅h

3

36

]

+

[

(

b/ 2)⋅h

3

36

]

=

b⋅h

3

36

I

y

=

[

(

b /2)

3

⋅

h

36

+

1

2

⋅

b
2

⋅

h⋅

(

1
3

⋅

b

2

)

2

]

+

[

(

b/ 2)

3

⋅

h

36

+

1
2

⋅

b
2

⋅

h⋅

(

1
3

⋅

b
2

)

2

]

=

b

3

h

48

Dla trójkąta równobocznego mamy b=a , h=

a

√

3

2

⇒

I

x

=

I

y

=

a

4

√

3

96

ZADANIE 7
Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności dla
przekroju dwuteowego jak na rysunku.

Ponieważ przekrój jest symetryczny, środek ciężkości musi leżeć
na osi symetrii, która jest jedną z centralnych głównych osi
bezwładności – druga musi zaś być do niej prostopadła.
Wystarczy zatem wyznaczyć składową y' środka ciężkości w
pewnym układzie współrzędnych (x', y')– np. o początku na
dolnej krawędzi przekroju – poprzez obliczenie pola powierzchni
A momentu statycznego S

x'

oraz obliczyć momenty bezwładności

względem osi symetrii przekroju oraz osi do niej prostopadłej,
przechodzącej przez środek ciężkości. Z definicji, w głównym
układzie współrzędnych momenty dewiacji są równe 0.

Pole powierzchni przekroju:

A=8 a⋅2 a+10 a⋅a+2 a⋅5 a = 36 a

2

Moment statyczny przekroju względem osi poziomej x' zawierającą jego dolną krawędź:

S

x'

=

8 a⋅2 a⋅a+10 a⋅a⋅7 a+2 a⋅5 a⋅13 a=216 a

3

Odległość środka ciężkości przekroju od dolnej krawędzi: y

C

' =

S

x'

A

=

6 a

Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności:

I

y

=

[

8 a⋅(2a )

3

12

+

8a⋅2 a⋅(a−6 a)

2

]

+

[

a⋅(10a)

3

12

+

10 a⋅a⋅(7a −6a)

2

]

+

[

5 a⋅(2 a)

3

12

+

5a⋅2a⋅(13a −6a)

2

]

=

992 a

4

I

z

=

[

2 a⋅(8 a)

3

12

]

+

[

10 a⋅a

3

12

]

+

[

2 a⋅(5 a)

3

12

]

=

107 a

4

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 8
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności przekroju
symetrycznego zbudowanego z kształtowników walcowanych jak
na rysunku obok.

Ponieważ przekrój jest symetryczny, środek ciężkości musi leżeć
na osi symetrii, która jest jedną z centralnych głównych osi
bezwładności - druga musi zaś być do niej prostopadła.

Charakterystyki geometryczne profilów składowych

UWAGA: Odczytując dane z tablic profilów walcowanych, koniecznie trzeba zwrócić uwagę na
orientację osi bezwładności przyjętych w tablicach – rzecz dotyczy w sposób szczególny
kątowników nierównoramiennych.

HEB 200

C 200

L 80x40x6

Pole powierzchni

A=78,1 cm

2

A=32,2 cm

2

A=6,89cm

2

Momenty bezwładności

I

x

=

5700 cm

4

I

x

=

148 cm

4

I

x

=

7,59 cm

4

I

y

=

2000 cm

4

I

y

=

1910 cm

4

I

y

=

44,9 cm

4

Położenie środków ciężkości w przyjętym układzie współrzędnych:

HEB 200

x

O

=

0 mm

y

O

=

1
2

h

HEB

=

100 mm

C 200

x

O

=

0 mm

y

O

=

h

HEB

+

e

C

=

220,1 mm

L 80x40x6

x

O

= ±

(

b

HEB

2

−

e

Lx

)

= ±(

200−28,5)=±171,5 mm

y

O

=−

e

Ly

= −

8,8 mm

Pole powierzchni przekroju:

A = 78,1 + 32,2 + 6,89 = 124,08 [cm

2

]

Moment statyczny:

S

x

= [

78,1⋅10] + [32,2⋅22,01] + 2⋅[6,89⋅(−0,88)] = 1477,60 [cm

3

]

Położenie środka ciężkości: x

O

=

0

y

O

=

S

x

A

=

11,84 [cm]

Momenty bezwładności:

I

x

=

[

5700+78,1⋅(10−12,61)

2

]

+

[

148+32,2⋅(22,01−12,61)

2

]

+

2⋅

[

7,59+6,89⋅(−0,88−12,61)

2

]

=

=

5964,42 + 3478,41 + 2244,76 = 11687,59

I

y

=

[

2000

]

+

[

1910

]

+

2⋅

[

44,9+6,89⋅(±17,15−0)

2

]

=

8052,81

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

ZADANIE 9
Obliczyć główne centralne momenty bezwładności oraz
orientację głównych centralnych osi bezwładności przekroju
niesymetrycznego zbudowanego z kształtowników
walcowanych jak na rysunku.

Charakterystyki geometryczne:

Dwuteownik ekonomiczny IPE 300
Wysokość:

h

I

=

300 mm

Szerokość:

b

I

=

150 mm

Ceownik C 200
Wysokość:

h

C

=

200 mm

Szerokość:

b

C

=

75 mm

Odległość środka ciężkości od zewnętrznej powierzchni środnika: e

C

=

2,01 cm

Blacha
Szerokość:

b

b

=

500 mm

Grubość:

t

b

=

10 mm

Kątownik nierównoramienny L100x50x8
Długość dłuższego ramienia:

a

L

=

100 mm

Długość krótszego ramienia:

b

L

=

50 mm

Odległość środka ciężkości od zewnętrznej powierzchni dłuższego ramienia:

e

a

=

1,13 cm

Odległość środka ciężkości od zewnętrznej powierzchni krótszego ramienia:

e

b

=

3,59 cm

UWAGA: Często dla kątowników nie podaje się w tablicach jego momentu dewiacji w jego
centralnym układzie współrzędnych o osiach równoległych do ramion kątownika. Wtedy wartość tę
można wyznaczyć na podstawie wartości momentów bezwładności I

x

, I

y

względem tych osi oraz

głównych centralnych momentów bezwładności I

max

, I

min

:

D

xy

= ±

√

(

I

x

+

I

y

2

−

I

min

)

2

−

(

I

x

−

I

y

2

)

2

= ±

√

(

I

x

+

I

y

2

−

I

max

)

2

−

(

I

x

−

I

y

2

)

2

Znak „+” lub „–” określamy w sposób analogiczny, jak w przypadku trójkąta – jeśli ramiona
kątownika znajdują się w I i III ćwiartce lokalnego układu współrzędnych o osiach równoległych do
tych ramion (tj. naroże kątownika jest w II lub IV ćwiartce), przyjmujemy wtedy znak „+”. W
przeciwnym wypadku bierzemy wartość ujemną.

Charakterystyki geometryczne:

Profil

A [cm

2

]

I

x

[cm

4

]

I

y

[cm

4

]

D

xy

[cm

4

]

IPE 300

53,8

8360

604

0

C 200

32,2

1910

148

0

blacha

50

4,167

10417

0

L 100x50x8

11,5

116

19,5

26,5

mgr inż. Paweł Szeptyński – „Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”

01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - ZADANIA

Całkowite pole powierzchni przekroju:

A = 53,8 + 32,2 + 50 + 11,5 = 147,5

Momenty statyczne względem przyjętego globalnego układu współrzędnych:

S

x

= [

53,8⋅15]+[ 32,2⋅20]+[50⋅(30+0,5)]+[11,5⋅(30+1+3,59)] =

=

3373,785 [ cm

3

]

S

y

= [

53,8⋅7,5]+[32,2⋅(50−2,01)]+[50⋅25]+[11,5⋅(50−1,13)] =

=

3760,783 [ cm

3

]

Współrzędne środka ciężkości przekroju:

x

O

=

S

y

A

=

25,497 cm

y

O

=

S

x

A

=

22,873 cm

Momenty bezwładności

I

x

= [

8360+53,8⋅(15−22,873)

2

] + [

1910+32,2⋅(20−22,873)

2

] + [

4,167+50⋅(30+0,5−22,873)

2

] +

+ [

116+11,5⋅(30+1+3,59−22,873)

2

] =

11694,746+2175,783+2912,723+1694,813 = 18478,065 [cm

4

]

I

y

= [

604+53,8⋅(7,5−25,497)

2

] + [

148+32,2⋅(50−2,01−25,497)

2

] + [

10417+50⋅(25−25,497)

2

] +

+ [

19,5+11,5⋅(50−1,13−25,497)

2

] =

18029,390+16439,109+10429,350+6301,917 = 51199,766 [cm

4

]

D

xy

= [

0+53,8⋅(15−22,873)⋅(7,5−25,497)] + [ 0+32,2⋅(20−22,873)⋅(50−2,01−25,497)] +

+ [

0+50⋅(30+0,5−22,873)⋅(25−25,497)] + [26,5+11,5⋅(30+1+3,59−22,873)⋅(50−1,13−25,497)]

=

7622,942−2080,841−189,531+3122,567 = 8475,137 [ cm

4

]

Główne centralne momenty bezwładności:

I

max

=

Ix+ I

y

2

+

√

(

I

x

−

I− y

2

)

2

+

D

xy

2

=

53264,587 cm

4

I

min

=

Ix+ I

y

2

−

√

(

I

x

−

I− y

2

)

2

+

D

xy

2

=

16413,244 cm

4

Orientacja osi maksymalnej bezwładności:

φ = arctg

D

xy

I

y

−

I

max

=

arctg(−4,104)=−76,307

∘