mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”
01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Charakterystyki geometryczne przekrojów poprzecznych prętów MOMENT STATYCZNY I ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIGURY
A=∬ dx dy
- pole powierzchni [m2]
A
S =
y dx dy
x
∬
- moment statyczny względem płaszczyzny XZ [m3]
A
S =
x dx dy
y
∬
- moment statyczny względem płaszczyzny YZ [m3]
A
Ponieważ rozpatrujemy figury płaskie leżące w płaszczyźnie XY, więc moment statyczny względem płaszczyzny XZ lub YZ możemy w pewnym sensie utożsamiać z momentem statycznym względem osi odpowiednio x i y.
S
S
Położenie środka ciężkości O:
x = y
y = x , stąd: S = A y S = A x
O
A
O
A
x
O
y
O
•
Jeśli figura ma jedną oś symetrii to środek ciężkości leży na tej osi
•
Jeśli figura ma więcej niż jedną oś symetrii to środek ciężkości wyznaczony jest przez punkt przecięcia się tych osi
•
Moment statyczny względem osi przechodzących przez środek ciężkości jest równy 0
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
I =
y 2 dx dy
x
∬
- moment bezwładności względem osi X [m4]
A
I =
x 2 dx dy
y
∬
- moment bezwładności względem osi X [m4]
A
D =
xy dx dy
xy
∬
- moment dewiacji (zboczenia) względem płaszczyzn XZ i YZ [m4]
A
I =
r 2 dA=
( x 2+ y 2) dx dy= I + I 0
∬
∬
x
y
- biegunowy moment bezwładności [m4]
A
A
i =
i =
- promienie bezwładności względem osi x i y [m]
x
√ IxA y √ IyA
•
Moment bezwładności jest zawsze dodatni. Moment dewiacji może być ujemny.
GŁÓWNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGURY
− D
Tensor momentu bezwładności:
I=[ I x
xy]
− D
I
xy
y
Główne momenty bezwładności – rozwiązania równania wiekowego: I 2− a I+ b=0 , gdzie:
a = tr (bold I ) `=Ì_x + I_y , b = det (I) = I I − D 2
x
y
xy
I + I
− I
I
= x
y ±
y )2+ D 2
max
√( Ix
/ min
2
2
xy
mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”
01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Kąt między kierunkiem osi x a kierunkiem maksymalnego momentu bezwładności ξ :
D
I − I
D
I − I
tg φ =
xy
= x
max =
xy
= min
y
I y− I max
Dxy
I min− I x
Dxy
•
Osie główne tensora bezwładności (kierunki maksymalnego i minimalnego momentu bezwładności) są zawsze prostopadłe
•
W układzie osi głównych tensor bezwładności ma postać diagonalną z głównymi momentami bezwładności na przekątnej głównej i momenami dewiacji równymi 0
•
W układzie osi nachylonym do osi głównych pod kątem 45° momenty dewiacji przyjmują wartości ekstremalne (maksymalne lub minimalne)
•
Jeśli figura posiada oś symetrii to jest ona kierunkem głównym bezwładności, drugi kierunek główny zaś jest do niego prostopadły
•
Jeśli figura posiada więcej niż dwie osie symetrii (koło, kwadrat, n-kąty foremne, n > 2, itp.) to dowolne kierunki są kierunkami głownymi bezwładności TWIERDZENIE STEINERA
Moment bezwładności względem dowolnej prostej jest równy momentowi bezwładności względem prostej do niej równoległej przechodzącej przez środek ciężkości figury powiększonemu o iloczyn jej pola i odległości między tymi prostymi:
I x= I X + Ad 2
Moment dewiacji względem dwóch płaszczyzn jest równy momentowi dewiacji względem równoległych płaszczyzn przechodzących przez środek ciężkości figury powiększonemu o iloczyn jej pola oraz miar odległości między odpowiednimi płaszczyznami: D = D + A d d
xy
XY
x
y
UWAGA: d , d
x
y
mogą być ujemne!
MOMENT BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM DOWOLNEJ PROSTEJ
Moment bezwładności względem dowolnej prostej l przechodzącej przez środek ciężkości O i nachylonej pod kątem α do osi centralnej X: I l= I X cos2 α + I Y sin2α−2 DXY sin α cosα
mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”
01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Charakterystyki geometryczne wybranych figur płaskich x y – osie przyjętego układu współrzędnych X Y – osie centralne, przechodzące przez środek ciężkości osie równoległe do osi przyjętego układu ξ η – osie główne bezwładności – jeśli nie zaznaczono inaczej, pokrywają się z X Y
I , I , D
x
y
z
- momenty bezwładności w przyjętym układzie x y I , I , D
X
Y
Z
- centralne momenty bezwładności
I
, I
, I
max
min
0
- centralne główne momenty bezwładności
UWAGA: Jeśli figura (prostokąt, trójkąt prostokątny, ćwiartka koła) znajduje się w II lub IV
ćwiartce podstawowego układu współrzędnych x y, którego osie zawierają krawędzie tej figury, to momenty dewiacji względem tych osi mają znaki przeciwne do podanych poniżej.
Prostokąt
b 2 h 2
bh
A= bh
D =
I =
( b 2+ h 2)
z
4
0
12
b
b h 3
b h 3
x =
I =
I
=
O
2
x
3
max
12
h
b 3 h
b 3 h
yO=
I
I
2
y= 3
min= 12
Trójkąt
1
b 2 h 2
b 2 h 2
bh
A= bh
D
D
I
( b 2+ h 2)
2
z= 24
Z =− 72
0= 36
b
bh 3
bh 3
bh
x
I
I
I
[ b 2
O=
+ h 2+√ h 4− h 2 b 2+ b 4]
3
x= 12
X = 36
max= 72
h
b 3 h
b 3 h
bh
y
I
I
I
[ b 2
O=
+ h 2−√ h 4− h 2 b 2+ b 4]
3
y= 12
Y = 36
min= 72
φ=arctg
bh
h 2− b 2+√ h 4− h 2 b 2+ b 4
UWAGA: Jeśli trójkąt zorientowany jest w układzie osi centralnych w ten sposób, że trapezy odcięte przez jego osie znajdują się w I i II ćwiartce układu, wtedy centralny moment dewiacji jest dodatni.
Koło
A
π R 4
=π R 2
I =
0
2
π R 4
xO=0
Imax= 4
y
π R 4
=0
I =
O
min
4
mgr inż. Paweł Szeptyński – „ Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych”
01 – Charakterystyki geometryczne przekroju - TEORIA Półkole
8
A π R 2
=
D =0
I = R 4(π− )
2
z
0
4 9 π
x
π R 4
π R 4
=0
I =
I
= I =
O
x
8
max
Y
8
4 R
8
y
π R 4
=
I =
I = I = R 4(π− )
O
3 π
y
8
min
X
8 9 π
Ćwiartka koła
π R 2
R 4
4
8
A=
D
D
−
)
I
−
)
4
z= 8
Z = R 4(18 9π
0= R 4( π8 9π
4 R
π R 4
4
x
I
I
)
I
O=
−
3 π
x = 16
X = R 4( π
16 9 π
max= R 4 ( π− 2)
16
4 R
π R 4
4
y
I
I
O=
−
) I
3 π
y = 16
Y = R 4( π
16 9 π
min= R 4 (9 π 2+18 π −128)
144 π
φ=45∘
UWAGA: DZ oraz Dz obliczone dla orientacji figury jak na rysunku.
Przekrój złożony – na podstawie belki dwuteowej Półka górna:
b t 3
3
A
b t
= t ⋅ b
f1 f1
f1 f1
f1
f1
f1
I
=
I
=
x , f1
12
y , f1
12
Półka dolna:
3
3
A
b
b t
= t ⋅ b
f2 t f2
f2 f2
f2
f2
f2
I
=
I
=
x , f2
12
y , f2
12
Środnik:
3
3
A
t
b h
= t ⋅ h
w hw
w
w
w
w
w
I
=
I
=
x ,w
12
y , w
12
Jedna z osi głównych pokrywa się z osią symetrii przekroju y.
Druga jest prostopadła do niej, równoległa do x.
Pole powierzchni przekroju:
A= A + A + A
f1
f2
w
A ⋅ t
h
t
Moment statyczny względem osi x:
S = f2 f2 + A ⋅( t + w)+ A ⋅( t + h + f1) x
2
w
f2
2
f2
f2
w
2
Moment statyczny względem osi y:
S =0
y
S
S
Położenie środka ciężkości:
x = y=0
y = x
O
A
O
A
Główne centralne momenty bezwładności:
t
h
t
I
f2 )2]
w )2]
f1 )2]
x=[ I x, f1+ Af1⋅( yO−
+ [ I
+ [ I
2
x ,w+ Aw⋅( yO− t f2− 2
x , f2+ A f2⋅( yO− t f2− hw− 2
I = I
+ I
+ I
y
y , f1
y , f2
y ,w