Ewelina Dudek
22.04. 2008 r.
Rok I, chemia podstawowa
dr Bogusław Kosturek
wtorek, 12
45
-15
00
15. Drgania masy zawieszonej na sprężynie.
1.
Pomiary
1.1
Sprawdzenie izochronizmu drgań
Amplituda [cm]
Czas 20-stu pełnych
drgań [s]
Czas okresu [s]
1
22,35
1,118
2
22,37
1,119
3
22,72
1,136
4
22,50
1,125
5
22,50
1,125
6
22,35
1,118
7
22,32
1,116
8
22,44
1,122
9
22,60
1,130
10
22,78
1,139
Tabela 1.
Amplituda [cm]
Czas 20-stu pełnych
drgań [s]
Czas okresu [s]
22,56
1,128
22,53
1,127
22,56
1,128
22,59
1,129
5
22,56
1,128
Tabela 2.
1.2
Wyznaczanie współczynnika sprężystości k
Masa
odważnika [g]
Wydłużenie
sprężyny [cm]
Masa
odważnika [g]
Wydłużenie
sprężyny [cm]
10
3,0
100
32,9
20
6,0
90
29,5
30
10,0
80
26,2
40
13,0
70
22,9
50
16,0
60
19,6
60
19,5
50
16,1
70
23
40
12,9
80
26,0
30
9,4
90
29,5
20
6,0
100
33,0
10
2,9
Tabela 3.
1.3
Zależność okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę
Masa odważnika
[g]
Okres 20-stu
pełnych drgań
[s]
Czas okresu
[s]
T
2
[s
2
]
40
21,06
1,053
1,109
50
22,37
1,119
1,252
60
23,47
1,174
1,378
70
24,72
1,236
1,528
80
25,47
1,274
1,623
90
26,97
1,349
1,820
100
27,66
1,383
1,913
Tabela 4.
Amplituda [cm]
Okres drgań [s]
Czas okresu [s]
T
2
[s
2
]
5
22,35
1,118
1,250
Tabela 5. Odważnik o masie m
x
2.
Wstęp teoretyczny
2.1 Siły sprężyste
Pod wpływem zewnętrznych sił każde rzeczywiste ciało ulega
odkształceniom (deformacjom), tzn. zmienia swoje rozmiary i kształt. Jeżeli
po usunięciu tych sił ciało powraca do pierwotnych rozmiarów i kształtu, to
odkształcenie nazywamy sprężystym. Z odkształceniami sprężystymi mamy
do czynienie wtedy, gdy siła wywołująca odkształcenie nie przekracza
pewnej określonej dla każdego konkretnego ciała wartości granicznej
(granicy sprężystości).
Rozważmy sprężynę, która w stanie nieodkształconym ma długość l
0
. Do
końców sprężyny przykładamy równe co do wartości i kierunku, lecz
przeciwnie zwrócone siły F
1
i F
2
. Pod działaniem tych sił sprężyna rozciąga
się o ∆l, a potem jest osiągany stan równowagi. W stanie równowagi
zewnętrzne siły F
1
i F
2
są zrównoważone przez siły sprężystości, które
pojawiają się w sprężynie w wyniku deformacji. Z doświadczenia wynika,
ż
e dla niewielkich odkształceń wydłużenie sprężyny ∆l jest proporcjonalne
do rozciąganej siły: ∆l~F, , gdzie F=F
1
=F
2
.
Wzór na siłę sprężystości ma w takim przypadku ma postać:
(1)
Współczynnik proporcjonalności k nazywamy stałą sprężystości sprężyny.
Naprężenia sprężyste powstają w całej sprężynie. Dowolna część sprężyny
działa na sąsiednią część siłą określoną wzorem (1).
2.2 Prawo Hooke’a
Podstawowe prawo opisujące własności sprężyste ciał. W zakresie
sprężystości odkształcenie x jest proporcjonalne do naprężenia, które je
wywołało:
F
s
- siła sprężystości
k- współczynnik sprężystości
2.3 Równanie ciężarka zawieszonego na sprężynie
Jeżeli sprężyna zostanie wydłużona w taki sposób, aby wypadkowa ciężaru
Q i siły sprężystej F
s
działających na masę m nie była równa zeru, wówczas
zgodnie z II zasada dynamiki Newtona, ciężarek będzie poruszał się ruchem
przyspieszonym z przyspieszeniem :
Ciężarek będzie w równowadze w położeniu x
0
, kiedy siła sprężystości F
s
zrównoważy jego ciężar:
Równanie ruchu ma postać:
Po podzieleniu przez m i uwzględnieniu (4) otrzymujemy:
Wprowadzając nową zmienną y=x-x
o
określającą wychylenie masy m z
położenia równowagi otrzymujemy:
Rozwiązaniem równania jest jest funkcja opisująca drganie harmoniczne :
gdzie:
A-amplituda drgania,
φ
- faza początkowa drgania,
ω
– częstość kołowa
2.4. Izochronizm drgań
Izochronizm jest właściwością niektórych układów drgających.
Z równiania
widzimy, że okres drgań zależy tylko od masy
ciężarka i od współczynnika sprężystości, a nie zależy od początkowego
odchylenia ciężarka od położenia równowagi. To, że okres drgań nie zależy
od amplitudy A określane jest jako prawo izochronizmu wahadła
sprężynowego.
2.5 Ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, której m
s
≠0
Ruch ten opisany jest wzorem:
Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy:
Równanie to można zapisać w sposób ogólny:
A – współczynnik kierunkowy prostej,
B – wartość rzędna, dla m=0 równa się:
3.
Opis doświadczeń
3.1
Sprawdzenie izochronizmu drgań
Na szalce kładziemy odważnik o masie 50 gram, po czym odciągamy szalkę
delikatnie w dół o 1 cm i puszczamy ją swobodnie. Stoperem mierzymy czas
20-stu pełnych drgań. Następnie nie zmieniając obciążenia przeprowadzamy
analogicznie pomiary dla 9-ciu różnych amplitud od 2 do 10 cm co 1 cm. Dla
jednej wybranej wartości amplitudy pomiary powtarzamy 5-cio krotnie.
3.2
Wyznaczanie współczynnika sprężystości k
Na szalce kładziemy kolejno odważniki o masach od 10 do 100 gram .
Notujemy wydłużenie sprężyny w stanie równowagi (nieruchomej) dla każdego
obciążenia. Następnie powtarzamy pomiar, zaczynając od odważnika o 100
gram do 10 gram.
3.3
Zależność okresu drgań T od masy m obciążającej sprężynę
Dokonujemy pomiarów okresów drgań T tak jak w punkcie 3.1, zmieniając
masy odważników co 10 gram od 40 do 100 gram. Na zakończenie kładziemy
na szalce odważnik o nieznanej masie m
x
i mierzymy okres jego drgań.
4.
Opracowanie wyników pomiarów
4.1
Ś
rednia wartość okresu drgań T
ś
r
dla amplitudy równej 5cm wynosi :
Maksymalne odchylenie od średniej( pod uwagę biorę najdłuższy i
najkrótszy okres) wynosi :
O
1
=1,128-1,118= 0,010s
O
2
=1,139-1,128= 0,011s
Spośród wszystkich wyników pomiarów, w granicy niepewności nie mieści
się pomiar dla amplitudy równej 7cm.
4.2
Ś
rednie wydłużenie sprężyny x pod wpływem określonych obciążeń
wynosi:
x
01
- wydłużenie przy obciążeniu rosnącym,
x
02
- wydłużenie przy obciążeniu malejącym
x
10
= 2,95·10
-2
m
x
20
= 6,00·10
-2
m
x
30
= 9,70·10
-2
m
x
40
= 12,95·10
-2
m
x
50
= 16,05 ·10
-2
m
x
60
= 19,55·10
-2
m
x
70
= 22,95·10
-2
m
x
80
= 26,10·10
-2
m
x
90
= 29,50·10
-2
m
x
100
= 32,95·10
-2
m
Prosta dopasowania otrzymana w wyniku zastosowania regresji liniowej:
A=2,94
B=0,01
k=A=2,94
4.3
1)
Masa m obciążenie sprężyny:
m
szalki
=17,9 g
m
40
= 57,9 ·10
-3
kg
m
50
= 67,9·10
-3
kg
m
60
= 77,9·10
-3
kg
m
70
= 87,9·10
-3
kg
m
80
= 97,9·10
-3
kg
m
90
= 107,9·10
-3
kg
m
100
= 117,9 ·10
-3
kg
2)
Prosta dopasowania otrzymana w wyniku prostej regresji:
A= 13,55
B= 0,33
3)
Masa ciężarka m
x
:
M
x
=m
c
-m
szalki
= 50g
4)
Obliczenie wartości k:
5)
Obliczenie współczynnika B
6)
Sprawdzenie udziału masy sprężyny m
s
w łącznej masie M:
M
40
=0,08
M
50
=0,09
M
60
=0,10
M
70
=0,11
M
80
=0,12
M
90
=0,13
M
100
=0,14
Od łącznej masy odejmujemy masę obciążenia ( co powinno równać się
1/3 m
s
):
m
s1
= M
40
- m
40
=74,22·10
-3
kg
m
s2
= M
50
- m
50
= 83,21·10
-3
kg
m
s3
= M
60
- m
60
= 92,21·10
-3
kg
m
s4
= M
70
- m
70
= 101,21·10
-3
kg
m
s5
= M
80
- m
80
= 110,21·10
-3
kg
m
s6
= M
90
- m
90
= 128,92·10
-3
kg
m
s7
= M
100
- m
100
= 138,82·10
-3
kg
Sprawdzamy czy otrzymany wynik jest równy 1/3 m
s
:
0,29
0,29
0,29
0,29
0,29
0,29
0,29
5.
Wnioski
1.
Zgodnie z izochronizmem drgań okres nie zależy od amplitudy
drgań. Dowodem tego jest fakt, że jeden z pomiarów nie mieści się w
wyznaczonym przedziale niepewności pomiarowej.
2.
Stała sprężystości k badanej sprężyny jest równa 2,91.
3.
Ciężarek m
x
posiada masę równą 50g.
4.
Wyznaczony udział masy sprężyny m
s
w łącznej masie jest bardzo
bliski 1/3.
