ÆWICZENIE 39

Ć w i c z e n i e 37

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH CEWKI

GALWANOMETRU ZWIERCIADŁOWEGO

37.1. Opis teoretyczny

W ćwiczeniu testowany jest układ drgań, jakim jest cewka galwanometru zwierciadłowego. Opis
budowy takiego galwanometru przedstawiony jest w ćwiczeniu 16, a na rys. 37.1 przedstawione
zostały tylko podstawowe elementy potrzebne do zrozumienia powstawania drgań tłumionych.

a)

wychylenie A

nić sprężysta

lusterko

rdzeń z żelaza 1 cewka

ekran

lusterko

nić

X wiązka światła

Rys. 37.1. Schemat galwanometru zwierciadłowego (a) i schemat do odczytu wychyleń

ramki galwanometru (b).

Cewka pomiarowa (1) o dużej liczbie zwojów z cienkiego drutu zawieszona jest na sprężystej nici
metalowej (2) i może wykonywać drgania skrętne w szczelinie wytworzonej między nabiegunni-
kami trwałego magnesu a rdzeniem wykonanym z magnetycznie miękkiego żelaza (3). Dzięki
rdzeniowi pole magnetyczne w szczelinie jest radialne i w przybliżeniu ma prawie wszędzie jedna-
kowe natężenie. Do nici przytwierdzone jest lusterko (4). Jeżeli skierujemy na nie wiązkę światła,
to na umocowanym naprzeciw ekranie (skali) można obserwować ruch plamki świetlnej. Zwiększa-
jąc odległość pomiędzy lusterkiem a zwierciadłem można dla małych skręceń sprężystej nici
otrzymać dostatecznie duże wychylenie plamki świetlnej na skali. Schemat działania układu odczy-
towego przedstawia rys. 37.1b. Zgodnie z prawem odbicia światła skręceniu lusterka o kąt

ϕ odpo-

wiada wychylenie plamki o 2

ϕ.

W czasie ruchu obrotowego na cewkę działa moment związany ze skręceniem nici sprężystej (cza-
sem sprężyny spiralnej), jest to tzw. moment siły kierującej. Przyjmując liniowy model zależności
wielkości tego momentu od kąta skręcenia (praktycznie realizowany przy dostatecznie małych ką-
tach) mamy:

= - D

ϕ (37.1)

gdzie D

oznacza współczynnik proporcjonalności zwany momentem kierującym, uwzględniający

właściwości sprężyste nici, na której zawieszona jest cewka.
Znak minus w zależności (37.1) uwzględnia fakt, że moment kierujący ma zwrot przeciwny do kąta
wychylenia cewki zależnego od wielkości prądu, który przez nią przepływa. Na przewody cewki
umieszczone w polu magnetycznym działa siła, której moduł jest równy

F = n I a B (37.2)

gdzie: n - liczba zwoi cewki, I - natężenie prądu, a - wysokość cewki, B - indukcja pola magnetycz-
nego.
Siła ta jest prostopadła do płaszczyzny ramki i ze względu na rdzeń, dzięki któremu pole magne-
tyczne jest radialne, niezależna od kąta

ϕ. Moment działający na cewkę, spowodowany przepływem

przez nią prądu, ma więc postać

(37.3)

gdzie: S = a b oznacza przekrój ramki, b – szerokość ramki.
Z równowagi momentu kierującego (37.1) i momentu skręcającego (37.3) wynika kąt wychylenia
cewki

(37.4)

Tak więc pod wpływem przepływającego przez cewkę prądu I wychyli się ona o kąt

ϕ proporcjo-

nalny do wielkości tego prądu. Wzór ten opisuje zasadę działania galwanometru.
Jeżeli w pewnej chwili przerwiemy obwód zasilający cewkę galwanometru, zniknie moment
skręcający, a moment kierujący zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ciał w ruchu obrotowym, nada
cewce przyspieszenie

r =

(37.5)

gdzie: J – moment bezwładności cewki względem osi obrotu,

(t)

- przyspieszenie kątowe.

Korzystając z (37.1) otrzymujemy równanie opisujące drgania cewki:

(t)

2
0

(37.6)

gdzie

- częstość kątowa.

Jest to równanie drgań harmonicznych. Jego rozwiązanie ma postać:

)

sin(

(t)

gdzie:

- amplituda drgań,

δ - faza początkowa

W przypadku, gdy obwód cewki po odłączeniu go od źródła prądu zostanie zwarty przez oporność
R

0, powstaje moment, który „tłumi” ruch cewki. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya w cewce

poruszający się w polu magnetycznym pod wpływem M

≥

wyindukowuje się siła elektromotoryczna

ε równa:

dΦ

−

(37.7)

gdzie

Φ oznacza strumień pola magnetycznego przechodzący przez zwoje cewki.

Dla małej wartości wychylenia

ϕ mamy

Φ = n a b ϕ B

skąd

−

(37.8)

Gdy obwód cewki jest zamknięty oporem R

, popłynie w niej prąd, którego kierunek zgodnie z

regułą Lenza jest taki, że przeciwdziała zmianie strumienia, która go wywołała, czyli hamuje ruch
cewki

−

(37.9)

przy tym R

jest opornością cewki.

Pod wpływem tego prądu powstaje moment hamujący (wzór 37.3):

−

(37.10)

Moment ten jest więc proporcjonalny do

szybkości zmian kąta

ϕ,

a jego zwrot, jak już powiedziano,

jest przeciwny do kierunku ruchu cewki (moment M

przeciwdziała zmianom strumienia magne-

tycznego B, która wynika z ruchu cewki). Na cewkę działają teraz dwa momenty M

i M

Korzy-

stając z drugiej zasady dynamiki

otrzymujemy

(t)

2
0

(37.11)

gdzie

)

J(R

– współczynnik tłumienia drgań i nadal

Równanie to jest znanym równaniem różniczkowym ruchu harmonicznego tłumionego. Analo-
giczną postać równania otrzymalibyśmy analizując ruch wahadła lub ciężarka zawieszonego na

sprężynie z tłumikiem. W obwodzie elektrycznym „drgającym” rolę elementu tłumiącego spełnia
oporność R

Wielkość

β w ćwiczeniu zależy od R

, przez którą zwieramy obwód cewki. W przypadku, gdy R

→ ∞, to β→ 0, co jest zgodne z tym co powiedzieliśmy o rozwartym obwodzie cewki galwanome-
tru. Częstość kątowa

jest częstością drgań własnych, tj. częstością drgań tego samego układu,

gdy nie ma oporów ruchu.
Rozwiązanie równania (37.11) ma postać:

)

sin(

(t)

−

(37.12)

przy czym

2
0

−

Stałe

δ mogą być określone z warunków początkowych. Wyrażenie ϕ

βt

spełnia rolę amplitu-

dy drgań, która w przeciwieństwie do ruchu harmonicznego prostego nietłumionego nie jest stałą w
czasie, lecz maleje wykładniczo, skąd zrozumiałe staje się nazwanie

β współczynnikiem tłumienia.

Ruch jaki wykonuje cewka zależy od tego, jak duży jest współczynnik tłumienia

β:

1. Jeżeli

β < ω

, czyli

mamy do czynienia z ruchem harmonicznym o malejącej

amplitudzie

2
0

〉

−

βt

(rys. 37.2a) i okresie drgań

(37.13)

Szybkość zmiany amplitudy często przedstawia się za pomocą tzw. logarytmicznego dekrementu
tłumienia. Określa się go z zależności

)

(

−

(37.14)

Logarytmiczny dekrement tłumienia charakteryzuje tłumiony obwód drgający, jest stały w czasie i
określa, jak szybko zmienia się amplituda drgań po czasie równym okresowi drgań tłumionych.

10

5

-5

-10

βt

n+1

Rys.37.3. Wykresy drgań: a) drgania słabo tłumione, b) silnie tłumione powodujące brak drgań

2. Jeżeli siły oporu są na tyle duże, że , to ruch ma charakter aperiodyczny, tzn. ciało
wychylone z położenia równowagi wraca do tego położenia zbliżając się doń asymptotycznie, ale
nigdy go nie osiągając (rys. 37.2b).

2
0

≤

−

37.2. Opis układu pomiarowego

Układ pomiarowy składa się z galwanometru zwierciadłowego, zestawu oporników nastawnych
oraz źródła prądu. Schemat elektryczny układu przedstawia rys. 37.4.
Oporniki R

i R

stanowią dzielnik zmniejszający napięcie podawane do obwodu galwanometru.

Prąd I

który przepłynie przez galwanometr przy zamkniętych kluczach K

i K

jest równy

)

(

)

Ponieważ R

Ω, R

≤

= kilkadziesiąt omów, R

≥ 1 kΩ to

≅

Wychylenie galwanometru przy zamkniętych kluczach K

i K

zależy od oporności R oraz różnicy

napięć między punktami A i B, regulowanej przez dzielnik napięcia (składnik

). Po roz-

warciu klucza K

pod wpływem momentu kierującego (M

) cewka galwanometru rozpocznie ruch

w kierunku położenia równowagi, ponieważ znajduje się ona w polu magnetycznym, popłynie
przez nią prąd indukcyjny. Jest on zależny od oporu R

(wzór 37.9), który w ćwiczeniu jest równy

= R + R

≈ R

Prąd płynie w takim kierunku, że przeciwdziała ruchowi ramki, wywołując moment hamujący
(M

Zgodnie z (37.11) współczynnik tłumienia jest równy

)

J(R

(37.15)

Opornością R możemy więc regulować współczynnik tłumienia od bardzo dużej wartości, gdy R
jest małe (można dobrać tak R, aby

β = β

), zwiększając R współczynnik tłumienia maleje i jest

równy zeru, gdy R =

∞ czyli otworzymy klucz K

. Mamy wówczas do czynienia z drganiami nie-

tłumionymi (zaniedbując oczywiście inne momenty hamujące, jak np. opór powietrza). Zauważmy
jeszcze, że takie wielkości, jak n, S, B, J są stałe w naszym układzie. Badając drgania tłumione
cewki galwanometru wygodniej jest posługiwać się wychyleniem plamki świetlnej na skali, niż
kątem skręcenia

ϕ. W przypadku dużej odległości l lusterka galwanometru od skali odczytowej,

jako amplitudę drgań możemy przyjąć odcinek A

równy

= l

(

) – kolejne amplitudy (kąty) drgań cewki.

(37.16)

Rys. 37.3. Schemat elektryczny układu pomiarowego.

37.3. Przebieg pomiarów

1. Sprawdzić ustawienie położenia zerowego plamki galwanometru.

2. Ustawić na rezystorze dekadowym R maksymalną wartość rezystancji, tj. 100 k

Ω. Zamknąć

klucz K

, natomiast K

pozostawić otwarty. Ten ostatni służy do natychmiastowego zatrzyma-

nia ruchu plamki galwanometru w przypadku popłynięcia przez ramkę dużego prądu.

3. Za pomocą impulsowego zamykania klucza K

uzyskać wyraźne wychylenie plamki, np. 20-25

działek. Plamka galwanometru wykonuje wokół położenia zerowego ruch harmoniczny tłumio-
ny, o coraz mniejszej amplitudzie. Notować wartości kolejnych 4 amplitud przy wychyleniach
plamki w obie strony (łącznie z pierwszym).

4. Zmniejszać wartość rezystancji R kolejno dekadami najpierw co 20 k

Ω, potem co 1 kΩ, a na

końcu co 100

Ω, aż do wartości, przy której ruch plamki galwanometru stanie się ruchem ape-

riodycznym (np. 100; 80; 60; 40; 20; 10; 8; 6; 4; 3; 2; 1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; itd. k

Ω)

i powtórzyć czynności opisane w pkt.2. Należy zwrócić uwagę, że przy mniejszych wartościach
R (szczególnie poniżej 10 k

Ω) należy delikatniej przyciskać klucz K

(szybciej puszczać).

5. Na zakończenie postępować podobnie jak w pkt.2 – spowodować wychylenie plamki galwano-

metru z położenia równowagi i otworzyć klucz K

(R =

∞). Wyznaczyć wartość jak największej

liczby kolejnych amplitud (przynajmniej siedmiu).

37.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Dla każdej z nastawionych wartości R obliczyć z zależności (37.16) wartości

logarytmiczne-

go dekrementu tłumienia dla każdej pary wychyleń plamki odległych o okres T (rys. 37.2), a na-
stępnie ich wartość średnią

λ .

2. Obliczyć średni błąd kwadratowy dla wartości średniej

dla pomiaru z pkt.4 (R =

∞).

Oszacować błędy wartości

dla R = 10 k

Ω, 1 kΩ i 0,5 kΩ.

3. Wykreślić zależność znalezionego logarytmicznego dekrementu tłumienia λ od wielkości rezy-

stancji R, uwzględniając błąd

4. Wyciągnąć wnioski. Jak zmienia się błąd pomiaru ze zmniejszaniem wartość rezystancji R?

37.5. Pytania kontrolne

1. Podać zasadę działania galwanometru magnetoelektrycznego.
2. Omówić wzory na amplitudę i częstość drgań w ruchu harmonicznym tłumionym.
3. Co to jest logarytmiczny dekrement tłumienia i od czego zależy jego wartość?
4. Posługując się rys. 37.3 omówić wpływ rezystancji na prąd płynący przez galwanometr.

L i t e r a t u r a

[1] Frisz S., Timoriewa A.: Kurs fizyki, t.I. PWN, Warszawa 1964.
[2] Kittel C., Knight W.D., Ruderman M.A.: Mechanika PWN, Warszawa 1969.
[3] Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna, cz.I. Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa 1972.