WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA 

W  WARSZAWIE 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ELEKTROTECHNIKA 

 
 

MATERIAŁY  POMOCNICZE 

 

 DO ĆWICZEŃ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

WARSZAWA  2003 

 

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

JEDNOSTKI MIAR  UKŁADU  SI  DLA  WYBRANYCH  WIELKOŚCI  

ELEKTRYCZNYCH 

 
 

 

Jednostka miary 

 

Wielkość 

nazwa oznaczenie

 

Definicje lub relacje między 

jednostkami 

Zależność 

jednostki miary 

od jednostek 

podstawowych.

Długość metr m 

Metr jest długością równą 
1650763,73 długości fali w próżni 
promieniowania odpowiadającego 
przejściu pomiędzy poziomami 2p

10

 

a 5d

5

, atomu kryptonu 86. 

m 

Masa kilogram 

kg 

Kilogram jest masą 
międzynarodowego wzorca tej 
jednostki przechowywanego w 
Międzynarodowym Biurze Miar w 
Sevres. 

kg 

Czas sekunda 

s 

Sekunda jest !:31556925,9747 
częścią roku zwrotnikowego 1900 
stycznia 0 godz. czasu efemeryd. 

s 

Prąd amper 

A 

Amper jest natężeniem prądu 
elektrycznego nie zmieniającego 
się, który - płynąc w dwóch 
równoległych prostoliniowych, 
nieskończenie długich przewodach, 
o przekroju okrągłym znikomo 
małym, umieszczonych w próżni w 
odległości 1m jeden od drugiego – 
wywołałby między tymi przewodami 
siłę 2 10

-7

 N na każdy metr 

długości. 

A 

Prędkość 
liniowa 

metr na 

sekundę 

m/s 

1 m/s = 1m : 1s 

1 m s

-1

Prędkość 
kątowa 

radian na 

sekundę 

rad/s 

1 rad/s = 1 rad : 1s 

1 s

-1

 rad 

Siła 

niuton 

N 

1N = 1 kg 1 m/s

2

1 m kg s

-1

Praca, 
energia  

dżul 

J 

1 J = 1 N 1m 

1 m

2

 kg s

-2

Moc 

wat 

W 

1 W = 1J :1s 

1 m

2

 kg s

-3

Ładunek 
elektryczny 

kulomb 

C 

1 C = 1 A !s 

1 s A 

Napięcie  

wolt 

V 

1V = 1W : 1A 

1m

2

 kg s

-3

 A

-1

Pojemność 

farad 

F 

1F = 1C : 1V 

1m

-2

 kg

-1

s

4

 A

2

Rezystancja   

om 

Ω 

1Ω = 1V :1A 

1m

2

 kg s

-3

 A

-2

Strumień 
magnetyczny 

weber 

Wb 

1WB = 1V 1s 

1m

2

 kg s

-2

A

-1

Indukcja 
magnetyczna 

tesla 

T 

1T = 1Wb : 1m

2

1kg s

-2

 A

-1

Natężenie 
pola magn. 

amper na 

metr 

A/m 

1A/m = 1A:1m 

1m

-1

 A 

Indukcyjność 

henr 

H 

1H = 1Wb : 1A 

1m

2

 kg s

-2 

A

-2

Częstotliwość  

herc 

Hz 

1Hz = 1 : 1s 

1s

-1

 
 

 

2

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

 
 
 
 
 
 

PRZEDROSTKI  I  ODPOWIADAJĄCE  IM  MNOŻNIKI 

 

mnożnik przedrostek 

  znak 

mnożnik przedrostek  znak 

10

12

tera T 10

-1

decy d 

10

9

giga G 10

-2

centy c 

10

6

mega M  10

-3

mili m 

10

3

kilo K 10

-6

mikro 

μ 

10

2

hekto H  10

-9

nano n 

10

1

deka da 10

-12

piko p 

10

-15

femto f 

1 - - 

10

-18

atto a 

 
 
 
 
 
 
 

REZYSTYWNOŚC, KONDUKTYWNOŚĆ I WSPÓŁCZYNNIK TEMPERATUROWY 

 

Rezystywność  

Konduktywność Współczynnik 

temperaturowy

 

ρ

 

 

γ

 

 

20

α

 

 
 
 

Nazwa 

 przewodnika 

 

m

⋅

Ω

 

 

m

mm

2

⋅

Ω

 

 

2

mm

m

S

⋅

 

 

20

α

 

Srebro  

8

10

62

,

1

−

⋅

 

0162

,

0

 

8

,

61

 

004

,

0

 

Aluminium  

8

10

87

,

2

−

⋅

0287

,

0

 

8

,

34

 

004

,

0

 

Miedź  

8

10

75

,

1

−

⋅

0175

,

0

 

0

,

57

 

00393

,

0

 

Żelazo  

8

10

6

,

9

−

⋅

 

096

,

0

 

4

,

10

 

0059

,

0

 

Konstantan 

55%Cu 45%Ni 

 

7

10

8

,

4

−

⋅

 

 

48

,

0

 

 

08

,

2

 

 

5

10

2

−

⋅

 

Ferronikiel 

75%Fe, 25%Ni 

 

7

10

3

,

8

−

⋅

 

83

,

0

 

21

,

1

 

001

,

0

 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

3

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

REZYSTYWNOŚĆ, PRZENIKALNOŚĆ I WYTRZYMAŁOŚĆ ELEKTRYCZNA 

DIELEKTRYKÓW 

 

Nazwa dielektryka 

 

Rezystywność  

ρ

   

Ωm  

Przenikalność 

elektryczna 

względna 

r

ε

 

Wytrzymałość 

elektryczna  

E

max 

kV/cm 

Bursztyn  

20

18

10

10

÷

 

2,8 200 

Ebonit 

12

10

10

10

÷

 

2,5 ÷ 5,0 

200 ÷ 250 

Olej 

15

14

10

10

÷

 

2,1 ÷ 2,3 

200 ÷ 250 

Papier nasycony 

olejem 

15

10

 

3,5 ÷ 4,5 

700 ÷ 800 

Porcelana 

12

11

10

10

÷

 

5,0 ÷ 6,5 

200 ÷ 300 

powietrze - 1,000594 30 

 

Przenikalność elektryczna próżni     

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

=

−

m

F

10

854

,

8

12

o

ε

 

 

Przenikalność magnetyczna próżni  

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⋅

⋅

=

−

m

H

10

4

7

o

π

μ

 

 
 

ZNAKI  WIELOŚCI  FIZYCZNYCH

 

 

N a z w a 

Z n a k  

Czas 

t 

Częstotliwość 

f 

Elastancja 

S 

Energia 

W 

Gęstość prądu 

J,j 

Indukcja elektryczna 

D 

Indukcja magnetyczna 

B 

Indukcyjność własna 

L 

Indukcyjność wzajemna 

M 

Liczba zwojów 

z 

Ładunek elektryczny 

Q,q 

Moc  

P 

Natężenie pola elektrycznego 

E 

Natężenie pola magnetycznego 

H 

Natężenie prądu 

I,i 

Napięcie  

U,u 

Rezystancja 

R 

Konduktancja 

G 

Reluktancja 

Rμ 

Rezystywność – opór właściwy 

ρ 

 

4

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Konduktywność – przewodność właściwa 

γ 

Impedancja 

Z 

Reaktancja 

X 

Admitancja 

Y 

Susceptancja 

B 

Pojemność 

C 

Pole przekroju 

s 

Potencjał 

V 

Permeancja 

Λ 

Pulsacja 

ω 

Prędkość 

v 

Przenikalność elektryczna 

ε 

Przenikalność magnetyczna 

μ 

Przepływ  

θ 

Siła  

F 

Strumień elektryczny 

Ψ 

Strumień magnetyczny 

Φ 

Sprawność  

η 

Temperatura  

T,

ϑ

 

 

 
 
 
 

PRAWA  I  ZALEŻNOŚCI  PODSTAWOWE 

 
Siła F działająca na ładunek q 

E

q

F

⋅

=

 

 

Prawo Coulomba 

2

2

1

r

4

q

q

F

⋅

ε

⋅

π

⋅

=

 

 

gdzie  r – odległość między ładunkami, ε – przenikalność środowiska 
Natężenie pola elektrycznego 

q

F

E

=

. 

Praca w polu elektrycznym 

(

)

.

V

V

q

dl

E

q

A

B

A

B

A

−

−

=

⋅

=

∫

 

 

Potencjał pola elektrycznego w punkcie A 

∫

∫

∞

∞

⋅

−

=

⋅

=

A

A

A

.

dl

E

dl

E

V

 

 

5

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zależność między natężeniem a potencjałem pola elektrycznego 

.

dl

dV

E

−

=

 

Twierdzenie Gaussa 

q

ds

D

=

⋅

=

Ψ

∫

 

gdzie  D =(ε

o

E+P)– indukcja pola elektrycznego. 

 
Pojemność elektryczna 

U

Q

C

=

, 

 

Elastancja  

C

1

S

=

. 

 

Szeregowe połączenie kondensatorów 

n

2

1

z

C

1

C

1

C

1

C

1

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

;   

n

2

1

z

S

S

S

S

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

. 

 
Równoległe połączenie kondensatorów 

n

2

1

z

C

C

C

C

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

    

n

2

1

z

S

1

S

1

S

1

S

1

+

⋅⋅

⋅

+

+

=

 

 
Energia pola elektrycznego 

2

e

CU

2

1

W

=

;   

 

Natężenie prądu 

dt

dq

i

=

    dla prądu stałego  

t

Q

I

=

 

 

Prawo Ohma 

,

U

G

R

U

I

⋅

=

=

 

 

Rezystancja  

s

l

R

⋅

ρ

=

 

 

ρ – rezystywność lub oporność właściwa, l – długość przewodu, s – przekrój 
poprzeczny przewodu 
 
 
 

 

6

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Konduktancja 

l

s

l

s

1

R

1

G

γ

=

ρ

=

=

, 

γ – konduktywność lub przewodność właściwa. 
 
 
Zależność rezystancji od temperatury 
 

(

)

(

)

[

]

,

20

t

20

t

1

R

R

2

o

20

o

20

20

t

−

β

+

−

α

+

=

 

 

α

20

,β

20

 – współczynniki temperaturowe rezystancji odniesione do temperatury 20

o

C. 

 
Prawo Joule’a 

.

GU

I

R

I

U

P

2

2

=

⋅

=

⋅

=

 

 

 
Ilość ciepła otrzymana z zamiany energii elektrycznej na energię cieplną 
 

.t

I

R

24

,

0

t

I

R

239

,

0

W

2

2

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

 

 

Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie 
prądów wypływających z węzła 

∑

=

=

±

g

1

k

k

,

0

I

 

 

gdzie znak + - przy prądzie wpływającym  do węzła, znak – przy prądzie 
wypływającym z węzła 
 
 
Drugie prawo Kirchhoffa: w dowolnym obwodzie zamkniętym suma algebraiczna 
spadków napięć jest równa sumie napięć źródłowych  

∑

=

=

±

n

1

k

k

.

0

U

 

 

Twierdzenie Thevenina: natężenie prądu w odbiorniku R wynosi 

,

R

R

U

I

w

o

+

=

 

gdzie U

o

 – napięcie zastępczego źródła napięcia równe napięciu stanu jałowego na 

zaciskach a - b, R

w

 – rezystancja wewnętrzna zastępczego źródła mierzona na 

zaciskach a – b. 
 
Twierdzenie Nortona: napięcie na zaciskach odbiornika G wynosi 

G

G

I

U

w

źr

+

=

 

gdzie: I

źr

 = U

o

/R

w

 = I

z

, prąd źródłowy równy prądowi zwarcia  na zaciskach a – b,  G

w

 

=1/R

w

 konduktancja wewnętrzna obwodu mierzona na zaciskach a – b. 

 

7

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

 
 
Prawo obwodu magnetycznego 

μ

Θ

=

Φ

R

 

 

Przepływ prądu równy sile magnetomotorycznej 
 

z

I

⋅

=

Θ

, 

z – liczba zwojów 
 
Reluktancja - opór magnetyczny  

s

l

R

⋅

μ

=

μ

 

i – długość drogi, s – przekrój, μ – przenikalność magnetyczna drogi strumienia 
magnetycznego 
 
Permeancja – przewodność magnetyczna  

μ

=

Λ

R

1

 

 

Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma  strumieni magnetycznych w węźle jest równa zeru

∑

=

=

Φ

±

n

1

k

k

.

0

 

 

Drugie prawo Kirchhoffa: w zamkniętym obwodzie suma spadków napięć 
magnetycznych równa się sumie napięć źródłowych 

∑

∑

=

=

μ

=

Φ

n

1

k

n

1

k

k

k

k

k

.

l

H

R

 

 
Siła przyciągania zwory przez elektromagnes 

,

2

s

B

F

o

2

μ

=

 

gdzie B – indukcja magnetyczna, s – przekrój magnesu, μ

o

 – przenikalność 

magnetyczna próżni 
 
Rezystancja i konduktancja statyczna  

( )

,

I

f

I

U

R

s

=

=

      

( )

I

F

U

I

G

s

=

=

 

 

Rezystancja i konduktancja dynamiczna 

,

dI

dU

I

U

R

lim

0

I

d

=

Δ

Δ

=

→

Δ

       

dU

dI

U

I

G

lim

0

U

d

=

Δ

Δ

=

→

Δ

 

 

 

 

8

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Rezonans w obwodzie szeregowym RLC  
Pulsacja i częstotliwość rezonansowa 

LC

1

o

=

ω

;    

LC

2

1

f

o

π

=

 

 

Reaktancja wypadkowa w stanie rezonansu 

0

C

i

L

X

X

X

o

o

C

L

=

ω

−

ω

=

−

=

 

 

Natężenie prądu przy ω = ω

o

  

R

U

C

i

L

j

R

U

I

o

o

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω

−

ω

+

=

 

osiąga wartość maksymalną. 
 
Napięcie maksymalne na kondensatorze U

C 

przy ω

1

  

  

2

d

2

2

o

1

−

ω

=

ω

;  

 

Napięcie maksymalne na cewce U

L

 przy ω

2

 

2

o

2

d

2

2

−

ω

=

ω

 

 

Tłumienie obwodu 

ρ

=

=

R

C

L

R

d

 

Impedancja charakterystyczna 

C

1

L

C

L

o

o

ω

=

ω

=

=

ρ

 

 

 
Dobroć obwodu. 

Q

1 =

ρ

 

 
Rezonans w obwodzie równoległym RLC 
Susceptancja wypadkowa w obwodzie w stanie rezonansu  

.

0

L

1

C

B

B

B

o

O

L

C

=

ω

−

ω

=

−

=

 

 

9

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

 
Prąd w obwodzie równoległym RLC w przypadku rezonansu 

G

U

L

1

C

j

G

U

Y

U

I

o

o

⋅

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ω

−

ω

+

=

⋅

=

 

osiąga wartość minimalną. 
 
Impedancja i admitancja zespolona 
 

;

I

U

Z

=

   

;

U

I

Y

=

          

;

1

Y

Z

=

   

;

Z

1

Y

=

 

 

;

e

Z

Z

j

ϕ

⋅

=

      

;

e

Y

e

Z

1

Y

j

j

ϕ

−

ϕ

−

⋅

=

=

       

i

u

ψ

−

ψ

=

ϕ

 

 

;

sin

Y

cos

Y

e

Y

jB

G

Y

j

ϕ

−

ϕ

=

⋅

=

+

=

ϕ

−

 

 
 

;

cos

Z

1

cos

Y

G

ϕ

=

ϕ

=

    

;

sin

Z

1

sin

Y

B

ϕ

−

=

ϕ

−

=

 

 
 

( )

2

2

2

2

X

R

X

j

X

R

R

jX

R

1

Z

1

Y

+

−

+

+

=

+

=

=

; 

 

;

Z

R

G

2

=

  

.

Z

X

B

2

−

=

 

Moc zespolona 

;

jXI

RI

I

Z

I

I

Z

I

U

S

2

2

2

+

=

=

=

=

∗

∗

   

 

;

RI

P

2

=

  

2

XI

Q

=

; 

 

;

jBU

GU

U

Y

U

U

Y

)

U

Y

(

U

I

U

S

2

2

2

−

=

=

=

=

=

∗

∗

∗

∗

∗

 

 

;

GU

P

2

=

      

;

BU

Q

2

−

=

 

 
Moduł mocy zespolonej czyli moc pozorna 
 

2

2

YU

ZI

S

S

=

=

=

 

 
Współczynnik mocy 

P

Q

arctg

=

ϕ

;  

G

B

arctg

R

X

arctg

−

=

=

ϕ

. 

 

 

10

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

 
 
 

LICZBY  ZESPOLONE  W  ELEKTROTECHNICE 

 
 

 

Wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora wodzącego o module 
równym amplitudzie tej wielkości, obracającego się na płaszczyźnie liczbowej ze 
stałą prędkością kątową ω. 
 
Wektor r na płaszczyźnie liczbowej 
 

Im 

Re – oś rzeczywista, 
 

A 

Im – oś urojona 

jb

 
j.- jednostka urojona 

r 

 
Postacie liczby zespolonej 

Re 

α

 

0

•  postać algebraiczna  

a 

 

jb

a

z

=

=

 

 

•  postać trygonometryczna 

 

(

)

α

α

sin

cos

j

r

z

+

=

 

 

•  postać wykładnicza 

 

α

α

α

∠

=

=

=

r

j

r

re

z

j

exp

 

 
gdzie 

2

2

b

a

z

r

+

=

=

 moduł liczby zespolonej z 

 

(

a

b

arctg

/

=

)

α

  argument liczby zespolonej z 

 
exp jest stosowanym w matematyce zapisem funkcji wykładniczej, 
 

α

∠

r

  oznacza wektor o module r, który tworzy z dodatnią półosią Re kąt α. 

 
Jeżeli 

 to 

 jest liczba zespoloną sprzężoną z liczbą z 

jb

a

z

+

=

jb

a

z

−

=

∗

 

.

2

2

r

b

a

z

z

=

+

=

=

∗

 

 
Jeżeli 

1

=

r

to liczba 

 jest liczbą zespoloną o module jednostkowym, zatem 

α

j

e

 

 

11

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

α

α

α

sin

cos

j

e

j

+

=

  

.

1

sin

cos

2

2

=

+

=

α

α

α

j

e

 

 
Działania na liczbach zespolonych   
 

 

dodawanie i odejmowanie 

 

(

) (

) (

) (

)

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

j

a

a

jb

a

jb

a

z

z

+

+

+

=

+

+

+

=

+

 

 

(

) (

) (

) (

)

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

b

b

j

a

a

jb

a

jb

a

z

z

−

+

−

=

+

−

+

=

−

 

 

 

mnożenie 

 

(

)(

) (

) (

)

bc

ad

j

bd

ac

jd

c

jb

a

z

z

+

+

−

=

+

+

=

2

1

 

 

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

α

α

α

α

+

⋅

=

=

⋅

j

j

j

e

r

r

e

r

e

r

z

z

 

 

(

)

β

α

β

+

=

⋅

j

j

re

e

z

 

 

2

r

re

re

z

z

j

j

=

=

⋅

−

∗

α

α

  

∗

⋅

=

z

z

r

, 

2

⋅

+

=

z

z

a

,  

j

z

z

b

2

∗

−

=

 

 

 

dzielenie 

 

(

)(

) (

) (

)

2

2

2

2

2

1

d

c

ad

bc

j

bd

ac

d

c

jd

c

jb

a

jd

c

jb

a

z

z

+

−

+

+

=

+

−

+

=

+

+

=

 

 

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

exp

exp

exp

α

α

α

α

α

α

−

=

−

=

=

j

e

r

r

j

r

r

j

r

j

r

z

z

 

 

(

)

β

α

β

α

β

−

∠

=

=

−

r

re

e

z

j

j

       

α

j

e

r

z

−

=

1

1

 

 

( )

α

α

jn

n

n

j

n

e

r

re

z

=

=

 

 

 

potęgi liczby urojonej  

1

−

=

j

  przy   

⋅⋅

⋅

±

±

=

2

,

1

,

o

k

 

j

j

j

j

j

j

j

j

k

k

k

1

1

3

3

4

2

2

4

1

4

=

−

=

=

−

=

=

=

+

+

+

 

2

α

α

j

j

e

r

re

z

=

=

,   

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

π

α

2

j

e

r

z

 

 

 

12

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Działania na funkcjach zespolonych  
 

 

mnożenie funkcji 

( )

(

)

i

t

j

m

m

e

I

t

I

ψ

ω

+

=

przez liczbę zespoloną 

ϕ

j

Ze

Z

=

 

 

( )

( )

(

)

(

)

ϕ

ψ

ω

ψ

ω

ϕ

+

+

+

=

=

=

i

i

t

j

m

t

j

m

j

m

m

e

ZI

e

I

Ze

t

I

Z

t

U

 

 

 

dzielenie funkcji 

( )

t

U

m

 przez liczbę zespoloną  

ϕ

j

Ze

Z

=

 

 

( )

(

)

(

)

ϕ

ψ

ω

ϕ

ψ

ω

−

+

+

=

=

u

u

t

j

m

j

t

j

m

e

Z

U

e

Z

e

U

t

I

 

 

 

iloczyn funkcji zespolonych o jednakowych pulsacjach 

 

( ) ( )

∗

−

∗

∗

=

=

m

m

t

j

t

j

m

m

m

m

I

U

e

e

I

U

t

I

t

U

ω

ω

  

 

 

iloraz funkcji zespolonych  

 

( )

( )

I

U

I

U

e

I

e

U

t

I

t

U

m

m

t

j

m

t

j

m

m

m

=

=

=

ω

ω

 

 

 

pochodna funkcji zespolonej względem zmiennej t 

 

( )

(

)

( )

t

I

j

e

I

j

e

I

dt

d

t

I

dt

d

m

t

j

m

t

j

m

m

ω

ω

ω

ω

=

=

=

 

 

 

całka funkcji zespolonej względem zmiennej t 

 

( )

( )

.

1

1

t

I

j

e

I

j

dt

e

I

dt

t

I

m

t

j

m

t

j

m

m

ω

ω

ω

ω

=

=

=

∫

∫

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

13

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zadanie 1  
Na wykonanie cewki zużyto 100 [m] przewodu miedzianego. Na jakie napięcie 

można włączyć cewkę, jeżeli dopuszczalna gęstość prądu 

2

3

mm

A

I

=

?. 

Rezystywność miedzi 

 w stanie nagrzania. 

m

Ω

⋅

=

−8

10

1

,

2

ρ

 
Rozwiązanie  

Rezystancja :

;

s

l

R

⋅

ρ

=

  

R

U

I

=

  gęstość prądu 

s

I

j

=

 zatem: 

 

V

3

,

6

100

021

,

0

3

l

j

U

=

⋅

⋅

=

⋅

ρ

⋅

=

Odp.: U=6,3V 
 
 
Zadanie 2 
Wyznaczyć rezystywność konstantanu w 

m

Ω

 mając daną rezystywność 

m

mm

2

5

,

0

Ω

=

ρ

. 

Rozwiązanie: 

m

10

5

m

10

50

,

0

m

)

m

10

(

m

mm

7

6

2

3

2

Ω

⋅

=

Ω

⋅

=

⋅

Ω

=

⋅

Ω

ρ

−

−

−

 

Odp.: 

ρ

 

m

10

5

7

Ω

⋅

=

−

 
 
Zadanie 3  
Rezystancja uzwojenia miedzianego zmierzona w temperaturze  18

o

C wynosiła 4,5Ω 

a w stanie nagrzanym 5,3 Ω. Do jakiej temperatury nagrzało się uzwojenie ? 
 
Rozwiązanie: 

,

1

1

R

R

o

1

o

1

2

2

α

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ϑ

+

α

=

ϑ

  współczynnik temperaturowy miedzi 

C

1

5

,

234

1

o

o

=

α

 , 

zatem 

(

)

C

9

,

62

5

,

234

18

5

,

234

5

,

4

3

,

5

o

2

=

−

+

=

ϑ

. 

Odp. Uzwojenie nagrzało się do temperatury 62,9

o

C. 

 
 
Zadanie 4  
Rezystancja uzwojenia miedzianego zmierzona w temperaturze  20 

o

C wynosiła 1,32 

Ω. Jaka będzie rezystancja tego uzwojenia po nagrzaniu go do temperatury 90 

o

C ? 

Rozwiązanie: 
 

Ω

=

+

+

=

ϑ

+

ϑ

+

=

68

,

1

20

5

,

234

90

5

,

234

32

,

1

5

,

234

5

,

234

R

R

1

2

1

2

. 

 
Odp. R

2

 = 1,68 Ω. 

 

 

14

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zadanie 5  
W jakim czasie woda o temperaturze 15 

o

C nagrzeje się do temperatury 85

 o

C w 

bojlerze o pojemności 80 l, jeżeli moc grzejnika wynosi 1,5 kW, a sprawność bojlera 
0,89. Jaki jest koszt zagrzania wody przy taryfie  0,40 zł/kWh ? 
 
Rozwiązanie: 

Do ogrzania wody potrzeba ciepła 

(

)

η

ϑ

−

ϑ

⋅

=

1

2

c

m

Q

, gdzie  c

C

kg

/

kcal

1

o

≈

 

zatem        

(

)

kcal

6292

89

,

0

15

85

1

80

Q

=

−

⋅

⋅

=

 

Równoważnik cieplny energii elektrycznej wynosi 0,2389 cal/J 3,6 10

6

 J/kWh = 860 

kcal/kWh 
Cena jednostkowa energii elektrycznej  0,40 zł/kWh. 

t

P

860

Q

⋅

⋅

=

   czas grzania wody 

88

,

4

5

,

1

860

6292

P

860

Q

t

=

⋅

=

⋅

=

 h 

zużyta energia  

32

,

7

88

,

4

5

,

1

t

P

A

=

⋅

=

⋅

=

 kWh, należność za energię 3,0 zł. 

 
 
Zadanie 6   
Silnik o mocy P

n

 = 3 kW na napięcie  U = 400 V o sprawności η = 0,85. Obliczyć prąd 

I pobierany przez silnik z sieci przy obciążeniu znamionowym oraz należność za 
energię elektryczną w ciągu miesiąca przy 185 godzinach pracy i cenie jednostkowej  
0,40 zł/kWh. 
 
Rozwiązanie  

Moc pobierana z sieci       

53

,

3

85

,

0

3

P

P

n

S

=

=

η

=

 kW, 

prąd pobierany z sieci       

82

,

8

400

10

53

,

3

U

P

I

3

s

=

⋅

=

=

 A, 

energia elektryczna zużyta w ciągu miesiąca  

653

185

53

,

3

t

P

A

=

⋅

=

⋅

=

 kWh, 

należność za energię elektryczną  261,2 zł. 
Odp. I = 8,82 A   należność za energię 261,2 zł. 
 
 
 
Zadanie 7  

W szereg z odbiornikiem o nieznanej rezystancji włączono do 
sieci opornik o rezystancji 

. Napięcie sieci 

Ω

40

V

U

220

=

 i 

prąd w obwodzie 

A

I

2

=

. Jaka jest rezystancja odbiornika 

, 

moc 

o

R

P  pobierana przez odbiornik i moc tracona w oporniku? 

 
Rozwiązanie:  

  

,  

R

I

U

R

I

o

⋅

−

=

⋅

Odb. R

o

R=40

Ω

I=2A

U=220V

 

 

15

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

rezystancja odbiornika

,

80

2

40

2

220

I

R

I

U

R

o

Ω

=

⋅

−

=

⋅

−

=

 

moc pobierana  przez odbiornik

W

280

2

70

I

R

P

2

2

o

=

⋅

=

⋅

=

  

V

140

70

2

R

I

U

o

odb

=

⋅

=

⋅

=

 

moc tracona w oporniku  

.

W

160

40

2

R

I

P

2

2

=

⋅

=

=

 

Odp.: R

o

=70

Ω, P=280W, P

d

=160W 

 
 
 
Zadanie 8 
Do źródła o parametrach  E , 

 

przyłączono raz opornik o rezystancji 

w

R

R , 

drugi raz opornik 
o rezystancji  R

2 . Stwierdzono w obu 

przypadkach ten sam pobór mocy . Jaki 

jest stosunek 

=

R

R

w

? 

R

E, Rw

P

2R

E, Rw

P

 

Rozwiązanie: 

moc pobierana przez odbiornik 

2
2

2

1

RI

2

RI

P

=

=

,  

w

2

w

1

R

R

2

E

I

,

R

R

E

I

+

=

+

=

 po 

podstawieniu 

. 

2

2
w

R

2

R

=

2

R

R

w

=

Odp.: 

 

 
 
Zadanie 9 

Napięcie baterii jest stałe i wynosi 24 V,
a oporność wewnętrzna jest stała i 
wynosi 0,25Ω. Obliczyć napięcie na 
zaciskach baterii, gdy: jest ona 
ładowana prądem 10 A, oraz gdy jest 
wyładowywana prądem 20 A. 
Rozwiązanie  

 

V

19

25

,

0

20

24

IR

E

U

V

5

,

26

25

,

0

10

24

IR

E

U

w

wy

w

ad

=

⋅

−

=

−

=

=

⋅

+

=

+

=

Odp.: U

ład

=26,5V, U

wył

=19V 

R

w

=0,25

Ω

E=24V

I=10A

U

R

w

E=24V

I=20A

U

 

 
 

 

16

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zadanie 10 
Odbiornik załączony do źródła napięcia E = 220 V,  
R

w

 = 0,3Ω pobiera moc P = 9,0 kW. Obliczyć 

napięcie na odbiorniku. 
 
 

Odb. P

E, Rw

U

Rozwiązanie: 
 

I

U

P

⋅

=

   

  po podstawieniu otrzymujemy równanie  

   

w

R

I

E

U

⋅

−

=

,

0

PR

EU

U

w

2

=

+

−

2

9

,

193

220

2

PR

4

E

E

U

,

PR

4

E

w

2

2

,

1

w

2

m

m

=

−

=

−

=

Δ

    

Odp.

 

V

207

U

=

 
Zadanie 11 

Narysować wykres potencjałów 
dla obwodu przedstawionego na 
rysunku. 
 

R

6

=10[

Ω]

a

R

5

=10

Ω

R

4

=5

Ω

R

3

=15

Ω

R

2

=20

Ω

R

1

=10

Ω

E

3

=30V

E

1

=60V

E

2

 40V

0

e

b

c

d

z

 

Rozwiązanie  
 
Przyjmujemy potencjał jednego 
punktu obwodu jako potencja 
odniesienia, któremu 
przyporządkowuje się zwykle 
wartość V = 0 i względem niego 
oblicza się potencjały w 
dowolnych punktach obwodu. 
 

 

V

0

a 

d 

b

e

E

2

c

R

R

6 

R

R

2

R

1

R

R

E

1

3

4

5 

 

17

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zadanie 12 

W obwodzie pokazanym na rysunku 
obliczyć napięcie 

U

, jeżeli moc 

pobierana przez opornik 

 wynosi 

. 

o

R

kW

P

2

,

0

=

Rozwiązanie: 
 
Prąd płynący przez oporniki R

o

 i R

2

  

o

1

R

P

I

=

, 

Spadek napięcia na opornikach R

o

 i R

2

  

 

)

R

R

(

I

U

1

0

1

1

+

=

Prąd płynący przez opornikR

3

  

3

1

2

R

U

I

=

 

Spadek napięcia na oporniku R

1

  

 

1

2

1

2

R

)

I

I

(

U

⋅

+

=

Napiecie U na zaciskach obwodu 

 

V

260

U

U

U

2

1

=

+

=

Odp.: U=260V 

R

2

=10

Ω

R

1

=10

Ω

R

o

=50

Ω

R

3

=10

Ω

P=100W

U

 

 
 
 
Zadanie 13 
Obliczyć rezystancje zastępcze układów oporników pokazanych na rysunku o 
następujących danych liczbowych: 

Ω

= 100

1

R

, 

Ω

= 200

2

R

, 

Ω

= 300

3

R

, 

. 

Ω

= 400

4

R

 

R

1

R

2

R

3

R

4

a)

R

1

R

2

R

3

R

4

b)

R

1

R

2

R

3

R

4

c)

 
Rozwiązanie 

 

Ω

=

+

+

+

=

5

,

54

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

4

1

3

3

2

2

1

3

2

1

a

   

 

  

Ω

=

+

=

+

+

=

3

,

191

R

R

R

R

R

,

R

R

R

R

R

R

4

1

b

4

1

b

b

3

2

1

2

1

1

b

 

 

Ω

=

+

+

+

+

+

=

210

R

R

R

R

)

R

R

)(

R

R

(

R

4

3

2

!

4

3

2

1

c

 

 

 

18

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Odp.: R

a

=54,5

Ω, R

b

=191,3

Ω, R

c

=210

Ω 

 
 
 
Zadanie 14 
Jaki opornik należy połączyć równolegle z opornikiem o rezystancji R

1

 = 30Ω , aby 

otrzymać rezystancje zastępczą R

z

 = 21Ω ? 

 
Rozwiązanie    

 

x

1

x

1

z

R

R

R

R

R

+

⋅

=

; 

⇒

  

Ω

=

−

⋅

=

−

⋅

=

70

21

30

30

21

R

R

R

R

R

z

1

1

z

. 

Odp.: R=70

Ω 

 
 
 
Zadanie 15 
W obwodzie pokazanym na 
rysunku podano tylko 
oporności odbiorników z 
pominięciem oporności 
przewodów łączących. 
Obliczyć prądy pobierane 
przez poszczególne 
oporności oraz prądy w 
przewodach 

B

A

− , 

, 

D

C

−

E

D

− , 

F

E

−  i 

. 

H

G

−

 

 

R

4

=40

Ω

R

3

=60

Ω

R

2

=15

Ω

R

1

=10

Ω

E=120V

H

A

B

G

D

F

C

E

 

 

Rozwiązanie  

,

24

R

R

R

R

R

,

6

R

R

R

R

R

4

3

4

3

4

,

3

2

1

2

1

2

,

1

Ω

=

+

⋅

=

Ω

=

+

⋅

=

 

,

A

4

R

R

E

I

4

,

3

2

,

1

=

+

=

 

 

V

24

6

4

R

I

U

U

2

,

1

E

B

C

A

=

⋅

=

=

⋅

=

=

−

−

 

A

4

,

2

10

24

R

U

I

1

C

A

1

=

=

=

−

 

,

A

6

,

1

15

24

R

U

I

2

C

B

2

=

=

=

−

 

 

A 

B 

E

R

1

R

2 

R

3 

R

4

I

1 

I

2 

I

3

I

4

C

D 

E 

F 

G

H

I

 

19

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

,

V

96

24

4

R

I

U

U

4

,

3

H

F

G

D

=

⋅

=

⋅

=

=

−

−

 

,

A

6

,

1

60

96

R

U

I

3

G

D

3

=

=

=

−

  

,

A

4

,

2

40

96

R

U

I

4

H

F

4

=

=

=

−

 

,

A

4

,

2

I

I

D

C

1

=

=

−

   

   

,

A

6

,

1

I

I

B

A

2

=

=

−

,

A

8

,

0

I

I

I

3

1

E

D

=

−

=

−

  

 

.

A

4

,

2

I

I

I

F

E

H

G

4

=

=

=

−

−

 
Odp.: I

1

=I

CD

=2,4A,  I

2

=I

AB

=1,6A, I

3

=1,6A,          I

4

=2,4=I

GH

=I

EF

 

 

 

 
 
 
Zadanie 16   
Stosując metodę prądów oczkowych  należy obliczyć prądy w obwodzie pokazanym 
na rysunku. 
 
Rozwiązanie:  
Obwód składa się z trzech gałęzi 
i dwóch węzłów , zatem liczba 
równań wynosi  3 – 2 + 1 = 2, co 
jest zgodne z liczbą oczek 
niezależnych. Zadanie 
sprowadza się do rozwiązania 
dwóch równań napisanych 
zgodnie z drugim prawem 
Kirchhoffa  
 

 

E

 

1

=

 

10

 

V

 

R

 

2

=3

 

Ω

 

R

 

3

=2

 

Ω

 

R

 

1

=4

 

Ω

 

E

 

2

 

=

 

12

 

V

 

 

 
 

1

12

11

E

I

R

I

R

II

I

=

⋅

−

⋅

 

2

II

22

I

12

E

I

R

I

R

−

=

⋅

+

⋅

−

 

2

R

R

R

,

5

2

3

R

R

R

,

6

2

4

R

R

R

3

21

12

3

2

22

3

1

11

=

−

=

=

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

 

12

I

5

I

2

10

I

2

I

6

II

I

II

I

−

=

+

−

=

−

 

prądy oczkowe: 

]

A

[

2

I

]

A

[

1

I

II

I

−

=

=

 

prądy gałęziowe: 

]

A

[

3

)

2

(

1

I

I

I

],

A

[

2

I

I

],

A

[

1

I

I

II

I

3

II

2

I

1

=

−

−

=

−

=

−

=

=

=

=

 

 
 

 

20

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zadanie 17 
Wyznaczyć prądy w 
obwodzie pokazanym 
na rysunku, stosując 
metodę prądów 
oczkowych 
 
Rozwiązanie  
 
 
 

 

4Ω

4Ω

8V 

8Ω

6V

4Ω

3Ω 

8Ω

2A

Przekształcamy obwód 
korzystając z zamiany 
źródła prądu na źródło 
napięcia. Zaznaczamy 
prądy oczkowe  
 
 
 
 
 
 

 

R

1

= 4Ω

R =4Ω 

2

 
Obliczamy rezystancje własne i wzajemne oczek: 
 

8

4

4

R

R

R

3

1

11

=

+

=

+

=

 

0

R

R

21

12

=

=

 

15

8

3

4

R

R

R

R

5

4

2

22

=

+

+

=

+

+

=

 

4

R

R

R

3

31

13

−

=

−

=

=

 

15

8

3

4

R

R

R

R

6

4

3

33

+

+

+

=

+

+

=

 

3

R

R

R

4

32

23

−

=

−

=

=

 

 
Obliczamy prądy oczkowe 

6

I

4

I

8

III

I

=

⋅

−

⋅

 

175

,

1

I

I

=

 

24

I

3

I

15

III

II

−

=

⋅

−

⋅

 

431

,

1

I

II

−

=

 

16

24

I

15

I

4

III

I

−

=

⋅

+

⋅

−

 

846

,

0

I

III

=

 

 
Obliczamy prądy gałęziowe: 
 

(

)

].

A

[

277

,

2

431

,

1

846

,

0

I

I

I

],

A

[

329

,

0

846

,

0

175

,

1

I

I

I

],

A

[

846

,

0

I

I

],

A

[

431

,

1

I

I

],

A

[

175

,

1

I

I

II

III

5

III

I

4

III

3

II

2

I

1

=

−

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

=

−

=

=

=

=

 

 
 

R

5

=8Ω

E

2

=8V 

R

3

=4Ω

R

6

=8Ω

R

4

=3Ω 

I

I

I

II

 I

III

 

21

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zadanie 18 
Stosując metodę prądów oczkowych znaleźć prąd w gałęzi przekątnej mostka.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rozwiązanie 
Wybieramy oczka niezależne i oznaczamy prądy oczkowe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rezystancje własne i wzajemne oczek 

6

3

2

33

2

31

13

3

32

23

5

4

3

22

5

21

12

5

2

1

11

R

R

R

R

,

R

R

R

,

R

R

R

,

R

R

R

R

,

R

R

R

,

R

R

R

R

+

+

=

−

=

=

−

=

=

+

+

=

−

=

=

+

+

=

 

 
Równania  

E

I

R

I

R

I

R

0

I

R

I

R

I

R

0

I

R

I

R

I

R

III

33

II

32

I

31

III

23

II

22

I

21

III

13

II

12

I

11

−

=

+

−

−

=

−

+

−

=

−

−

+

 

 
W wyniku rozwiązania układu równań otrzymujemy: 
 

R

2

R

1

R

4 

R

3

E 

R

6 

R

5 

R

2

R

5 

R

2

R

1

R

4 

R

3

E 

R

6 

R

5 

I

III

R

2

R

5 

I

I

I

II

 

22

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

,

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

C

4

3

2

1

6

4

1

3

2

3

2

4

1

4

3

2

1

6

3

2

4

1

5

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

 

(

)

[

]

5

4

3

2

5

3

I

R

R

R

R

R

R

C

E

I

+

+

+

−

=

 

(

)

[

]

5

2

1

3

5

2

II

R

R

R

R

R

R

C

E

I

+

+

+

−

=

. 

Prąd w gałęzi przekątnej mostka  

(

3

1

4

2

I

II

5

R

R

R

R

C

E

I

I

I

−

=

−

=

)

. Z wyrażenia wynika, że prąd w gałęzi przekątnej 

mostka jest równy zeru, gdy spełniony jest warunek 

4

2

3

1

R

R

R

R

=

 jest to warunek 

równowagi mostka!  
 
 
 
Zadanie 19   
Stosując metodę superpozycji  obliczyć prądy w obwodzie pokazanym na rysunku. 

 

E

 

1

=

 

10

 

V

 

R

 

2

 

=3

 

Ω

 

R

 

3

 

=2

 

Ω

 

R

 

1

=4

 

Ω

 

E

 

2

=

 

12

 

V

 

 
Obwód składa się z elementów liniowych, 
zatem prąd w dowolnej gałęzi jest sumą 
prądów przepływających przez gałąź pod 
wpływem działania kolejno źródeł 
napięcia. 
 
 
Rozwiązanie  
obwód zasila źródło o SEM  E

1

 = 10V 

]

A

[

92

,

1

3

2

3

2

4

10

R

R

R

R

R

E

I

3

2

3

2

1

1

'

1

=

+

⋅

+

=

+

+

=

]

A

[

77

,

0

3

4

92

,

1

10

R

R

I

E

I

2

1

'

1

1

'
2

=

⋅

−

=

−

=

 

]

A

[

15

,

1

2

4

92

,

1

10

R

R

I

E

I

3

1

'

1

1

'
2

=

⋅

−

=

−

=

 

 

E

 

1

=

 

10

 

V

 

R

 

2

 

=3

 

Ω

 

R

 

3

 

=2

 

Ω

 

R

 

1

=4

 

Ω

 

obwód zasila źródło o SEM  E

2

 = 12V 

]

A

[

77

,

2

2

4

2

4

3

12

R

R

R

R

R

E

I

3

1

3

1

2

2

"

2

=

+

⋅

+

=

+

+

=

]

A

[

92

,

0

4

3

77

,

2

12

R

R

I

E

I

1

2

"

2

2

"

1

=

⋅

−

=

−

=

 

 

R

 

2

 

=3

 

Ω

 

R

 

3

 

=2

 

Ω

 

R

 

1

=4

 

Ω

 

E

 

2

=

 

12

 

V

 

 

23

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

]

A

[

85

,

1

2

3

77

,

2

12

R

R

I

E

I

3

2

"

2

2

"
3

=

⋅

−

=

−

=

 

prądy płynące w gałęziach: 

]

A

[

1

)

92

,

0

(

92

,

1

I

I

I

"

1

'

1

1

=

−

+

=

+

=

, 

]

A

[

2

)

77

,

2

(

77

,

0

I

I

I

"

2

'
2

2

−

=

−

+

=

+

=

, 

]

A

[

853

,

1

15

,

1

I

I

I

"
3

'
3

3

+

=

+

=

.   

 
 
Zadanie 20 

 
W obwodzie przedstawionym na 
rysunku obliczyć prądy płynące 
w gałęziach, korzystając z zamiany 
źródeł prądu na źródła napięcia. 
   
 

 

R

 

3

=10

 

Ω

 

R

 

2

=15

 

Ω

 

R

 

1

=5

 

Ω

 

I

 źr

=10

 

A

 

I

 źr 

=5

 

A

 

 

 
Rozwiązanie  
Zamieniamy źródła prądu na źródła 
napięcia: 
 

,

V

75

15

5

R

I

E

,

V

50

5

10

R

I

E

2

2

źr

2

1

1

źr

1

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

 

 
Prąd płynący  przez odbiorniki 
 

.

A

83

,

0

30

25

R

R

R

E

E

I

3

2

1

2

1

=

=

+

+

−

=

 

Odp.: I=0,83A 

 

 
 
 
Zadanie 21 

 
Pokazany na rysunku dwójnik źródłowy 
obciążono na zaciskach a – b opornikiem R

1

 = 

10Ω i zmierzono prąd I

1

 =2A, a przy obciążeniu 

opornikiem R

2

 = 25 Ω prąd I

2

 = 1A. Wyznaczyć 

parametry zastępczego źródła napięcia U

o

 i R

w

. 

 
Rozwiązanie:  
 

 

R=

 

10

 

Ω

 

a 

b

A

 

dwójnik 

źródłowy 

I

E

1 

E

2 

R

R

2 

1

R

3

 

24

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

)

R

R

(

I

U

1

w

1

o

+

=

   lub   

)

R

R

(

I

U

2

w

2

o

+

=

 

 

Po przekształceniu 

Ω

=

−

−

=

−

=

−

5

I

I

R

I

R

I

R

R

I

R

I

)

I

I

(

R

2

1

1

1

2

2

w

1

1

2

2

2

1

w

 

V

30

)

10

5

(

2

)

R

R

(

I

U

1

w

1

o

=

+

=

+

=

 

 
Odp.: R

w

 = 5Ω,  U

o

 = 30V 

 

 
 
 
Zadanie 22 
Do zacisków 

dwójnika źródłowego 

przyłączono idealne źródło o napięciu E = 10V i 
zmieniono prąd I

b

a

−

1

 = 0,5A, a po zmniejszeniu 

napięcia źródłowego ΔE = 2V prąd zwiększył się 
do I

2

 = 0,6A. Wyznaczyć napięcia na zaciskach  a 

– b  dwójnika źródłowego U

o

 w stanie jałowym i 

U

3

 przy obciążeniu prądem  I

3

 = 0,8A. 

 
Rozwiązanie: 

2

o

1

o

w

w

o

2

w

o

1

I

)

E

E

(

U

I

E

U

R

,

R

)

E

E

(

U

I

,

R

E

U

I

Δ

−

−

=

−

=

Δ

−

−

=

−

=

 

Po przekształceniu 

.

20

5

,

0

10

20

R

,

V

20

1

,

0

5

,

0

8

6

,

0

10

I

I

I

)

E

E

(

EI

U

w

2

1

1

2

o

Ω

−

=

=

⋅

−

⋅

=

−

Δ

−

−

=

Napięcie przy obciążeniu prądem I

3

 = 0,8A  

  

V

4

20

8

,

0

20

R

I

U

U

w

3

o

3

=

⋅

−

=

⋅

−

=

 

 
Odp. U

o

 = 20V,  U

3

 = 4V. 

E=10V

a

b

A

dwójnik

źródłowy

 
 

 

25

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Zadanie 23 
Obwód pokazany na rysunku ma dwa zaciski a i 
b. Obliczyć siłę elektromotoryczną oraz oporność 
wewnętrzną źródła zastępczego, które po 
przyłączeniu do zacisków spowoduje powstanie 
w odbiorniku prądu o tej samej wartości, co przy 
zasilaniu odbiornika w układzie wyjściowym. 
Obliczyć prąd pobierany przez odbiornik 

 o 

oporności 

 przyłączony między zaciski a - b. 

o

R

Ω

16

R

2

=20

Ω

E=100V

R

1

=5

Ω

a

b

Obliczyć największą moc, jaką może pobrać odbiornik przyłączony do zacisków  a - b 
w układzie przedstawionym na rysunku. 
 
Rozwiązanie: 

Ad a) parametry zastępczego źródła: 

,

V

80

20

20

5

100

R

R

R

E

U

2

2

1

ab

=

⋅

+

=

⋅

+

=

   

rezystancja 

,

4

20

5

20

5

R

R

R

R

R

2

1

2

1

w

Ω

=

+

⋅

=

+

=

⋅

 

ad b) prąd pobierany przez opornik R

o

   

,

A

4

16

4

80

R

R

U

I

w

o

ab

=

+

=

+

=

 

ad c) korzystamy z warunku dopasowania źródła do odbiornika: 

,  zatem  

odb

w

R

R

=

A

10

4

2

80

R

2

U

I

w

ab

=

⋅

=

⋅

=

  moc max pobierana  przez odbiornik   

 

.

W

400

10

4

I

R

P

2

2

w

max

=

⋅

=

⋅

=

 
Odp.: a) U

ab

=80V, R

w

=4

Ω;  b) I=4A;  c) P

max

=400W 

 
 
 
Zadanie 24 
Zastąpić w obwodzie źródło napięcia źródłem 
prądu. Obliczyć prąd 
w oporniku o oporności 

 przyłączonym 

do zacisków   i  . 

Ω

= 16

o

R

a

b

R

2

=20

Ω

E=100V

R

1

=5

Ω

a

 
Rozwiązanie: 
Obliczamy parametry źródła prądu:  

,

A

20

5

100

R

E

I

1

źr

=

=

=

   

S

25

,

0

20

1

5

1

R

1

R

1

G

2

1

z

=

+

=

+

=

 

b

prąd płynący przez opornik R

o

 przyłączony do 

zacisków a-b: 

 

26

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

,

S

0625

,

0

16

1

R

1

G

o

o

=

=

=

   

.

A

4

0625

,

0

25

.

0

0625

,

0

20

G

G

I

G

I

z

o

źr

o

=

+

⋅

=

+

=

 

Odp.: I=4A 
 
 
 
Zadanie 25 
Charakterystyka prądowo – napięciowa elementu nieliniowego wyraża się 
zależnością 

b

I

a

U

⋅

=

. Jakie są wartości stałych a i b, jeżeli przy napięciu 100 V 

prąd wynosi 0,75 A, a przy napięciu  200 V prąd wynosi 2,46 A ? 
 
Rozwiązanie  
 

b

exp

I

a

U

1

1

⋅

=

 

b

exp

I

a

U

2

2

⋅

=

 

 

b

exp

I

I

U

U

2

1

2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

   po podstawieniu   

b

exp

305

,

0

5

,

0

=

 

 

,

583

,

0

305

,

0

log

500

,

0

log

b

=

=

 

 

.

3

,

118

583

,

0

exp

75

,

0

100

b

exp

I

U

a

1

1

=

=

=

 

 
Odp.  a = 118,3, b = 0,583. 
 
 
 
Zadanie 26 
Charakterystyka prądowo – napięciowa elementu nieliniowego wyraża się 
zależnością 

3

i

a

u

=

. Wyznaczyć rezystancję statyczną R

s

  i  rezystancję 

dynamiczną  R

d

 w funkcji  a) napięcia,  b) prądu. 

 
Rozwiązanie 
 
Dla oporności statycznej w funkcji napięcia i prądu 
 

,

i

a

u

a

a

u

u

i

u

R

3

2

2

3

3

3

s

=

=

=

=

     

Dla oporności dynamicznej w funkcji napięcia i prądu 

 

27

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

 

( )

2

3

3

2

'

3

d

u

3

a

i

3

a

i

a

di

du

R

=

=

=

=

. 

 
 
 
Zadanie 27 

Obliczyć pojemność zastępczą i ładunek trzech kondensatorów o pojemnościach 4,6 
i 8

μF połączonych równolegle, jeżeli do zacisków obwodu doprowadzono napięcie 

200V. 
 

U = 200V

C

1

C

2

C

3

 

 
Rozwiązanie 
 
Pojemność zastępcza 

]

F

[

18

8

6

4

C

C

C

C

3

2

1

z

μ

=

+

+

=

+

+

=

 

Ładunek zgromadzony na okładkach kondensatorów 

,

C

10

8

,

0

200

4

U

C

Q

3

1

1

−

⋅

=

⋅

=

=

 

,

C

10

2

,

1

200

6

U

C

Q

3

2

2

−

⋅

=

⋅

=

=

 

,

C

10

6

,

1

200

8

U

C

Q

3

3

3

−

⋅

=

⋅

=

=

 

,

C

10

6

,

3

200

18

U

)

C

C

C

(

Q

3

3

2

1

−

⋅

=

⋅

=

+

+

=

 

 
Odp.: C

z

=18 μF,   Q = 3,6*10

-3

 C 

 
 
 
 
Zadanie 28 
Do zacisków obwodu złożonego z trzech połączonych szeregowo kondensatorów o 
pojemnościach 4,6 i 8

μF doprowadzono napięcie stałe 200V. Obliczyć pojemność 

zastępczą układu i napięcie na każdym kondensatorze. 

C

1

C

2

C

3

U

1

U

2

U

3

U=200V

 

 

 

28

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Rozwiązanie  
 
Pojemność zastępcza układu kondensatorów 

;

F

85

,

1

C

,

F

1

542

,

0

8

1

6

1

4

1

C

1

C

1

C

1

C

1

z

3

2

1

z

μ

=

μ

=

+

+

=

+

+

=

 

ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora  

U

C

U

C

U

C

U

C

Q

z

3

3

2

2

1

1

=

=

=

=

 

stąd: 

V

4

,

92

200

0

,

4

85

,

1

U

C

C

U

1

z

1

=

=

=

,  

analogicznie obliczamy U

2

 i U

3

. 

 
Odp.: C = 1,85

μF;  U

1

 ≈ 92V; U

2

 ≈ 62V;  U

3

 ≈ 46V 

 
 
 
Zadanie 29 
Trzy kondensatory o pojemnościach C

1

 = 6

μF, C

2

 = 8

μF, C

3

 = 16

μF połączono jak na 

rysunku i cały układ zasilono napięciem U = 380V. Obliczyć napięcia na 
poszczególnych kondensatorach, energię pola elektrycznego poszczególnych 
kondensatorów, pojemność zastępczą 
i energię całego układu. 
 

C 

1

C 

2

C 

3

U 

1

U 

2

U 

3

 

Rozwiązanie  
Pojemność zastępcza kondensatorów C

1

 i C

2

 połączonych równolegle 

 

F

14

8

6

C

C

C

2

1

12

μ

=

+

=

+

=

Pojemność zastępcza całego układu  

F

47

,

7

16

14

16

14

C

C

C

C

C

3

2

,

1

3

2

,

1

3

,

1

μ

=

+

⋅

=

+

=

 

napięcia na okładkach kondensatorów 

 

29

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

;

C

Q

C

Q

U

U

U

3

2

,

1

3

1

+

=

+

=

   

  

U

C

Q

3

,

1

=

V

8

,

202

14

380

47

,

7

C

U

C

C

Q

U

U

2

,

1

3

,

1

2

,

1

2

1

=

⋅

=

=

=

=

 

V

4

,

177

16

380

47

,

7

C

U

C

U

3

3

,

1

3

=

⋅

=

=

 

 
energia pola elektrycznego kondensatorów 

,

J

12

,

0

8

,

202

10

6

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

1

1

1

=

⋅

⋅

=

=

−

 

,

J

17

,

0

8

,

202

10

8

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

1

2

2

=

⋅

⋅

=

=

−

 

,

J

25

,

0

4

,

177

10

16

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

3

3

3

=

⋅

⋅

=

=

−

 

,

J

54

,

0

380

10

47

,

7

5

,

0

U

C

2

1

W

2

6

3

3

,

1

z

=

⋅

⋅

=

=

−

 

 
Odp.: U

1

 = U

2

 = 203V;  U

3

 = 177V;  W = 0,54J, W

1

 = 0,12J,  W

2

 = 0,17J,   W

3

 = 0,25J 

; C

z

 = 7,47

μ  

 
 
Zadanie 30 
Obwód zawiera dwa kondensatory naładowane do napięć początkowych pokazanych 
na rysunku. Obliczyć napięcie, które ustala się na zaciskach kondensatorów po 
zamknięciu wyłącznika. 
 
 

R=10 kΩ

200V 

30pF

100pF  

80V 

Rozwiązanie  
 
Po zastąpieniu kondensatorów naładowanych kondensatorami nie naładowanymi  i 
dodatkowymi źródłami napięcia otrzymujemy obwód  
 
 
 

 

30

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

 

R=10 kΩ

 
 
 
 
 

100pF 

30pF

 
 
 

200V 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Napięcie równe różnicy napięć 200 – 80 = 120V po osiągnięciu stanu ustalonego 
rozdzieli się na oba kondensatory odwrotnie proporcjonalnie do ich pojemności 

V

3

,

92

120

130

100

U

C

C

C

U

V

7

,

27

120

130

30

U

C

C

C

U

2

1

1

2

2

1

2

1

=

=

+

=

=

=

+

=

 

 
Na zaciskach kondensatora 100pF powstanie napięcie  27,7V i o biegunowości jak 
na rysunku 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

80V 

i

-

+

R=10 kΩ

100pF 

30pF

-

+

27,7V 

92,3V 

80V 

200V 

-

+

R=10 kΩ

100pF  

30pF

+

-

200V 

80V 

27,7V 

92,3V 

 

31

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Sumując otrzymujemy napięcie ustalone na zaciskach każdego kondensatora 
 
 

R=10 kΩ

 
 
 
 
 

172,3V

172,3V 

30pF

100pF 

 
 
 
 
 
 
 
Odp.:  U = 172,3V  U

1

=40V, U

2

=100V 

 
 
 
Zadanie 31 
W obwodzie pokazanym na rysunku E = 12V, R = 
6Ω oraz L = 50mH, obliczyć: 
napięcie na oporniku  R , na indukcyjności   oraz 
pochodną prądu względem czasu w chwili 
zamykania wyłącznika, 

L

napięcie na oporniku  R  na indukcyjności   oraz 
pochodną prądu względem czasu w chwili gdy prąd 
w obwodzie wynosi 1,5A, 

L

 
Rozwiązanie  
Równanie napięć ma postać:  

dt

di

L

i

R

u

u

E

L

R

+

⋅

=

+

=

 

R

E=12V

t=0

L

 
Ad a) gdy  t = 0   u

R

 = 0 a u

L

 = 12V    

dt

di

L

u

L

=

  

 zatem dla t = 0  

s

A

240

05

,

0

12

L

u

dt

di

L

=

=

=

 

 
Ad b) 

;

V

0

,

9

5

,

1

6

i

R

u

R

=

⋅

=

⋅

=

   

V

3

9

12

i

R

E

u

L

=

−

=

⋅

−

=

 

 

Stąd 

.

s

A

60

05

,

0

3

L

u

dt

di

L

=

=

=

 

 

 

32

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Odp.  a) dla t = 0, i = 0, U

R

 = 0,   U

L

 = 12V ;  

 

di/dt = 240A/s,  b) U

R

 = 9V,  U

L

 = 3V;  

 
di/dt = 60A/s 

 
 
 
Zadanie 32 
Dla obwodu przedstawionego na rysunku należy 
obliczyć moc 

 i 

 dla różnych wartości prądu 

płynącego w obwodzie. 

R

P

L

P

 
Rozwiązanie  
 
Prąd zaczyna wzrastać od zera do wartości 

ustalonej 

A

20

5

100

R

E

I

=

=

=

  wyniki obliczeń 

zestawiono w tabeli dla wzrastających wartości 
prądu w odstępach co 5A 

E=100V

 

]

A

[

i

0 5 10 15 20 

 

]

V

[

i

R

u

R

⋅

=

 

0 25 50 75 100 

]

W

[

i

u

P

R

R

⋅

=

 

0 125 

500 

1125 2000

]

V

[

u

U

u

R

L

−

=

  100 75  50  25  0 

]

W

[[

i

u

P

L

L

⋅

=

  0 375 

500 

375 

0 

 
Odp.: moc na indukcyjności ma wartość 
maksymalną , gdy napięcie na indukcyjności 
równa się połowie napięcia źródła. 

t=0

L

R=5

Ω

 
 
 
Zadanie 33 

W obwodzie pokazanym na rysunku 

V

E

50

=

, 

, 

, 

, 

Ω

= 10

1

R

H

L

2

,

0

1

=

H

L

08

,

0

2

=

H

M

1

,

0

=

. 

Obliczyć napięcie samoindukcji i indukcji 
wzajemnej każdej cewki dla chwili  w której 
wyłącznik jest zamknięty. 
 
 
Rozwiązanie  
 

R

1

E

R

2

L

1

L

2

I

1

I

2

 

 
 
 
 

 

33

WYŻSZA  SZKOŁA  TECHNICZNO – EKONOMICZNA  W  WARSZAWIE 

Równania napięć dla pierwszej i drugiej cewki 
 

dt

di

M

dt

di

L

i

R

E

2

1

1

1

1

−

+

=

;    

 

dt

di

M

dt

di

L

i

R

0

1

2

2

2

2

−

+

=

 

 

;

dt

di

1

,

0

dt

di

2

,

0

i

10

50

2

1

1

−

+

⋅

=

   

 

.

dt

di

1

,

0

dt

di

08

,

0

i

5

0

1

2

2

−

+

⋅

=

 

 
dla t = 0 oraz i

1 

= 0  i

2

 = 0 

 

;

dt

di

1

,

0

dt

di

2

,

0

50

2

1

−

=

   

dt

di

1

,

0

dt

di

08

,

0

0

1

2

−

=

 

stąd 
 

,

s

A

667

075

,

0

50

dt

di

1

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

=

   

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

s

A

834

dt

di

2

 

 
napięcia na indukcyjnościach własnych wynoszą  

[ ]

V

4

,

134

667

2

,

0

dt

di

L

U

1

1

1

L

=

⋅

=

=

  

[ ]

V

7

,

66

834

08

,

0

dt

di

L

U

2

2

2

L

=

⋅

=

=

 

napięcie na indukcyjności wzajemnej cewki pierwszej 

[ ]

V

6

,

83

834

1

,

0

dt

di

M

U

2

2

,

1

M

=

⋅

=

=

 

napięcie na indukcyjności wzajemnej cewki drugiej  

[ ]

V

7

,

66

667

1

,

0

dt

di

M

U

1

1

,

2

M

=

⋅

=

=

 

 

Odp.: U

L1

=134,4V, U

L2

=66,7V, U

M1,2

=83,6V, U

M2,1

=66,7V. 

 
 
 
Zadanie 34 
Obliczyć okres T  oraz wartość prądu 

( )

0

i

 w chwili 

0

=

t

 dla następujących 

przebiegów: 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

π

−

⋅

=

4

t

157

sin

2

15

i

 

 

34