Mimośrodowe działanie siły

Adam

Łodygowski

1

Mimośrodowe działanie siły

1. Wyznaczam środek ciężkości układu (osie środka ciężkości kątownika):

∑

∑

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

c

A

y

A

y

1

1

∑

∑

=

=

=

n

i

i

n

i

i

i

c

A

z

A

z

1

1

- dla ceownika 140: A = 20,4cm

2

, y = 3,03cm, z = -5,72cm,

- dla

kątownika 45x45x5: A = 17cm

2

, y = 0, z = 0

502

,

2

4

,

20

3

,

4

03

,

3

4

,

20

0

3

,

4

1

1

=

+

⋅

+

⋅

=

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

i

c

A

y

A

y

72

,

4

4

,

20

3

,

4

72

,

5

4

,

20

0

3

,

4

1

1

−

=

+

−

⋅

+

⋅

=

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

i

c

A

z

A

z

C ( 2,502;-4,72 )

2. Wyznaczam momenty bezwładności wg osi środkowych

- Korzystam ze wzorów Steiner’a i tak:

A

a

I

I

y

yc

2

+

=

A

b

I

I

z

zc

2

+

=

abA

I

I

yz

yzc

+

=

- Dla ceownika 140: a = -1; b = 0,528

4

2

2

629

4

,

20

)

1

(

605

cm

A

a

I

I

y

y

=

⋅

−

+

=

⋅

+

=

4

2

2

39

,

68

4

,

20

)

528

,

0

(

7

,

62

cm

A

b

I

I

z

z

=

⋅

+

=

⋅

+

=

4

77

,

10

4

,

20

528

,

0

)

1

(

0

cm

A

b

a

I

I

yz

yz

−

=

⋅

⋅

−

+

=

⋅

⋅

+

=

- Dla

kątownika 45x45x5: a = 4,72; b = -2,502

4

2

2

62

,

103

4

,

20

)

72

,

4

(

38

,

7

cm

A

a

I

I

y

y

=

⋅

+

=

⋅

+

=

4

2

2

81

,

34

4

,

20

)

502

,

2

(

38

,

7

cm

A

b

I

I

z

z

=

⋅

−

+

=

⋅

+

=

4

54

,

54

4

,

20

)

502

,

2

(

72

,

4

76

,

3

cm

A

b

a

I

I

yz

yz

−

=

⋅

−

⋅

+

−

=

⋅

⋅

+

=

- Momenty

bezwładności dla układu 2 ceowników jak na rysunku wynoszą:

I

yc

= 732,62 cm

4

I

zc

= 103,2 cm

4

I

yzc

= -65,28 cm

4

( znak minus ze względu na rozkład pola w ćwiartkach )

3. Środkowe główne osie bezwładności i momenty względem tych osi

718

,

5

''

36

'

51

5

718

,

11

2

207492

,

0

2

,

103

53

,

732

)

28

,

65

(

2

2

2

=

°

=

⇒

=

⇒

=

−

−

−

=

−

−

=

gl

gl

zc

yc

yzc

g

I

I

I

tg

α

α

α

4

2

2

32

,

739

2

2

cm

I

I

I

I

I

I

yzc

zc

yc

zc

yc

I

=

+













−

+

+

=

4

2

2

5

,

96

2

2

cm

I

I

I

I

I

I

yzc

zc

yc

zc

yc

II

=

+













−

−

+

=

Mimośrodowe działanie siły

Adam

Łodygowski

2

- sprawdzenie za pomocą niezmienników:

38

,

71344

9056

,

71344

82

,

835

82

,

835

5

,

96

32

,

739

2

,

103

62

,

732

2

=

=

−

=

+

=

+

+

=

+

II

I

yzc

zc

yc

II

I

zc

yc

I

I

I

I

I

I

I

I

I

4. Transformacja punktów charakterystycznych przekroju

- Korzystam z zależności:

α

α

α

sin

cos

z

y

y

+

=

α

α

α

cos

sin

z

y

z

+

−

=

A=(4,778;

-8)

936

,

3

sin

cos

=

+

=

α

α

α

z

y

y

446

,

8

cos

sin

−

=

+

−

=

α

α

α

z

y

z

B=(-1,222; -8)

032

,

2

−

=

α

y

833

,

7

−

=

α

z

C=(4,778; 6)

366

,

5

=

α

y

481

,

5

=

α

z

D=(-5,722; 6) – punkt przyłożenia siły

079

,

5

−

=

α

y

553

,

6

=

α

z

5. Wyznaczam oś obojętną

- Oś obojętną wyznaczamy wiedząc iż naprężenia na niej panujące wynoszą zero stąd

wzór

)

1

(

2

2

z

i

z

y

i

y

A

N

y

N

z

N

x

⋅

+

⋅

+

=

σ

przyrównujemy do zera otrzymując:

)

1

(

0

2

2

z

i

z

y

i

y

A

N

y

N

z

N

⋅

+

⋅

+

=

z

i

z

y

i

y

y

N

z

N

⋅

+

⋅

+

=

⇒

2

2

1

0

N

z

N

y

y

i

y

z

z

i

z

y

2

2

1

0

1

0

−

=

⇒

=

−

=

⇒

=

- 2 punkty przez które przechodzi oś obojętna:

596

,

0

1

0

8921

,

5

1

0

2

2

−

=

=

−

=

⇒

=

=

−

=

−

=

⇒

=

N

y

N

y

N

z

N

z

z

A

I

z

i

z

y

y

A

I

y

i

y

z

α

α

)

553

,

6

;

079

,

5

(

)

,

(

−

=

=

N

N

z

y

D

Mimośrodowe działanie siły

Adam

Łodygowski

3

6. Wyznaczam naprężenia w skrajnych punktach przekroju podczas działania siły

ściskającej P=-72kN

Naprężenie w poszczególnych punktach obliczamy z wzoru:

)

1

(

2

2

z

i

z

y

i

y

A

N

y

N

z

N

x

⋅

+

⋅

+

=

σ

W punkcie przyłożenia D=(-5,079; 6,553)

=

⋅

+

−

−

+

⋅

−

=

⋅

+

⋅

+

=

)

553

,

6

93

,

29

553

,

6

)

079

,

5

(

906

,

3

)

079

,

5

(

1

(

7

,

24

72

)

1

(

2

2

z

i

z

y

i

y

A

N

y

N

z

N

x

σ

-26,348MPa

A=(3,936; -8,446)

=

−

⋅

+

⋅

−

+

−

=

⋅

+

⋅

+

=

))

446

,

8

(

93

,

29

553

,

6

936

,

3

906

,

3

)

079

,

5

(

1

(

7

,

24

72

)

1

(

2

2

z

i

z

y

i

y

A

N

y

N

z

N

x

σ

17,394MPa

7. Wyznaczam rdzeń przekroju

Rdzeń wyznaczam przykładając fikcyjną siłę w charakterystycznych punktach przekroju, a
następnie wyznaczając oś obojętną względem nowego miejsca przyłożenia siły.

A=(3,936; -8,446)

543

,

3

446

,

8

93

,

29

1

0

0992

936

,

3

906

,

3

1

0

2

2

=

−

−

=

−

=

⇒

=

−

=

−

=

−

=

⇒

=

N

y

N

z

z

i

z

y

y

i

y

z

B=(-2,032; -7,833)

821

,

3

833

,

7

93

,

29

1

0

922

,

1

032

,

2

906

,

3

1

0

2

2

=

−

−

=

−

=

⇒

=

=

−

−

=

−

=

⇒

=

N

y

N

z

z

i

z

y

y

i

y

z

C=(5,366; 5,481)

461

,

5

481

,

5

93

,

29

1

0

728

,

0

366

,

5

906

,

3

1

0

2

2

−

=

−

=

−

=

⇒

=

−

=

−

=

−

=

⇒

=

N

y

N

z

z

i

z

y

y

i

y

z

D=(-5,079; 6,553)

567

,

4

553

,

6

93

,

29

1

0

769

,

0

079

,

5

906

,

3

1

0

2

2

−

=

−

=

−

=

⇒

=

=

−

−

=

−

=

⇒

=

N

y

N

z

z

i

z

y

y

i

y

z

Mimośrodowe działanie siły

Adam

Łodygowski

4

Przekrój z osią obojętną i naprężeniami:

Punkt D
(-5,722; 6)
(-5,079; 6,553)

Punkt przyłożenia
siły P=72kN

Punkt A
(4,778; -8)
(3,936; -8,446)

Punkt B
(-1,222; -8)
(-2,032; -7,833)

Punkt C
(4,778; 6)
(5,366; 5,481)

Oś oboj

ętna

26,34M

pa

17,39M

pa