Mimośrodowe działanie siły
Adam
Łodygowski
1
Mimośrodowe działanie siły
1. Wyznaczam środek ciężkości układu (osie środka ciężkości kątownika):
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
i
i
c
A
y
A
y
1
1
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
i
i
c
A
z
A
z
1
1
- dla ceownika 140: A = 20,4cm
2
, y = 3,03cm, z = -5,72cm,
- dla
kątownika 45x45x5: A = 17cm
2
, y = 0, z = 0
502
,
2
4
,
20
3
,
4
03
,
3
4
,
20
0
3
,
4
1
1
=
+
⋅
+
⋅
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
i
c
A
y
A
y
72
,
4
4
,
20
3
,
4
72
,
5
4
,
20
0
3
,
4
1
1
−
=
+
−
⋅
+
⋅
=
=
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
i
i
c
A
z
A
z
C ( 2,502;-4,72 )
2. Wyznaczam momenty bezwładności wg osi środkowych
- Korzystam ze wzorów Steiner’a i tak:
A
a
I
I
y
yc
2
+
=
A
b
I
I
z
zc
2
+
=
abA
I
I
yz
yzc
+
=
- Dla ceownika 140: a = -1; b = 0,528
4
2
2
629
4
,
20
)
1
(
605
cm
A
a
I
I
y
y
=
⋅
−
+
=
⋅
+
=
4
2
2
39
,
68
4
,
20
)
528
,
0
(
7
,
62
cm
A
b
I
I
z
z
=
⋅
+
=
⋅
+
=
4
77
,
10
4
,
20
528
,
0
)
1
(
0
cm
A
b
a
I
I
yz
yz
−
=
⋅
⋅
−
+
=
⋅
⋅
+
=
- Dla
kątownika 45x45x5: a = 4,72; b = -2,502
4
2
2
62
,
103
4
,
20
)
72
,
4
(
38
,
7
cm
A
a
I
I
y
y
=
⋅
+
=
⋅
+
=
4
2
2
81
,
34
4
,
20
)
502
,
2
(
38
,
7
cm
A
b
I
I
z
z
=
⋅
−
+
=
⋅
+
=
4
54
,
54
4
,
20
)
502
,
2
(
72
,
4
76
,
3
cm
A
b
a
I
I
yz
yz
−
=
⋅
−
⋅
+
−
=
⋅
⋅
+
=
- Momenty
bezwładności dla układu 2 ceowników jak na rysunku wynoszą:
I
yc
= 732,62 cm
4
I
zc
= 103,2 cm
4
I
yzc
= -65,28 cm
4
( znak minus ze względu na rozkład pola w ćwiartkach )
3. Środkowe główne osie bezwładności i momenty względem tych osi
718
,
5
''
36
'
51
5
718
,
11
2
207492
,
0
2
,
103
53
,
732
)
28
,
65
(
2
2
2
=
°
=
⇒
=
⇒
=
−
−
−
=
−
−
=
gl
gl
zc
yc
yzc
g
I
I
I
tg
α
α
α
4
2
2
32
,
739
2
2
cm
I
I
I
I
I
I
yzc
zc
yc
zc
yc
I
=
+
−
+
+
=
4
2
2
5
,
96
2
2
cm
I
I
I
I
I
I
yzc
zc
yc
zc
yc
II
=
+
−
−
+
=
Mimośrodowe działanie siły
Adam
Łodygowski
2
- sprawdzenie za pomocą niezmienników:
38
,
71344
9056
,
71344
82
,
835
82
,
835
5
,
96
32
,
739
2
,
103
62
,
732
2
=
=
−
=
+
=
+
+
=
+
II
I
yzc
zc
yc
II
I
zc
yc
I
I
I
I
I
I
I
I
I
4. Transformacja punktów charakterystycznych przekroju
- Korzystam z zależności:
α
α
α
sin
cos
z
y
y
+
=
α
α
α
cos
sin
z
y
z
+
−
=
A=(4,778;
-8)
936
,
3
sin
cos
=
+
=
α
α
α
z
y
y
446
,
8
cos
sin
−
=
+
−
=
α
α
α
z
y
z
B=(-1,222; -8)
032
,
2
−
=
α
y
833
,
7
−
=
α
z
C=(4,778; 6)
366
,
5
=
α
y
481
,
5
=
α
z
D=(-5,722; 6) – punkt przyłożenia siły
079
,
5
−
=
α
y
553
,
6
=
α
z
5. Wyznaczam oś obojętną
- Oś obojętną wyznaczamy wiedząc iż naprężenia na niej panujące wynoszą zero stąd
wzór
)
1
(
2
2
z
i
z
y
i
y
A
N
y
N
z
N
x
⋅
+
⋅
+
=
σ
przyrównujemy do zera otrzymując:
)
1
(
0
2
2
z
i
z
y
i
y
A
N
y
N
z
N
⋅
+
⋅
+
=
z
i
z
y
i
y
y
N
z
N
⋅
+
⋅
+
=
⇒
2
2
1
0
N
z
N
y
y
i
y
z
z
i
z
y
2
2
1
0
1
0
−
=
⇒
=
−
=
⇒
=
- 2 punkty przez które przechodzi oś obojętna:
596
,
0
1
0
8921
,
5
1
0
2
2
−
=
=
−
=
⇒
=
=
−
=
−
=
⇒
=
N
y
N
y
N
z
N
z
z
A
I
z
i
z
y
y
A
I
y
i
y
z
α
α
)
553
,
6
;
079
,
5
(
)
,
(
−
=
=
N
N
z
y
D
Mimośrodowe działanie siły
Adam
Łodygowski
3
6. Wyznaczam naprężenia w skrajnych punktach przekroju podczas działania siły
ściskającej P=-72kN
Naprężenie w poszczególnych punktach obliczamy z wzoru:
)
1
(
2
2
z
i
z
y
i
y
A
N
y
N
z
N
x
⋅
+
⋅
+
=
σ
W punkcie przyłożenia D=(-5,079; 6,553)
=
⋅
+
−
−
+
⋅
−
=
⋅
+
⋅
+
=
)
553
,
6
93
,
29
553
,
6
)
079
,
5
(
906
,
3
)
079
,
5
(
1
(
7
,
24
72
)
1
(
2
2
z
i
z
y
i
y
A
N
y
N
z
N
x
σ
-26,348MPa
A=(3,936; -8,446)
=
−
⋅
+
⋅
−
+
−
=
⋅
+
⋅
+
=
))
446
,
8
(
93
,
29
553
,
6
936
,
3
906
,
3
)
079
,
5
(
1
(
7
,
24
72
)
1
(
2
2
z
i
z
y
i
y
A
N
y
N
z
N
x
σ
17,394MPa
7. Wyznaczam rdzeń przekroju
Rdzeń wyznaczam przykładając fikcyjną siłę w charakterystycznych punktach przekroju, a
następnie wyznaczając oś obojętną względem nowego miejsca przyłożenia siły.
A=(3,936; -8,446)
543
,
3
446
,
8
93
,
29
1
0
0992
936
,
3
906
,
3
1
0
2
2
=
−
−
=
−
=
⇒
=
−
=
−
=
−
=
⇒
=
N
y
N
z
z
i
z
y
y
i
y
z
B=(-2,032; -7,833)
821
,
3
833
,
7
93
,
29
1
0
922
,
1
032
,
2
906
,
3
1
0
2
2
=
−
−
=
−
=
⇒
=
=
−
−
=
−
=
⇒
=
N
y
N
z
z
i
z
y
y
i
y
z
C=(5,366; 5,481)
461
,
5
481
,
5
93
,
29
1
0
728
,
0
366
,
5
906
,
3
1
0
2
2
−
=
−
=
−
=
⇒
=
−
=
−
=
−
=
⇒
=
N
y
N
z
z
i
z
y
y
i
y
z
D=(-5,079; 6,553)
567
,
4
553
,
6
93
,
29
1
0
769
,
0
079
,
5
906
,
3
1
0
2
2
−
=
−
=
−
=
⇒
=
=
−
−
=
−
=
⇒
=
N
y
N
z
z
i
z
y
y
i
y
z
Mimośrodowe działanie siły
Adam
Łodygowski
4
Przekrój z osią obojętną i naprężeniami:
Punkt D
(-5,722; 6)
(-5,079; 6,553)
Punkt przyłożenia
siły P=72kN
Punkt A
(4,778; -8)
(3,936; -8,446)
Punkt B
(-1,222; -8)
(-2,032; -7,833)
Punkt C
(4,778; 6)
(5,366; 5,481)
Oś oboj
ętna
26,34M
pa
17,39M
pa