A. Wzór na zespolony pierwiastek kwadratowy (można stosować przy obliczaniu ∆):
Szukamy takich x i y, by dla danej liczby z = a + ib zachodził związek (x + iy)
2
= a + ib.
Wtedy
x
2
− y
2
= a (∗),
2xy = b,
więc
x
4
− 2x
2
y
2
+ y
4
= a
2
,
4x
2
y
2
= b
2
,
skąd po dodaniu obu równań
otrzymujemy (x
2
+ y
2
)
2
= a
2
+ b
2
. Jeśli więc oznaczymy r
2
:= a
2
+ b
2
, to x
2
+ y
2
= r (∗∗).
Po dodaniu (∗) i (∗∗) mamy równanie 2x
2
= r + a, i jeśli przyjmiemy, że x 0, to x =
s
r + a
2
.
Natomiast po odjęciu (∗) od (∗∗) mamy równanie 2y
2
= r −a, skąd y =
s
r − a
2
lub y = −
s
r − a
2
w zależności od znaku b (2xy = b, więc jeśli x > 0, to sgn y = sgn b).
Ostatecznie: jeśli przyjmiemy, że x 0, to dla b 0 x + iy =
s
r + a
2
+ i
s
r − a
2
,
zaś dla b < 0 x + iy =
s
r + a
2
− i
s
r − a
2
. Drugim pierwiastkiem jest oczywiście −x − iy.
B. W ciele liczb zespolonych rozwiązać równania:
1. z
2
− 3z + 3 + i = 0,
2. z
2
+ (1 + 4i)z − (5 + i) = 0,
3. z
2
+ 2(1 + i)z + 2i = 0,
4. z
4
+
√
3z
2
+ 1 = 0,
5. z
4
+ 2z
2
+ 4 = 0,
6. z
4
− (18 + 4i)z
2
+ 77 − 36i = 0,
7. z
4
+ (15 + 7i)z
2
+ 8 − 15i = 0,
8. z
3
+ 3z
2
+ 3z + 3 = 0,
9. z
4
− 4z
3
+ 6z
2
− 4z − 15 = 0,
10. z
3
+ 3iz
2
− 3z − i + 1 = 0.
11. z
4
+ z
2
+ 1 = 0,
12. z
4
− 30z
2
+ 289 = 0.
C. Obliczyć:
1.
1 + i
√
3
1 − i
!
40
,
2. (2 − 2i)
7
= 0,
3. (
√
3 − 3i)
6
,
4.
1 − i
1 + i
8
,
5.
4
√
−1,
6.
√
i,
7.
3
√
i,
8.
4
√
−i,
9.
8
√
−1 + i,
10.
4
q
2 − 2
√
3i.