Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
LICZBY ZESPOLONE - zadania z ODPOWIEDZIAMI
Zadanie 1
Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a
następnie wskaż
)
Re(w oraz
)
Im(w
(a)
i
i
i
i
i
i
w
5
64
5
2
)
1
2
)(
2
(
)
1
(
)
16
1
(
4
2
−
=
+
+
+
−
−
=
⇒
5
2
)
Re(
=
w
oraz
5
64
)
Im(
−
=
w
(b)
i
i
w
−
=
=
135
⇒
0
)
Re(
=
w
oraz
1
)
Im(
−
=
w
(c)
i
i
i
i
i
w
4
1
4
)
2
2
(
)
1
(
63
2
2
=
=
+
−
−
=
⇒
0
)
Re(
=
w
oraz
4
1
)
Im(
=
w
Zadanie 2
Znaleźć postać trygonometryczną:
(a)
2
−
=
z
⇒
π
ϕ =
=
,
2
|
| z
⇒
(
)
π
π
sin
cos
2
i
z
+
=
(b)
i
z 5
=
⇒
π
ϕ
2
1
,
5
|
|
=
=
z
⇒
+
=
π
π
2
1
sin
2
1
cos
5
i
z
(c)
12
2 i
z
−
=
⇒
π
ϕ
3
5
,
4
|
|
=
=
z
⇒
+
=
π
π
3
5
sin
3
5
cos
4
i
z
(d)
i
z
2
2
+
−
=
⇒
π
ϕ
4
3
,
2
2
|
|
=
=
z
⇒
+
=
π
π
4
3
sin
4
3
cos
2
2
i
z
Zadanie 3
Niech
j
z
2
3
2
1
+
−
=
,
j
z
8
2
−
=
,
j
z
−
−
=
3
3
Oblicz:
(a)
i
z
z
⋅
+
=
⋅
3
16
16
2
1
(b)
8
3
1
=
⋅ z
z
(c)
i
4
3
4
1
2
1
−
−
=
z
z
(d)
i
z
z
⋅
−
=
3
1
3
1
(e)
12
12
1
4
=
z
(f)
i
z
z
75
99
3
12
1
2
1
=
(g)
3
1
z :
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
+
=
π
π
6
5
sin
6
5
cos
4
1
i
z
.
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z
1
są 3 i wyrażają się wzorami
2
1
0
,
,
ω
ω
ω
+
=
π
π
ω
18
5
sin
18
5
cos
4
3
0
i
+
=
π
π
ω
18
17
sin
18
17
cos
4
3
1
i
Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
+
=
π
π
ω
18
29
sin
18
29
cos
4
3
2
i
(h)
3
2
z :
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
+
=
π
π
2
3
sin
2
3
cos
8
2
i
z
.
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z
2
są 3 i wyrażają się wzorami
2
1
0
,
,
ω
ω
ω
i
i
2
2
1
sin
2
1
cos
2
0
=
+
=
π
π
ω
i
i
−
−
=
+
=
3
6
7
sin
6
7
cos
2
1
π
π
ω
i
i
−
=
+
=
3
6
11
sin
6
11
cos
2
2
π
π
ω
(i)
3
1 i
− :
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej:
+
=
π
π
4
7
sin
4
7
cos
2
i
z
.
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby
i
z
−
=1
są 3 i wyrażają się wzorami
2
1
0
,
,
ω
ω
ω
+
=
+
=
π
π
π
π
ω
12
7
sin
12
7
cos
2
12
7
sin
12
7
cos
2
6
3
0
i
i
+
=
+
=
π
π
π
π
ω
12
15
sin
12
15
cos
2
12
15
sin
12
15
cos
2
6
3
1
i
i
+
=
+
=
π
π
π
π
ω
12
23
sin
12
23
cos
2
12
23
sin
12
23
cos
2
6
3
2
i
i
(j)
4
1
−
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
(
)
π
π
sin
cos
i
z
+
=
. Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby
1
−
=
z
są 4 i wyrażają się wzorami
3
2
1
0
,
,
,
ω
ω
ω
ω
i
i
⋅
+
=
+
=
2
2
4
1
sin
4
1
cos
0
π
π
ω
i
i
⋅
+
−
=
+
=
2
2
4
3
sin
4
3
cos
1
π
π
ω
i
i
⋅
−
−
=
+
=
2
2
4
5
sin
4
5
cos
2
π
π
ω
i
i
⋅
−
=
+
=
2
2
4
7
sin
4
7
cos
3
π
π
ω
(k)
3
8 :
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
(
)
0
sin
0
cos
8
i
z
+
=
. Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby
8
=
z
są 3 i wyrażają się wzorami
2
1
0
,
,
ω
ω
ω
(
)
2
0
sin
0
cos
2
0
=
+
=
i
ω
i
i
⋅
+
−
=
+
=
3
1
3
2
sin
3
2
cos
2
1
π
π
ω
Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
i
i
⋅
−
−
=
+
=
3
1
3
4
sin
3
4
cos
2
2
π
π
ω
(l)
i
24
7 −
:
Pierwiastki drugiego stopnia z liczby
i
24
7
−
są 2 i wyrażają się wzorami
1
0
,
ω
ω
i
3
4
0
−
=
ω
i
3
4
1
+
−
=
ω
Zadanie 4
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równania
(a)
0
9
2
=
+
x
⇒
i
x
i
x
3
3
=
∨
−
=
(b)
0
5
2
=
+
x
⇒
i
x
i
x
⋅
=
∨
⋅
−
=
5
5
(c)
0
25
2
=
−
x
⇒
5
5
=
∨
−
=
x
x
(d)
0
5
2
2
=
+
− x
x
⇒
i
x
i
x
2
1
2
1
+
=
∨
−
=
(e)
0
13
6
2
=
+
− x
x
⇒
i
x
i
x
2
3
2
3
+
=
∨
−
=
(f)
0
2
2
=
−
+ x
x
⇒
1
2
=
∨
−
=
x
x
(g)
0
5
1
)
2
(
2
=
+
−
−
−
j
x
j
x
⇒
i
x
i
x
+
−
=
∨
−
=
1
2
3
Zadanie 5
Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów:
{
}
4
|
2
3
:|
=
+
−
∈
=
i
z
C
z
A
-
okrąg o środku w punkcie
i
z
2
3
0
−
=
oraz promieniu
4
=
r
{
}
2
|
3
1
:|
=
−
+
∈
=
i
z
C
z
B
- okrąg o środku w punkcie
i
z
3
1
0
+
−
=
oraz promieniu
2
=
r
{
}
2
|
3
|
1
:
<
+
<
∈
=
i
z
C
z
D
-
pierścień o środku w punkcie
i
z
3
0
−
=
i odpowiednio zewnętrznym
promieniu
2
=
R
oraz wewnętrznym promieniu
1
=
r
{
}
|
2
|
|
3
2
:|
i
z
i
z
C
z
E
+
−
=
−
+
∈
=
-
linia prosta o równaniu
1
+
= x
y
{
}
4
)
2
3
Im(
:
>
+
−
∈
=
j
z
C
z
F
- półpłaszczyzna
2
>
y
{
}
2
)
3
Re(
:
<
+
∈
=
j
z
C
z
G
- półpłaszczyzna
2
<
x
{
}
6
)
2
Re(
:
2
≥
+
∈
=
j
z
C
z
H
-
podzbiór płaszczyzny opisany wzorem
6
2
2
≥
− y
x
Zadanie 5a
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie
0
z i promieniu R.
Odp.:
R
z
z
=
−
|
|
0
Zadanie 5b
Napisz równanie prostej, której punkty będą równoodległe od punktów
1
z i
2
z (
1
z i
2
z - dowolne ustalone punkty płaszczyzny zespolonej)
Odp.:
|
|
|
|
2
1
z
z
z
z
−
=
−