Ć w i c z e n i e 2
WYZNACZANIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY
METODĄ PIKNOMETRYCZNĄ
2.1 Opis teoretyczny
Jedną z podstawowych metod laboratoryjnych wyznaczania gęstości ciał stałych jest metoda pik-
nometryczna. Pod pojęciem gęstości ciała rozumiemy masę jednostkowej objętości tego ciała. Jeśli
ciało jest jednorodne, to jego gęstość możemy znaleźć dzieląc masę ciała m przez jego objętość V:
V
m
=
ρ
(2.1)
Piknometr jest specjalnym naczyniem gwarantującym stałość objętości wypełniającego go
ośrodka, przy zachowaniu stałości temperatury. Jest to niewielkie naczynie szklane (o objętości
około 50 cm
3
) na ogół w kształcie kolby z dokładnie doszlifowanym korkiem. Przez środek korka
przechodzi otworek, którym wypływa nadmiar cieczy. Średnica tego kanalika powinna być jak
najmniejsza. Zabezpiecza to zawartą w piknometrze ciecz przed parowaniem. Przy badaniu cieczy o
dużej lotności (jak np. eter) dodatkowo nakłada się warstwę ochronną z oleju na powierzchnię ka-
nalika.
Metoda piknometryczna jest metodą porównawczą.
2.1.1 Opis działania wagi belkowej
Analityczne wagi belkowe działają w oparciu o zasadę dźwigni równoramiennej. Składa się z belki
opartej w środku na ostrzu pryzmatu i szalek zawieszonych na jej końcach również na precyzyjnych
ostrzach. Wahanie wagi odbywa się w jednej płaszczyźnie. Aby waga wytrącona z położenia rów-
nowagi samodzielnie do niego powracała (stanowiła układ o równowadze trwałej),
belka wagi mu-
si mieć taki kształt aby jej środek ciężkości był położony poniżej punktu podparcia.
W zrównoważonej wadze równoramiennej następuje zrównoważenie momentów sił ciężkości
m
1
g l = m
2
g l , co gwarantuje równość mas m
1
= m
2
.Wynika stąd , że za pomocą wagi belkowej
porównujemy masy dwu ciał: ciała ważonego i odważników.
Najważniejszym parametrem wagi określającym zakres jej stosowalności jest tzw. czułość wagi.
Jeżeli na jednej z szalek umieścimy nadmiarową masę
m
∆
, to belka odchyli się od poziomego po-
łożenia równowagi o pewien kąt
α i zatrzyma się w tym położeniu, jako w nowym położeniu rów-
nowagi (rys 2.1). Warunek równości momentów sił przyjmie wówczas postać
α
α
α
α
cos
cos
sin
cos
l
g
m
l
G
S
g
m
l
G
b
∆
+
=
+
gdzie:
b
m - masa belki wagi, l – długość ramienia belki, S – odległość środka ciężkości belki od
punktu podparcia belki, G – ciężar szalki z odważnikami w stanie zrównoważonym wagi (patrz
rys2.1)
stąd
S
m
l
m
b
∆
=
α
tg
Jeżeli kąt
α jest mały (co zwykle ma miejsce), możemy zastąpić tgα przez α , a za miarę tego
kąta przyjąć ilość podziałek a o którą odchyla się wskazówka wagi. Przy tych uproszczeniach
otrzymujemy:
m
S
m
l
a
b
∆
=
Z powyższej uproszczonej zależności widzimy, że odchylenie wskazówki wagi jest proporcjonalne
do nadmiarowej masy
m
∆
i długości ramienia belki, a odwrotnie proporcjonalne do masy belki i
odległości środka ciężkości belki od punktu zawieszenia belki. Parametry l , S i m
b
są parametrami
konstrukcyjnymi wagi , dlatego powyższą równość najczęściej zapisuje się w postaci:
m
C
a
∆
=
gdzie
S
m
l
C
b
=
nazywamy czułością wagi.
Jeśli zapiszemy ją w jeszcze innej formie:
)
(mg
m
a
C
∆
=
, to jasno zobaczymy, że czułość wagi
podaje o ile działek przesunie się wskazówka wagi przy nadwadze 1 mg. Stosowane przy tym ćwi-
czeniu wagi analityczne pozwalają ważyć z dokładnością do 0,2 mg i mają czułość rzędu
mg
podzialka
1
,
0
1
.
l
α
l
G
S
G
m
b
g
mg
∆
a
Rys 2.1 Równowaga belki wagi odchylonej od poziomu.
2.1.2 Wyznaczanie gęstości cieczy
W przypadku wyznaczanie gęstości cieczy należy określić następujące masy:
m
C
– masę badanej cieczy umieszczonej w piknometrze
m
W
– masę cieczy wzorcowej wypełniającej piknometr
Jako cieczy wzorcowej najczęściej używa się wody, gdyż dobrze znana jest zależność jej gęstości
od temperatury (Tabela 2.1).
Znając gęstość cieczy wzorcowej
W
ρ
oraz masę m
W
można ustalić z dużą dokładnością objętość
piknometru:
W
ρ
W
P
m
V
=
Gęstość badanej cieczy znajdujemy z wyrażenia:
W
C
P
m
m
V
W
C
C
m
ρ
ρ
=
=
(2.2)
W praktyce należy wykonać następujące ważenia:
m
P
– pustego piknometru
m
PW
– piknometru wypełnionego cieczą wzorcową
m
PC
– piknometru wypełnionego cieczą o nieznanej gęstości
Wówczas:
P
PC
C
m
m
m
−
=
P
PW
W
m
m
m
−
=
i zgodnie z zależnością (2.2) po podstawieniu powyższych relacji, gęstość cieczy określamy z wy-
rażenia:
P
PW
P
PC
m
m
m
m
−
−
=
W
C
ρ
ρ
(2.3)
W niniejszym ćwiczeniu jako ciecz wzorcową stosujemy wodę destylowaną. Wyznacza się zaś gę-
stość alkoholu etylowego. Gęstość wody destylowanej w określonej temperaturze doświadczenia
należy odczytać z Tabeli 2.1.
Tabela 2.1
Gęstość wody w zależności od temperatury
Temp.
[K]
Gęstość
[kg/m
3
]
Temp.
[K]
Gęstość
[kg/m
3
]
Temp.
[K]
Gęstość
[kg/m
3
]
Temp.
[K]
Gęstość
[kg/m
3
]
0
1
2
3
4
5
6
7
999,87
999,93
999,97
999,99
1000,00
999,99
999,97
999,93
20
21
22
23
24
25
26
27
998,23
998,02
997,80
997,56
997,32
997,07
996,81
996,54
40
41
42
43
44
45
46
47
992,24
991,86
991,47
991,07
990,66
990,25
989,82
989,40
60
65
70
75
80
85
90
983,24
980,59
977,81
974,89
971,89
968,65
965,34
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
999,88
999,81
999,73
999,63
999,52
999,40
999,27
999,13
998,97
998,80
998,62
998,43
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
996,26
995,97
995,67
995,37
995,05
994,73
994,40
994,06
993,71
993,36
992,99
992,62
48
49
50
51
52
53
54
55
988,96
988,52
988,07
987,62
987,15
986,69
986,21
985,73
2.1.3 Wyznaczanie gęstości ciała stałego
W celu wyznaczenia gęstości ciała stałego należy dodatkowo wykonać ważeniu:
m
S
– ciała stałego
m
PWS
– piknometru z wodą z zanurzonym w niej ciałem stałym
Oznaczając przez V
S
objętość ciała stałego, jego masę można wyrazić zależnością:
)
(
W
S
PW
PWS
S
V
m
m
m
ρ
−
−
=
(2.4)
gdzie
W
V
ρ
jest masą wody wypartej z piknometru przez ciało.
Po przekształceniu otrzymujemy wzór na objętość ciała stałego:
W
PW
PWS
S
S
m
m
m
V
ρ
+
−
=
(2.5)
Na bazie definicji gęstości (2.1) możemy końcowo napisać:
PW
PWS
S
S
W
S
S
m
m
m
m
m
+
−
=
=
ρ
ρ
S
V
(2.6)
Ponieważ objętość piknometru jest znacznie większa od objętości odważników należy zastanowić
się czy w powyższych rozważaniach nie należałoby uwzględnić siły wyporu, która powoduje, że
masa rzeczywista ciała ważonego
m
*
jest większa niż masa odważników
m
O
:
)
V
V
(
odw
*
−
+
=
p
O
ρ
m
m
gdzie: V – objętość ciała ważonego, V
odw
– objętość odważników,
p
ρ – gęstość powietrza
Poddajmy powyższy wzór kilku przekształceniom:
−
+
≅
=
≅
=
=
−
+
=
odw
P
C
P
O
O
odw
O
C
odw
odw
C
C
p
O
m
m
m
m
V
ρ
m
m
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
1
V
V
V
odw
*
odw
*
gdzie:
C
ρ – gęstość ciała ważonego,
odw
ρ
– gęstość odważników.
Widzimy, że wielkość poprawki (wyrażenie w nawiasie) zależy od gęstości ciała ważonego
C
ρ .
Ze względu na symetrię wzoru (2.3) dwie takie poprawki uwzględnione przy ważeniu cieczy bada-
nej i cieczy wzorcowej wzajemnie znoszą się jeśli tylko gęstości obu cieczy nie różnią się dużo
(gdyż we wzorze 2.3 występuje stosunek mas obu cieczy). Im ta różnica jest mniejsza, tym mniej-
szy jest błąd systematyczny metody piknometrycznej. Powyższy
wniosek można uogólnić na
wszystkie metody porównawcze
, przy stosowaniu których zawsze dążymy do takiej sytuacji, aby
wielkości: szukana i wzorcowa były możliwie zbliżone wartościami
.
Zastosowanie metody porównawczej do wyznaczenia gęstości cieczy przyniosło nam dwie korzy-
ści: nie musimy znać dokładnej pojemności piknometru oraz usuwa konieczność uwzględniania
poprawki spowodowanej wyporem powietrza.
W przypadku wyznaczenia gęstości ciała stałego nie ma potrzeby uwzględniania omawianej po-
prawki, gdyż jego objętość jest mała (bliska objętości odważników).
Tak więc wyprowadzone wcześniej wzory (2.3) i (2.6) są z dobrym przybliżeniem słuszne i stano-
wią podstawę do obliczeń.
2.2 Opis układu pomiarowego
Do oznaczania masy służą wagi. Wagi o dużej dokładności dzieli się na:
- analityczne o nośności najczęściej 200 g i czułości 0,1 mg
- półmikroanalityczne o nośności zwykle 100 g i czułości 0,01 mg
- mikro analityczne o nośności 30 g i czułości 0,001 mg
Produkowane są w dwu zasadniczych typach: jako wagi periodyczne i aperiodyczne. W pierwszych
belka zawieszona na centralnym nożu (pryzmacie) waha się swobodnie. W wagach aperiodycznych
wahanie belki jest tłumione bądź pneumatycznie (przez dwa cylindry wchodzące jeden w drugi) lub
magnetycznie (blaszka ze stopu magnetycznego porusza się w polu magnesu stałego). Urządzenie
tłumiące hamuje wahanie i powoduje szybkie ustalenie się punktu zerowego.
Zasada działania wszystkich wymienionych wag jest jednakowa. Jest to zasada dźwigni równora-
miennej. Na belce opartej w środku na ostrzu (pryzmacie) , w równych odległościach od punktu
podparcia zawieszone są również na pryzmatach szalki. Na jednej z nich (po prawej ręce ważącego)
umieszcza się odważniki, a na drugiej przedmiot ważony. Do belki centralnie przymocowana jest
wskazówka, co pozwala obserwować na skali zrównoważenie szalek. Każda waga wyposażona jest
w urządzenia umożliwiające pionowe ustawienie jej głównego słupa (pion lub libella)
W ćwiczeniu używamy wagi analitycznej. Wagi analityczne wyposażone są w urządzenie aretujące
tzn. unieruchamiające je poprzez podparcie szalek. Wagę odaretowuje się tylko w czasie ważenia .
Podczas nakładania lub zdejmowania odważników lub przedmiotu ważonego waga powinna być
zabezpieczona przez zaaretowanie. Nie zaaretowanie wagi podczas tych czynności grozi jej uszko-
dzeniem (belka może spaść z pryzmatów).
Ze względu na delikatną budowę omawianych wag, obowiązują określone zasady postępowania,
których nieprzestrzeganie prowadzi do rozregulowania, a nawet zniszczenia jej pryzmatów.
Zasady prawidłowego ważenia
1.
Włączanie (zwalnianie) i wyłączanie (aretowanie) wagi należy wykonywać powoli, spokoj-
nym ruchem , aby uniknąć uderzenia pryzmatów o panewki.
2.
Waga nieużywana powinna być zawsze zaaretowana. Nie wolno nawet na krótko pozosta-
wić wagi niezaaretowanej.
3.
Nakładanie i zdejmowanie odważników należy wykonywać tylko za pomocą specjalnych
szczypczyków (lub pensety).
4.
Nakładanie i zdejmowanie przedmiotów ważonych i odważników należy przeprowadzać
tylko przy wyłączonej wadze, ustawiając je delikatnie na środku szalek, tak aby po włą-
czeniu wagi szalki nie wahały się na boki.
5.
Przedmioty ważone muszą być suche, czyste i mieć temperaturę otoczenia. W tym celu naj-
lepiej pozostawić jej na jakiś czas obok wagi.
6.
Odważanie cieczy można przeprowadzać tylko w szczelnie zamkniętych naczyniach, nie
otwieranych w szafce wagi.
2.3. Przebieg pomiarów
1. Przemyć piknometr etonolem i wysuszyć.
2. Zważyć za pomocą wagi analitycznej suchy piknometr wyznaczając
m
P
.
3. Napełnić piknometr badaną cieczą osuszając bibułą jego ścianki boczne z nadmiaru cieczy wy-
pływającej po włożeniu korka. Zważyć piknometr z badaną cieczą (
m
PC
)
4. Opróżnić i osuszyć piknometr.
5. Wypełnić piknometr wodą destylowaną i postępując jak w pkt. 3 całość zważyć (
m
PW
).
6. Zważyć badane ciało stałe (śrut ) bezpośrednio na szalce wagi. Objętość ciała stałego powinna
być mała tzn. bliska objętości odważników (
m
S
).
7. Wsypać ciało stałe (śrut) do piknometru wypełnionego wodą destylowaną i całość zważyć po-
stępując jak w pkt. 3 (
m
PWS
).
Uwaga
: Przy nalewaniu cieczy i ważeniu nie należy piknometru obejmować całą dłonią, ponieważ
pod wpływem ciepła oddawanego przez dłoń, ciecz powiększa swą objętość i wypływa na ze-
wnątrz. Należy szczególnie zwrócić uwagę na to aby cała objętość piknometru była wypełniona
cieczą.
8. Opróżnić piknometr i osuszyć ciało stałe.
9. Odczytać na termometrze temperaturę w pomieszczeniu. Odczytać z tabeli 2.1 gęstość wody
destylowanej w tej temperaturze.
2.4. Opracowanie wyników pomiarów
.
1. Wykonać obliczenia gęstości cieczy i ciała stałego według wzorów (2.3) i (2.6).
2. Błędy wyników obliczamy metodą różniczki zupełnej. Ponieważ błędy bezwzględne wszystkich
ważeń są jednakowe i wynoszą
m
∆
, wzory na szukane błędy bezwzględne przyjmują następu-
jącą postać:
2
PC
PW
P
2
P
PC
2
P
PW
2
P
PW
)
m
m
m
2
(
)
m
m
(
)
m
m
(
)
m
(m
+
−
+
−
+
−
−
∆
=
∆
m
W
C
ρ
ρ
2
PW
PWS
2
S
2
PW
PWS
S
)
m
m
(
)
m
(
2
)
m
m
-
(m
−
+
+
∆
=
∆
m
W
S
ρ
ρ
3. Oszacować wielkość sił wyporu powietrza działającej na piknometr. Należałoby ją uwzględnić
w przypadku jednorazowego ważenia piknometru.
4. Napisać wnioski.
2.5. Pytania kontrolne
1. Omówić technikę ważenia.
2. Zdefiniować pojęcie gęstości ciała.
3. W jaki sposób gęstość ciał zależy od temperatury?
4. Omówić zastosowanie piknometru.
L i t e r a t u r a
[1] T. Dryński: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, PWN Warszawa, 1976.