Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ
OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
N I E O D N A W I A N E
OBIEKTY TECHNICZNE
NIEZAWODNOŚĆ ?
Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ
OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
N I E O D N A W I A N E
OBIEKTY TECHNICZNE
NIEZAWODNOŚĆ ?
Opr. Adam Kadziński
ARKUAZ PODRĘCZNIKÓW
1. Bobrowski D.: Modele i metody matematyczne teorii niezawodności
w przykładach i zadaniach. WNT, Warszawa, 1985.
2. Inżynieria niezawodności, Por. pod red. J. Migdalskiego, Wyd. ATR
Bydgoszcz i Ośr. Badań Jakości Wyr. "ZETOM", Warszawa 1992.
3. Jaźwiński J.,
Ważyńska-Fiok K.:
Niezawodność
systemów
technicznych. Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1990.
4. Kadziński A.: Niezawodność pojazdów szynowych. Ćwiczenia
laboratoryjne, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1992.
5. Karpiński J., Korczak E.: Metody
oceny
niezawodności
dwu-
stanowych systemów technicznych. Wyd. Omnitech Press, Instytut
Badań Systemowych, Warszawa, 1990.
6. Lesiński S.: Projektowanie elementów urządzeń elektrotechnicznych
ze względu na ich niezawodność. Wydawnictwo Uczelniane
Akademii Techniczno-Rolniczej w Bydgoszczy. Bydgoszcz 1996.
7. Migdalski J.: Podstawy strukturalnej teorii niezawodności. Skrypt
Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce, 1978.
8. Niezawodność
autobusów.
Pod
redakcją
Anieli
Gołąbek.
Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1993.
9. Niezawodność i eksploatacja systemów. Pod redakcją Wojciecha
Zamojskiego. Wyd. Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1981.
10. Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne. Wydawnictwa
Przemysłu Maszynowego „WEMA”, Warszawa 1982.
11. Radkowski S., Podstawy bezpiecznej techniki. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003.
12. Słowiński B.: Podstawy badań i oceny niezawodności obiektów
technicznych. Wyd. Uczelniane Wyższej Szkoły Inżynierskiej
w Koszalinie, Koszalin 1992.
13. Żółtowski J.: Podstawy niezawodności maszyn. Wydawnictwa
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1985.
14. Żółtowski J.:
Wybrane
zagadnienia
z
podstaw
konstrukcji
i niezawodności
maszyn.
Oficyna
Wydawnicza
Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2004.
Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
NIEZAWODNOŚĆ NIEODNAWIANYCH OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
(2)
PROBABILIPTYCZNE I PTATYPTYCZNE
CHARAKTERYPTYKI NIEZAWODNOŚCIOWE OBIEKTÓW
WprowadzeWie
ProbabilistyczWe charakterystyki fuWkcyjWe
WiezawodWości WieodWawiaWych obiektów
Model obiektów WieodWawiaWych
DefiWicje probabilistyczWych fuWkcyjWych
charakterystyk WiezawodWościowych obiektów
WieodWawiaWych
Związki między fuWkcyjWymi charakterystykami
WiezawodWościowymi obiektów
WieodWawiaWych
Postaci matematyczWe fuWkcyjWych
charakterystyk WiezawodWościowych obiektów
WieodWawiaWych dla wybraWych rozkładów
czasu do uszkodzeWia obiektów
PtatystyczWe charakterystyki fuWkcyjWe
WiezawodWości WieodWawiaWych obiektów
DefiWicje statystyczWych fuWkcyjWych
charakterystyk WiezawodWościowych obiektów
WieodWawiaWych
Przykładowy problem obliczeWiowy
KlasyczWy fuWkcyjWy model WiezawodWościo-
wy obiektów WieodWawiaWych
PodsumowaWie
adam.kadziWski@put.pozWaW.pl
Opr. Adam Kadziński
OBIEKTY TECHNICZNE
NieodWawialWe
OdWawialWe
OdWawiaWe
NieodWawiaWe
OBIEKTY TECHNICZNE
OdWawiaWe
NieodWawiaWe
Opr. Adam Kadziński
PROBABILIPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI
FUNKCYJNE NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
T
- czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
t
1
t
2
t
3
t
N
1
2
3
N
t = 0
O
b
i
e
k
t
y
.
.
.
.
.
.
t
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEŃ OBIEKTÓW
MATEMATYCZNY MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI
R(t)
Jest to prawdopodobieństwo tego, że obiekt pracujący nie ulegnie
uszkodzeniu do chwili t, tzn.
( )
)
(
t
T
P
t
R
≥
=
T
- czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
t
1
t
2
t
3
t
N
1
2
3
N
t = 0
O
b
i
e
k
t
y
.
.
.
.
.
.
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEŃ OBIEKTÓW
t
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA ZAWODNOŚCI
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
FUNKCJA ZAWODNOŚCI
F(t)
Jest to prawdopodobieństwo tego, że obiekt pracujący ulegnie
uszkodzeniu przed chwilą t, tzn.
( )
)
(
t
T
P
t
F
<
=
Komentarz:
Jeżeli obiekt nie ulegnie uszkodzeniu przed chwilą t, to jest
równoznaczne z uszkodzeniem się obiektu co najmniej w chwili t.
Można więc zapisać, że:
1
)
(
)
(
=
≥
+
<
t
T
P
t
T
P
)
(
1
)
(
t
T
P
t
T
P
≥
−
=
<
( )
( )
t
R
t
F
−
=1
i
( )
( )
t
F
t
R
−
=1
T
- czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
t
1
t
2
t
3
t
N
1
2
3
N
t = 0
O
b
i
e
k
t
y
.
.
.
.
.
.
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEŃ OBIEKTÓW
t
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA GĘPTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃPTWA
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
FUNKCJA GĘPTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃPTWA
f(t)
Jest
to
iloraz
prawdopodobieństwa
uszkodzenia
obiektu
w przedziale czasu (t, t+
∆t) i długości przedziału ∆t, kiedy wielkość
tego przedziału dąży do zera, tzn.
( )
t
t
t
T
t
P
t
f
t
∆
∆
+
≤
<
=
→
∆
)
(
lim
0
Komentarz:
Z definicji funkcji gęstości prawdopodobieństwa czasu do
uszkodzenia, funkcji niezawodności i funkcji zawodności wynika,
że:
∫
=
<
=
t
ds
s
f
t
T
P
t
F
0
)
(
)
(
)
(
∫
∞
=
≥
=
t
ds
s
f
t
T
P
t
R
)
(
)
(
)
(
T
- czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
t
1
t
2
t
3
t
N
1
2
3
N
t = 0
O
b
i
e
k
t
y
.
.
.
.
.
.
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEŃ OBIEKTÓW
t
t+∆t
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA INTENPYWNOŚCI UPZKODZEŃ
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
FUNKCJA INTENPYWNOŚCI UPZKODZEŃ
λ(t)
Jest to iloraz prawdopodobieństwa uszkodzenia obiektu w
przedziale czasu (t, t+
∆t) i długości przedziału ∆t, kiedy wielkość
tego przedziału dąży do zera, przy zachowaniu warunku, że przed
chwilą t uszkodzenie obiektu nie nastąpiło, tzn.
( )
)
(
)
(
lim
0
t
T
P
t
t
t
T
t
P
t
t
≥
⋅
∆
∆
+
≤
<
=
→
∆
λ
Komentarz:
Zależność na funkcję intensywności uszkodzeń można przekształcić
do postaci:
( )
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
t
R
t
f
t
T
P
t
t
t
T
t
P
t
t
=
≥
∆
∆
+
≤
<
=
→
∆
λ
a stąd
( )
)
(
ln
t
R
dt
d
t
−
=
λ
T
- czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
t
1
t
2
t
3
t
N
1
2
3
N
t = 0
O
b
i
e
k
t
y
.
.
.
.
.
.
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEŃ OBIEKTÓW
t
t+∆t
Opr. Adam Kadziński
FUNKCJA WIODĄCA ROZKŁADU
POPTAĆ PROBABILIPTYCZNA CHARAKTERYPTYKI
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
FUNKCJA WIODĄCA ROZKŁADU
Λ(t)
Jest to skumulowana funkcja intensywności uszkodzeń i wyraża się
zależnością postaci:
∫
=
Λ
t
ds
s
t
0
)
(
)
(
λ
T
- czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
t
1
t
2
t
3
t
N
1
2
3
N
t = 0
O
b
i
e
k
t
y
.
.
.
.
.
.
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEŃ OBIEKTÓW
t
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCYJNYMI CHARAKTERYPTYKAMI
NIEZAWODNOŚCIOWYMI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH
Patrz plik:
Matryca_ch_funkcyjnych_przeliczenia
Opr. Adam Kadziński
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH (1)
W systemie jednorodnych obiektów technicznych, poddanych
obserwacji w trakcie normalnej eksploatacji, zamontowanych jest łącznie
N
e − tych elementów / obiektów (np. łożyska toczne, koła zębate,
końcówki wtryskiwaczy, tłoki silników, itp.).
W trakcie eksploatacji e - te elementy / obiekty mogą ulegać
uszkodzeniom w kolejnych chwilach czasowych t
(1)
, t
(2)
, ..., t
(N)
. Chwile te
tworzą szereg pozycyjny.
Rys. 1
Schemat ideowy systemu jednorodnych obiektów technicznych oraz
schemat ideowy stanu zaawansowania procesu uszkodzeń e - tych
elementów / obiektów w chwili t
i-1
, przedstawiono na rys. 2.
Rys. 2
. . .
e
. . .
. . .
1
. . .
e
. . .
. . .
2
. . .
. . .
e
. . .
. . .
...
. . .
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
sk
(t
i–1
)
N
N – n
sk
(t
i–1
)
t
i-1
n(
∆t
i-1,i
)
n(
∆t
1,2
)
n(
∆t
0,1
)
t
i-1
t
i
t
0
t
1
t
2
t
(1)
t
(N)
n
sk
(t
i
)
t
(2)
t
(3)
t
(4)
Opr. Adam Kadziński
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW NIEODNAWIANYCH (2)
Schemat ideowy systemu jednorodnych obiektów technicznych oraz
schemat ideowy stanu zaawansowania procesu uszkodzeń e - tych
elementów / obiektów od chwili t
i–1
do t
i
przedstawiono na rys. 3.
Rys. 3
. . .
. . .
e
. . .
. . .
1
. . .
e
. . .
. . .
2
. . .
e
. . .
. . .
...
. . .
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
t
i–1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
sk
(t
i–1
)
N
N – n
sk
(t
i–1
)
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
sk
(t
i
)
N – n
sk
(t
i
)
N
t
i
Opr. Adam Kadziński
FORMUŁY MATEMATYCZNE (1)
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI NIEODNAWIANYCH OBIEKTÓW
Funkcja
zawodności
Funkcja
niezawodności
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
Funkcja intensywności
uszkodzeń
N
t
n
t
F
i
sk
i
n
)
(
)
(
=
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
−
=
i
i
i
sk
i
sk
i
n
t
N
t
n
t
n
t
f
,
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
∆
⋅
−
=
[
]
i
i
i
sk
i
sk
i
sk
i
n
t
t
n
N
t
n
t
n
t
,
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
∆
⋅
−
−
=
λ
t
i
t
i-1
t
i+1
N– n
sk
(t
i-1
)
N– n
sk
(t
i+1
)
N– n
sk
(t
i
)
n
sk
(t
i+1
)
n
sk
(t
i
)
n
sk
(t
i-1
)
0
N
0
N
N
N
N
Opr. Adam Kadziński
[
]
1
,
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
+
+
+
∆
⋅
−
−
=
i
i
i
sk
i
sk
i
sk
i
n
t
t
n
N
t
n
t
n
t
λ
FORMUŁY MATEMATYCZNE (2)
PTATYPTYCZNE CHARAKTERYPTYKI FUNKCYJNE
NIEZAWODNOŚCI NIEODNAWIANYCH OBIEKTÓW
Funkcja
zawodności
Funkcja
niezawodności
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
Funkcja intensywności
uszkodzeń
N
t
n
t
F
i
sk
i
n
)
(
)
(
1
1
+
+
=
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
1
1
+
+
−
=
1
,
1
1
)
(
)
(
)
(
+
+
+
∆
⋅
−
=
i
i
i
sk
i
sk
i
n
t
N
t
n
t
n
t
f
t
i
t
i-1
t
i+1
N– n
sk
(t
i-1
)
N– n
sk
(t
i+1
)
N– n
sk
(t
i
)
n
sk
(t
i+1
)
n
sk
(t
i
)
n
sk
(t
i-1
)
0
N
0
N
N
N
N
Opr. Adam Kadziński
Funkcja niezawodności
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
−
=
. . .
e
. . .
. . .
1
. . .
e
. . .
. . .
2
. . .
. . .
e
. . .
. . .
...
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
. . .
n
sk
(t
i–1
)
N
N – n
sk
(t
i–1
)
t
i–1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
sk
(t
i
)
N – n
sk
(t
i
)
N
t
i
Opr. Adam Kadziński
Funkcja zawodności
N
t
n
t
F
i
sk
i
n
)
(
)
(
=
. . .
e
. . .
. . .
1
. . .
e
. . .
. . .
2
. . .
. . .
e
. . .
. . .
...
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
. . .
n
sk
(t
i–1
)
N
N – n
sk
(t
i–1
)
t
i–1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
sk
(t
i
)
N – n
sk
(t
i
)
N
t
i
Opr. Adam Kadziński
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
i
i
i
sk
i
sk
i
n
t
N
t
n
t
n
t
f
,
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
∆
⋅
−
=
. . .
e
. . .
. . .
1
. . .
e
. . .
. . .
2
. . .
. . .
e
. . .
. . .
...
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
. . .
n
sk
(t
i–1
)
N
N – n
sk
(t
i–1
)
t
i–1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
sk
(t
i
)
N – n
sk
(t
i
)
N
t
i
Opr. Adam Kadziński
Funkcja intensywności
uszkodzeń
[
]
i
i
i
sk
i
sk
i
sk
i
n
t
t
n
N
t
n
t
n
t
,
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
∆
⋅
−
−
=
λ
. . .
e
. . .
. . .
1
. . .
e
. . .
. . .
2
. . .
. . .
e
. . .
. . .
...
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
. . .
n
sk
(t
i–1
)
N
N – n
sk
(t
i–1
)
t
i–1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
n
sk
(t
i
)
N – n
sk
(t
i
)
N
t
i
Opr. Adam Kadziński
FORMUŁY MATEMATYCZNE (3)
Funkcja gęstości
prawdopodobieństwa
i
i
i
n
i
n
i
n
t
t
R
t
R
t
f
,
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
∆
−
=
ale
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
1
1
−
−
−
=
,
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
−
=
stąd
i
i
i
sk
i
sk
i
n
t
N
t
n
N
N
t
n
N
t
f
,
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
∆
−
−
−
=
i ostatecznie
i
i
i
sk
i
sk
i
n
t
N
t
n
t
n
t
f
,
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
∆
⋅
−
=
lub jeżeli przyjmie się, że
)
(
)
(
)
(
1
,
1
−
−
−
=
∆
i
sk
i
sk
i
i
t
n
t
n
t
n
to
i
i
i
i
i
n
t
N
t
n
t
f
,
1
,
1
)
(
)
(
−
−
∆
⋅
∆
=
Opr. Adam Kadziński
FORMUŁY MATEMATYCZNE (4)
Funkcja intensywności
uszkodzeń
i
i
i
n
i
n
i
n
i
n
t
t
R
t
R
t
R
t
,
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
∆
⋅
−
=
λ
ale
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
1
1
−
−
−
=
,
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
−
=
stąd
i
i
i
sk
i
sk
i
sk
i
n
t
N
t
n
N
N
t
n
N
N
t
n
N
t
,
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
∆
⋅
−
−
−
−
=
λ
i ostatecznie
[
]
i
i
i
sk
i
sk
i
sk
i
n
t
t
n
N
t
n
t
n
t
,
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
∆
⋅
−
−
=
λ
lub jeżeli przyjmie się, że
)
(
)
(
)
(
1
,
1
−
−
−
=
∆
i
sk
i
sk
i
i
t
n
t
n
t
n
to
[
]
i
i
i
sk
i
i
i
n
t
t
n
N
t
n
t
,
1
1
,
1
)
(
)
(
)
(
−
−
−
∆
⋅
−
∆
=
λ
Opr. Adam Kadziński
PCHEMAT IDEOWY POZYPKIWANIA INFORMACJI
O UPZKODZENIACH OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH DO WYZNACZANIA
ICH PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOŚCI
k
t
k-1
t
k
n(∆t
k-1,k
)
n
sk
(t
k
)
R
n
(t
k
)
f
n
(t
k
)
λ
n
(t
k
)
1
t
0
t
1
n(∆t
0,1
)
2
t
1
t
2
n(∆t
1,2
)
. . .
. . .
i – 1
t
i–2
t
i–1
n(∆t
i-2,i-1
) n
sk
(t
i-1
)
i
t
i–1
t
i
n(∆t
i-1,i
)
n
sk
(t
i
)
i + 1
t
i
t
i+1
n(∆t
i,i+1
)
n
sk
(t
i+1
)
. . .
. . .
r
t
r–1
t
r
n(∆t
r-1,r
)
n(
∆t
i-1,i
)
n(
∆t
1,2
)
n(
∆t
0,1
)
t
i-1
t
i
t
0
t
1
t
2
t
(1)
t
(N)
n
sk
(t
i
)
t
(2)
t
(3)
t
(4)
Opr. Adam Kadziński
PCHEMAT IDEOWY WYZNACZANIA
PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
k
t
k-1
t
k
n(∆t
k-1,k
)
n
sk
(t
k
)
R
n
(t
k
)
f
n
(t
k
)
λ
n
(t
k
)
1
t
0
t
1
n(∆t
0,1
)
2
t
1
t
2
n(∆t
1,2
)
. . .
. . .
i – 1
t
i–2
t
i–1
n(∆t
i-2,i-1
) n
sk
(t
i-1
) R
n
(t
i-1
) f
n
(t
i-1
)
λ
n
(t
i-1
)
i
t
i–1
t
i
n(∆t
i-1,i
)
n
sk
(t
i
)
R
n
(t
i
)
f
n
(t
i
)
λ
n
(t
i
)
i + 1
t
i
t
i+1
n(∆t
i,i+1
)
n
sk
(t
i+1
) R
n
(t
i+1
) f
n
(t
i+1
) λ
n
(t
i+1
)
. . .
. . .
r
t
r–1
t
r
n(∆t
r-1,r
)
N
t
n
N
t
R
i
sk
i
n
)
(
)
(
−
=
i
i
i
i
i
n
t
N
t
n
t
f
,
1
,
1
)
(
)
(
−
−
∆
⋅
∆
=
[
]
i
i
i
sk
i
i
i
n
t
t
n
N
t
n
t
,
1
1
,
1
)
(
)
(
)
(
−
−
−
∆
⋅
−
∆
=
λ
Opr. Adam Kadziński
ILUPTRACJE GRAFICZNE
PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
k
t
k-1
t
k
n(∆t
k-1,k
)
n
sk
(t
k
)
R
n
(t
k
)
f
n
(t
k
)
λ
n
(t
k
)
1
t
0
t
1
n(∆t
0,1
)
n
sk
(t
1
)
R
n
(t
1
)
f
n
(t
1
)
λ
n
(t
1
)
2
t
1
t
2
n(∆t
1,2
)
n
sk
(t
2
)
R
n
(t
2
)
f
n
(t
2
)
λ
n
(t
2
)
. . .
. . .
. . .
. . .
i – 1
t
i–2
t
i–1
n(∆t
i-2,i-1
) n
sk
(t
i-1
) R
n
(t
i-1
) f
n
(t
i-1
)
λ
n
(t
i-1
)
i
t
i–1
t
i
n(∆t
i-1,i
)
n
sk
(t
i
)
R
n
(t
i
)
f
n
(t
i
)
λ
n
(t
i
)
i + 1
t
i
t
i+1
n(∆t
i,i+1
)
n
sk
(t
i+1
) R
n
(t
i+1
) f
n
(t
i+1
) λ
n
(t
i+1
)
. . .
. . .
. . .
. . .
r
t
r–1
t
r
n(∆t
r-1,r
)
n
sk
(t
r
)
R
n
(t
r
)
f
n
(t
r
)
λ
n
(t
r
)
FUNKCJA GĘPTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃPTWA
0,0000000
0,0000005
0,0000010
0,0000015
0,0000020
0,0000025
0,0000030
0,0000035
0,0000040
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Czas
t
* 1000 [km]
f(
t)
FUNKCJA NIEZAWODNOŚCI
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Czas
t
* 1000 [km]
R
(t
)
FUNKCJA INTENPYWNOŚCI UPZKODZEŃ
0,0000000
0,0000050
0,0000100
0,0000150
0,0000200
0,0000250
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Czas
t
* 1000 [km]
λλλλ(
t
)
Opr. Adam Kadziński
PRZYKŁAD WYZNACZANIA
PTATYPTYCZNYCH CHARAKTERYPTYK
FUNKCYJNYCH NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW
NIEODNAWIANYCH
Problem badawczy
1.
2.
25.
••••
••••
••••
••••
••••
••••
Łącznie 100 osi
zestawów kołowych
w 25 lokomotywach
Cztery osie
zestawów kołowych
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
f
n
(t)
KLAPYCZNY MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY
NIEODNAWIANEGO OBIEKTU TECHNICZNEGO
T
- czas pracy do uszkodzeWia
obiektu
t
1
t
2
t
3
t
N
1
2
3
N
t = 0
O
b
i
e
k
t
y
.
.
.
.
.
.
PCHEMAT IDEOWY UPZKODZEŃ OBIEKTÓW
A
B
C
t
MODEL NIEZAWODNOŚCIOWY OBIEKTÓW
FUNKCJA GĘPTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃPTWA
i
i
i
i
i
n
t
N
t
n
t
f
,
1
,
1
)
(
)
(
−
−
∆
⋅
∆
=
t
i-1
t
i
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
C
I
M
IĘ
D
Z
Y
P
R
O
B
A
B
IL
IP
T
Y
C
Z
N
Y
M
I
F
U
N
K
C
Y
J
N
Y
M
I
C
H
A
R
A
K
T
E
R
Y
P
T
Y
K
A
M
I
N
IE
Z
A
WO
D
N
O
Ś
C
IO
WY
M
I
O
B
IE
K
T
Ó
W
N
IE
O
D
N
A
W
IA
N
Y
C
H
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
E
S
T
A
W
IE
N
IE
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
C
I
M
IĘ
D
Z
Y
P
R
O
B
A
B
IL
IS
T
Y
C
Z
N
Y
M
I
F
U
N
K
C
Y
J
N
Y
M
I
C
H
A
R
A
K
T
E
R
Y
S
T
Y
K
A
M
I
N
IE
Z
A
W
O
D
N
O
Ś
C
IO
W
Y
M
I
O
B
IE
K
T
Ó
W
N
IE
O
D
N
A
W
IA
N
Y
C
H
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
F
(t
)
)
(t
F
f(
t)
)
(t
f
λ(
t)
)
(tλ
Λ
(t
)
)
(t
Λ
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
Ć
M
IĘ
D
Z
Y
f(
t)
a
F
(t
)
(1
?
)
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
f(
t)
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
λ(
t)
)
(tλ
Λ
(t
)
)
(t
Λ
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
Ć
M
IĘ
D
Z
Y
f(
t)
a
F
(t
)
(1
!
)
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
f(
t)
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
λ(
t)
)
(tλ
Λ
(t
)
)
(t
Λ
d
t
t
d
F
)
(
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
Ć
M
IĘ
D
Z
Y
λ(
t)
a
F
(t
)
(2
?
)
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
f(
t)
dt
t
dR
)
(
−
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
λ(
t)
)
(
ln
t
R
dt
d
−
)
(tλ
Λ
(t
)
)
(t
Λ
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
Ć
M
IĘ
D
Z
Y
λ(
t)
a
F
(t
)
(2
!
)
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
f(
t)
dt
t
dR
)
(
−
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
λ(
t)
)
(
ln
t
R
dt
d
−
)]
(
1
ln[
t
F
dt
d
−
−
)
(tλ
Λ
(t
)
)
(t
Λ
[
]
)
(
1
ln
t
F
d
t
d
−
−
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
Ć
M
IĘ
D
Z
Y
f(
t)
a
λ(
t)
(3
!
)
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
∫
∞
t
du
u
f
)
(
∫
−
t
du
u
e
0
)
(
λ
)
(
t
e
Λ
−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
∫
t
du
u
f
0
)
(
∫
−
−
t
du
u
e
0
)
(
1
λ
)
(
1
t
e
Λ−
−
f(
t)
dt
t
dR
)
(
−
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
∫
−
⋅
t
du
t
e
t
0
)
(
)
(
λ
λ
λ(
t)
)
(
ln
t
R
dt
d
−
)]
(
1
ln
[
t
F
dt
d
−
−
)
(t
λ
dt
t
d
)
(
Λ
Λ
(t
)
∫
t
du
u
0
)
(
λ
)
(t
Λ
∫
−
⋅
t
du
u
e
t
0
)
(
)
(
λ
λ
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
Ć
M
IĘ
D
Z
Y
λ(
t)
a
f(
t)
(4
!
)
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
∫
∞
t
du
u
f
)
(
∫
−
t
du
u
e
0
)
(
λ
)
(t
e
Λ−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
∫
t
du
u
f
0
)
(
∫
−
−
t
du
u
e
0
)
(
1
λ
)
(
1
t
e
Λ−
−
f(
t)
dt
t
dR
)
(
−
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
∫
−
⋅
t
du
u
e
t
0
)
(
)
(
λ
λ
)
(
)
(
t
e
dt
t
d
Λ−
⋅
Λ
λ(
t)
)
(
ln
t
R
dt
d
−
)]
(
1
ln[
t
F
dt
d
−
−
∫
∞
t
du
u
f
t
f
)
(
)
(
)
(t
λ
dt
t
d
)
(
Λ
Λ
(t
)
∫
t
du
u
0
)
(λ
)
(t
Λ
∫
∞
t
d
u
u
f
t
f
)
(
)
(
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
Ć
M
IĘ
D
Z
Y
Λ
(t
)
a
f(
t)
(5
!
)
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
∫
∞
t
du
u
f
)
(
∫
−
t
du
u
e
0
)
(
λ
)
(
t
e
Λ−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
∫
t
du
u
f
0
)
(
∫
−
−
t
du
u
e
0
)
(
1
λ
)
(
1
t
e
Λ−
−
f(
t)
dt
t
dR
)
(
−
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
∫
−
⋅
t
du
u
e
t
0
)
(
)
(
λ
λ
)
(
)
(
t
e
dt
t
d
Λ−
⋅
Λ
λ(
t)
)
(
ln
t
R
dt
d
−
)]
(
1
ln[
t
F
dt
d
−
−
∫
∞
t
du
u
f
t
f
)
(
)
(
)
(t
λ
dt
t
d
)
(
Λ
Λ
(t
)
∫
t
du
u
0
)
(λ
)
(t
Λ
∫ ∫
∞
t
u
d
s
s
f
d
u
u
f
0
)
(
)
(
O
p
r.
A
d
a
m
K
a
d
z
iń
s
k
i
Z
E
S
T
A
W
IE
N
IE
Z
A
L
E
Ż
N
O
Ś
C
I
M
IĘ
D
Z
Y
P
R
O
B
A
B
IL
IS
T
Y
C
Z
N
Y
M
I
F
U
N
K
C
Y
J
N
Y
M
I
C
H
A
R
A
K
T
E
R
Y
S
T
Y
K
A
M
I
N
IE
Z
A
W
O
D
N
O
Ś
C
IO
W
Y
M
I
O
B
IE
K
T
Ó
W
N
IE
O
D
N
A
W
IA
N
Y
C
H
R
(t
)
F
(t
)
f(
t)
λ(
t)
Λ
(t
)
R
(t
)
)
(t
R
)
(
1
t
F
−
∫
∞
t
du
u
f
)
(
∫
−
t
du
u
e
0
)
(
λ
)
(t
e
Λ−
F
(t
)
)
(
1
t
R
−
)
(t
F
∫
t
du
u
f
0
)
(
∫
−
−
t
du
u
e
0
)
(
1
λ
)
(
1
t
e
Λ−
−
f(
t)
dt
t
dR
)
(
−
dt
t
dF
)
(
)
(t
f
∫
−
⋅
t
du
u
e
t
0
)
(
)
(
λ
λ
)
(
)
(
t
e
dt
t
d
Λ−
⋅
Λ
λ(
t)
)
(
ln
t
R
dt
d
−
)]
(
1
ln
[
t
F
dt
d
−
−
∫
∞
t
du
u
f
t
f
)
(
)
(
)
(t
λ
dt
t
d
)
(
Λ
Λ
(t
)
)
(
)
0(
ln
t
R
R
)
(
1
)
0(
1
ln
t
F
F
−
−
∫ ∫
∞
t
u
ds
s
f
du
u
f
0
)
(
)
(
∫
t
du
u
0
)
(
λ
)
(t
Λ