Estymacja parametrów rozkładów
Artur Wilkowski
11 maja 2014
Estymacja parametrów rozkładów
Artur Wilkowski
11 maja 2014
Teoretyczny model wyników pomiaru
Teoretyczny model wyników pomiaru
A. Wilkowski
Teoretyczny model wyników pomiaru
Wykonujemy n pomiarów tej samej wielkości. Każdy pomiar jest
obarczony błędem losowym
x
ob
i
= x + ε
i
, dla i = 1, . . . , n
Zakładamy, że błędy losowe się ”znoszą”, czyli E(ε
i
) = 0. Wtedy:
E(x
ob
i
) = x
W praktyce geodezyjnej posługujemy się pojęciem ”poprawki”,
czyli v
i
= −ε
i
, wtedy
v
i
= x − x
ob
i
o tyle trzeba ”poprawić” zaburzoną obserwację, żeby uzyskać
wartość dokładną.
A. Wilkowski
Teoretyczny model wyników pomiaru
W praktyce nie mamy dostępu do wartości ”prawdziwej” pomiaru
x
i
ani do ”prawdziwej” poprawki v
i
. Zamiast tego na podstawie
obserwacji x
ob
i
, obliczamy estymator wartości prawdziwej x:
ˆ
x = ˆ
E(x
ob
).
Estymator można interpretować jako estymator wartości
oczekiwanej obserwacji - które są zmiennymi losowymi.
Należy pamiętać, że estymator ˆ
x bardzo rzadko jest równy wartości
prawdziwej ˆ
x, jest obarczony pewnym błędem losowym
ˆ
x = x + η
Estymator poprawki można wtedy przedstawić jako
ˆ
v
i
= ˆ
x − x
ob
i
= v
i
+ η
Należy pamiętać, że:
ˆ
x - nie jest wartością prawdziwą estymowanej wartości
ˆ
v
i
- nie jest wartością prawdziwą poprawki
A. Wilkowski
Teoretyczny model wyników pomiaru
Najprostszy model funkcjonalny (dokonujemy n pomiarów jednej
wielkości)
v
1
= x − x
ob
1
v
2
= x − x
ob
2
..
.
v
n
= x = x
ob
n
W postaci macierzowej
V = 1
n
x − x
ob
gdzie
V =
v
1
v
2
..
.
v
n
1
n
=
1
1
..
.
1
x
ob
=
x
ob
1
x
ob
2
..
.
x
ob
n
A. Wilkowski
Teoretyczny model wyników pomiaru
Model uogólniony (liniowy)
V = x − x
ob
oraz
x
1
= a
11
X
1
+ a
12
X
2
+ . . . a
1r
X
r
+ w
1
x
2
= a
21
X
1
+ a
22
X
2
+ . . . a
2r
X
r
+ w
2
· · ·
x
n
= a
n1
X
1
+ a
n2
X
2
+ . . . a
nr
X
r
+ w
n
A. Wilkowski
Teoretyczny model wyników pomiaru
W postaci macierzowej
x = AX + w
gdzie
x =
x
1
x
2
..
.
x
n
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1r
a
21
a
22
· · ·
a
2r
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
a
n1
a
n2
· · ·
a
nr
X =
X
1
X
2
..
.
X
r
X jest nazywany wektorem parametrów.
A. Wilkowski
Przykład. Sieć niwelacyjna - model wyników pomiaru
h
1−2
= h
2
− h
1
h
2−1
= h
1
− h
2
h
1−3
= h
3
− h
1
h
2−3
= h
3
− h
2
h
101−2
= h
2
− 156.482
h
1−101
= 156.482 − h
1
Porządkujemy wyrazy
h
1−2
=
− h
1
+
h
2
h
2−1
=
h
1
− h
2
h
1−3
=
− h
1
+
h
3
h
2−3
=
− h
2
+
h
3
h
101−2
=
h
2
− 156.482
h
1−101
=
− h
1
+
156.482
A. Wilkowski
W zapisie wektorowo-macierzowym
A =
−1
1
0
1
−1 0
−1
0
1
0
−1 1
0
1
0
−1
0
0
x =
h
1−2
h
2−1
h
1−3
h
2−3
h
101−2
h
1−101
X =
h
1
h
2
h
3
w =
0
0
0
0
−156.482
156.482
Wartości (przewyższenia) faktycznie zaobserwowane np.
x
obs
=
−1.235
1.229
9.992
11.232
−9.495
−8.250
A. Wilkowski
Macierze kowariancji kofaktorów i wag
Macierze kowariancji kofaktorów i wag
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 10 z 20
Macierze kowariancji, kofaktorów i wag.
Przyjmujemy, że obserwacji są między sobą niezależne, dlatego
macierz kowariancji wyników obserwacji ma postać
C
x
ob
=
σ
2
1
0
· · ·
0
0
σ
2
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
σ
2
n
W praktyce wariancje zastępujemy kofaktorami - błędami średnimi
pomiaru
C
x
ob
= σ
2
0
Q
X
ob
gdzie σ
2
0
- nieznany współczynnik wariancji, natomiast Q
X
ob
ma
postać
Q
x
ob
=
q
1
0
· · ·
0
0
q
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
q
n
=
m
2
1
0
· · ·
0
0
m
2
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
m
2
n
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 11 z 20
Macierze kowariancji, kofaktorów i wag.
Macierzą wag jest macierz proporcjonalna do odwrotności macierzy
kofaktorów
P = cQ
−1
x
ob
=
c
m
2
1
0
· · ·
0
0
c
m
2
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
c
m
2
n
=
p
1
0
· · ·
0
0
p
2
· · ·
0
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
· · ·
p
n
gdzie c > 0 jest pewną stałą. Na rozwiązanie problemu
estymacji parametrów wpływają stosunki między wagami, nie
ich bezwzględne wartości.
Relacja między macierzą kowariancji i wag
C
x
ob
=
1
c
σ
2
0
P
−1
lub przyjmując c = 1
C
x
ob
= σ
2
0
P
−1
oraz P = σ
2
0
C
−1
X
ob
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 12 z 20
Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji
Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 13 z 20
Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji
Problem I. Estymacja wektora wartości oczekiwanych obserwacji,
czyli estymacja ”prawdziwych” wartości pomiarów.
E(x
ob
) = x
Stosujemy metodę ”najmniejszych kwadratów”. Kryterium
optymalizacyjnym jest
min
X
(
ζ(X) =
X
i=1...n
p
i
v
2
i
)
= ζ( ˆ
X) =
X
i=1...n
p
i
ˆ
v
2
i
Procedura estymacji (metoda pośrednia):
1
Estymujemy wartości parametrów X
1
, . . . , X
r
, czyli
ˆ
X
1
, . . . , ˆ
X
r
2
Korzystając z modelu obliczamy poszukiwany estymator
ˆ
E(x
ob
) = ˆ
x = A ˆ
X + w
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 14 z 20
Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji
Z modelu wiemy, że V = x − x
ob
oraz x = AX + w, zatem
V = AX + w − x
ob
|
{z
}
L
zatem
V = AX + L
gdzie L = w − x
ob
jest wektorem wyrazów wolnych. Zakładamy, że
A jest macierzą kolumnowo pełnego rzędu i f = n − r jest liczbą
obserwacji nadliczbowych.
Przy tych oznaczeniach kryterium optymalizacyjne metody
najmniejszych kwadratów.
ζ(x) =
n
X
i=1
p
i
v
2
i
= V
T
P V
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 15 z 20
Estymacja punktowa wektora wartości oczekiwanych
obserwacji
Przy takich założeniach estymatorem wartości oczekiwanej
parametrów X
1
, . . . , X
r
jest
ˆ
X = −(A
T
P A)
−1
A
T
P L
Natomiast poszukiwanym estymatorem najmniejszych kwadratów
wektora wartości oczekiwanych E(x
ob
) = x jest
ˆ
x = ˆ
E(x
ob
) = A ˆ
X + w
Jeżeli x
ob
ma rozkład normalny, powyższy estymator jest też
estymatorem największej wiarygodności.
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 16 z 20
Estymacja punktowa współczynnika wariancji
Estymacja punktowa współczynnika wariancji
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 17 z 20
Estymacja punktowa współczynnika wariancji
Problem II. Naszym celem jest estymacja macierzy kowariancji
C
x
ob
. Ponieważ macierz kowariancji wektora obserwacji, jest w
relacji do macierzy wag P
C
x
ob
= σ
2
0
P
−1
więc zadanie należy rozpocząć od określenia estymatora
współczynnika wariancji σ
2
0
. Załóżmy, że znamy już estymatory
wartości oczekiwanej wektora parametrów ˆ
X oraz poprawek ˆ
V
(
ˆ
X = −(A
T
P A)
−1
A
T
P L
ˆ
V = A ˆ
X + L
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 18 z 20
Estymacja punktowa współczynnika wariancji
Estymator kwadratowy współczynnika wariancji (nieobciążony,
niezmienniczy wzgl. X i najefektywniejszy), wyraża się jako
ˆ
σ
2
0
=
1
n − r
ˆ
V
T
P ˆ
V = m
2
0
m
0
jest również nazywane błędem średnim typowej obserwacji.
Jeżeli x
ob
ma rozkład normalny, powyższy estymator jest też
estymatorem największej wiarygodności.
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 19 z 20
Przypadki szczególne
1
n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, każdy pomiar
ma identyczną wariancję
ˆ
x =
1
n
P
n
i=1
x
ob
i
ˆ
σ
2
=
1
n−1
P
n
i=1
ˆ
v
2
i
2
n niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości, pomiary mają
różne wariancje
ˆ
x =
P
n
i=1
p
i
x
ob
i
P
n
i=1
p
i
ˆ
σ
0
2
= ˆ
V P ˆ
V
T
=
1
n−1
P
n
i=1
p
i
ˆ
v
2
i
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 21 z 20
[1] P. Grzegorzewski, K. Bobecka, A. Dembińska, J. Pusz.
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka.
Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania, 2001.
[2] J. Jakubowski, R. Sztencel.
Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego.
SCRIPT, 2002.
[3] Zbigniew Wiśniewski.
Rachunek Wyrównawczy w Geodezji (z przykładami).
Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w
Olsztynie, 2009.
A. Wilkowski
Estymacja parametrów rozkładów 22 z 20
