ESTYMACJA PUNKTOWA
Optymalność
Własności
Parametr θ
Estymator Tn E(Tn) D2(Tn)
w sensie
Uwagi
estymatora
metody
2
1) nieobciążony
n
1
σ
MM,
x = ∑ x
µ
2) zgodny
i
MNK,
n
n
3) najbardziej
i=1
wartość
MNW
efektywny*
średnia
µ
1
2
π σ
metoda
zbiorowość generalna
mediana z próby
µ + O
⋅
1) zgodny
n
2
n
kwantyli
normalna, duża próba
częstość względna z
wskaźnik
próby
p 1
( − p) 1) nieobciążony struktury p
m
p
2) zgodny
MNW
m-liczba obserwacji
pˆ =
n
3) najbardziej
wyróżnionych w próbie
n
efektywny
2
S
1) nieobciążony
* =
4
η −σ
2) zgodny
MNW
n
2
4
= 1 ∑
σ
( x
µ ) 2
3) najbardziej
(zał: X:N)
i −
n
n i=1
efektywny *
η σ
4 −
4
2
S
wariancja
=
+
n
MM,
2
n
n −1
σ
= 1
∑
2
( x
x ) 2
σ
1) zgodny
MNW
i −
η
n
n
(zał: X:N)
- czwarty moment
4
i=1
1
+
o
centralny
n
4
2
ˆ S =
η σ
4 −
+
n
n
= 1 ∑ ( x x ) 2
2
1) nieobciążony
i −
____
n −1
σ
2) zgodny
i=1
1
+
o
n
η − 4
σ
4
+
odchylenie
2
1
4σ n
jak dla
standardowe
S S , Sˆ
σ + O
1) zgodny
estymatorów
σ
*
n
wariancji
+ 1
o
n
współcz.
1
(
2
− ρ )2
korelacji
r
1
MM,
wzór na wariancję
ρ + O
liniowej
(współ. korel.
n − 1
1) zgodny
MNW
ważny dla bardzo
ρ
n
liniowej Pearsona)
(zał: X:N) dużych n
* Najwyższą efektywność ustalono przy założeniu normalnego rozkładu w populacji generalnej MM – metoda momentów, MNK – metoda najmniejszych kwadratów, MNW – metoda największej wiarygodności Źródło: Pawłowski Z. (1966). Wstęp do statystyki matematycznej. PWN, Warszawa, s.298-299
Pawłowski Z. (1980). S tatystyka matematyczna. PWN, Warszawa, s.102-106
3
Błąd średniokwadratowy estymatora MSE(Tn)=D2(Tn)+[B(Tn)]2
MSE(Tn)=E(Tn- θ )2 – błąd średniokwadratowy estymatora (ang. Mean Square Error) MSE(T ) jest miarą dokładności estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się n
od rzeczywistej wartości parametru.
Czym mniejszy MSE (pierwiastek z MSE) tym większa dokładność.
D2(T
2
n)= E(Tn- E(Tn))2 – wariancja estymatora (
(
D T ) = D (T ) - średni błąd szacunku estymatora) n
n
(
D T ) jest miarą precyzji estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się od n
wartości oczekiwanej estymatora.
Czym mniejsza wariancja (średni błąd szacunku) tym większa precyzja.
B(Tn)=E(Tn)- θ - obciążenie estymatora Gdy obciążenie estymatora wynosi zero to estymator jest nieobciążony czyli oszacowania nie są obciążone błędem systematycznym. Gdy natomiast obciążenie jest różne od zera to estymator jest obciążony, czyli oszacowania są obciążone błędem systematycznym.
Uwaga:
Jeśli estymator Tn jest nieobciążony (czyli gdy E(Tn)=Υ) wówczas MSE(Tn)=D2(Tn) i przy interpretacji błędu szacunku (
D T ) można skorzystać z interpretacji pierwiastka błędu średniokwadratowego MSE(T )
n
n
Własności estymatorów
Estymator nazywa się nieobciążonym, jeśli E(Tn)=θ (czyli B(Tn)=0) Estymator nazywa się asymptotycznie nieobciążonym, jeśli 0
lim (
B T ) =
n
n→∞
Estymator nazywa się zgodnym, jeśli lim {
P T
przy każdej dowolnie małej dodatniej wartości ε .
n − θ < ε }= 1
n→∞
Tw. Jeśli 0
lim D2 (T ) = i estymator jest nieobciążony lub asymptotycznie nieobciążony to estymator jest n
n→∞
zgodny
Nieobciążony estymator *
T nazywamy efektywnym jeśli ma najmniejszą wariancję ze wszystkich n
estymatorów należących do klasy estymatorów nieobciążonych.
Wskaźnik efektywności estymatora Tn (gdzie *
T jest estymatorem efektywnym): n
2
*
e(T =
; e(T
n )∈<
1
,
0 >
n )
D (Tn )
D2 (T )
n
4