dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
1
Dokończenie Wykładu 2. Zmienna losowa i jej charakterystyki (str. 9 – 15)
3. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych
3.1. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu
dyskretnego
1. Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy, skoncentrowany w punkcie
𝑥
0
,
oznaczany przez
𝛿(𝑥
0
), jeżeli
𝑃(𝑋 = 𝑥
0
) = 1.
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑥
0
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 0.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
2
2. Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny jednostajny (równomierny) na zbiorze
{𝑥
1
, 𝑥
2
, … , 𝑥
𝑛
}, jeżeli
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) =
1
𝑛
, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
Wartość oczekiwana i wariancja:
𝐸𝑋 =
1
𝑛
∑
𝑥
𝑖
𝑛
𝑖=1
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =
1
𝑛
∑
(𝑥
𝑖
− 𝐸𝑋)
2
=
1
𝑛
∑
𝑥
𝑖
2
− (𝐸𝑋)
2
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
.
3. Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p,
0 < 𝑝 < 1, jeżeli
𝑃(𝑋 = 𝑥
1
) = 𝑝, 𝑃(𝑋 = 𝑥
2
) = 𝑞 = 1 − 𝑝, 𝑥
1
≠ 𝑥
2
.
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑝𝑥
1
+ 𝑞𝑥
2
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑝𝑞(𝑥
1
− 𝑥
2
)
2
.
W przypadku, gdy
𝑥
1
= 1 i 𝑥
2
= 0 rozkład dwupunktowy nazywamy rozkładem
zerojedynkowym lub rozkładem Bernoulliego, oznaczany przez
𝐵𝑒(𝑝). Wartość
oczekiwana i wariancja:
𝐸𝑋 = 𝑝, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑝𝑞.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
3
4. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n, p (
𝑛 ∈ ℕ, 0 < 𝑝 < 1)
oznaczany przez
𝐵(𝑛, 𝑝), jeżeli
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝
𝑘
𝑞
𝑛−𝑘
, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛, 𝑞 = 1 − 𝑝.
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑛𝑝, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑛𝑝𝑞.
Jeżeli 𝑋
𝑖
, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
zerojedynkowym:
𝑃(𝑋
𝑖
= 1) = 𝑝, 𝑃(𝑋
𝑖
= 0) = 𝑞 = 1 − 𝑝, to zmienna losowa
𝑋 = ∑
𝑋
𝑖
𝑛
𝑖=1
ma rozkład
𝐵(𝑛, 𝑝).
5. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem
𝜆 (𝜆 > 0), oznaczany przez
𝑃𝑜(𝜆), jeżeli
𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝜆
𝑘
𝑘!
𝑒
−𝜆
, 𝑘 = 0, 1, 2, …
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜆, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜆.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
4
6. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p,
0 < 𝑝 < 1, oznaczany
przez
𝐺𝑒(𝑝), jeżeli
𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑝𝑞
𝑘
, 𝑘 = 0, 1, 2, …, 𝑞 = 1 − 𝑝
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =
𝑞
𝑝
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =
𝑝
𝑞
2
.
7. Zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami n, p
(𝑛 ∈ ℕ, 0 < 𝑝 < 1), oznaczany przez 𝑁𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝), jeżeli
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛 + 𝑘 − 1
𝑘
) 𝑝
𝑛
𝑞
𝑘
, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛, 𝑞 = 1 − 𝑝.
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =
𝑛𝑞
𝑝
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =
𝑛𝑞
𝑝
2
.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
5
3.2. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu absolutnie
ciągłego
Oznaczenia:
Indykator zbioru (zdarzenia) 𝐴:
𝐼
𝐴
(𝑥) = {
1, gdy 𝑥 ∈ 𝐴,
0, gdy 𝑥 ∉ 𝐴.
Funkcja gamma:
Γ(𝑝) = ∫ 𝑥
𝑝−1
𝑒
−𝑥
𝑑𝑥,
+∞
0
𝑝 > 0,
Γ(𝑝 + 1) = 𝑝Γ(𝑝),
Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!, 𝑛 ∈ ℕ,
Γ (
1
2
) = √𝜋.
Funkcja beta:
𝛽(𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑥
𝑎−1
(1 − 𝑥)
𝑏−1
𝑑𝑥, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0,
1
0
𝛽(𝑎, 𝑏) =
Γ(𝑎)Γ(𝑏)
Γ(𝑎+𝑏)
.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
6
8. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (prostokątny) na odcinku (
𝑎, 𝑏), oznaczany
przez
𝑈(𝑎, 𝑏), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
𝑏 − 𝑎
𝐼
(𝑎,𝑏)
(𝑥) = {
1
𝑏 − 𝑎
, gdy 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),
0,
gdy 𝑥 ∉ (𝑎, 𝑏).
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =
𝑎+𝑏
2
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =
(𝑏−𝑎)
2
12
.
Dla zmiennej losowej
𝑋 o rozkładzie 𝑈(0,1) mamy 𝐸𝑋 =
1
2
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =
1
12
.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
7
9. Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami
𝑝, 𝜆 (𝑝 > 0, 𝜆 > 0 ), oznaczany
przez
Γ(𝑝, 𝜆), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
𝜆
𝑝
Γ(𝑝)
𝑥
𝑝−1
𝑒
−
𝑥
𝜆
𝐼
(0,+∞)
(𝑥).
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑝𝜆, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑝𝜆
2
.
10. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem
𝜆 ( 𝜆 > 0 ), oznaczany
przez
𝐸𝑥𝑝(𝜆), jeżeli jej gęstość wyraża się wzorem
𝑓(𝑥) =
1
𝜆
𝑒
−
𝑥
𝜆
𝐼
(0,+∞)
(𝑥).
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜆, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜆
2
.
Rozkład
Exp(𝜆) jest rozkładem Γ(1, 𝜆).
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
8
11. Zmienna losowa X ma rozkład Laplace’a (podwójny wykładniczy) z parametrem
𝜆
( 𝜆 > 0 ), oznaczany przez 𝐿𝑎(𝜆), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
2𝜆
𝑒
−
|𝑥|
𝜆
, 𝑥 ∈ ℝ.
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 0, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 2𝜆
2
.
12. Zmienna losowa X ma rozkład beta z parametrami
𝑎, 𝑏 ( 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 ), oznaczany
przez
𝛽(𝑎, 𝑏), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
𝛽(𝑎,𝑏)
𝑥
𝑎−1
(1 − 𝑥)
𝑏−1
𝐼
(𝑎,𝑏)
(𝑥).
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =
𝑎
𝑎+𝑏
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =
𝑎𝑏
(𝑎+𝑏)
2
(𝑎+𝑏+1)
.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
9
13. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego z parametrami
𝑚, 𝜆 (𝑚 ∈ ℝ, 𝜆 > 0),
oznaczany przez
𝐶(𝑚, 𝜆), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
𝜆
2
𝜆
2
+(𝑥−𝑚)
2
,
𝑥 ∈ ℝ.
Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu nie istnieją.
Standardowy rozkład Cauchy’ego 𝐶(0,1) ma gęstość postaci 𝑓(𝑥) =
1
𝜋
1
1+𝑥
2
,
𝑥 ∈ ℝ.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
10
14. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami
𝜇, 𝜎 (𝜇 ∈ ℝ, 𝜎 > 0),
oznaczany przez
𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋𝜎
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2𝜎2
,
𝑥 ∈ ℝ.
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜇, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜎
2
.
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład 𝑁(𝜇, 𝜎), to zmienna losowa 𝑌 =
𝑋−𝜇
𝜎
ma
standardowy rozkład normalny 𝑁(0,1) o dystrybuancie
Φ(𝑥) =
1
√2𝜋
∫
𝑒
−
𝑡2
2
𝑥
−∞
𝑑𝑡,
której wartości są stablicowane dla 𝑥 ≥ 0. Dla 𝑥 < 0 korzystamy ze wzoru
Φ(−𝑥) = 1 − Φ(𝑥).
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
11
15. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny z parametrami
𝜇, 𝜎
(𝜇 ∈ ℝ, 𝜎 > 0), oznaczany przez ℒ𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli jej gęstość jest postaci
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋𝜎𝑥
𝑒
−
(𝑙𝑛𝑥−𝜇)2
2𝜎2
𝐼
(0,+∞)
(𝑥).
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑒
𝜇+
𝜎2
2
, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = (𝑒
𝜎
2
− 1)𝑒
2𝜇+𝜎
2
.
Zmienna losowa X ma rozkład
ℒ𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli zmienna losowa 𝑙𝑛𝑋 ma rozkład
𝑁(𝜇, 𝜎).
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
12
16. Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta z n stopniami swobody (
𝑛 ∈ ℕ
+
),
oznaczany przez
𝑡(𝑛), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
Γ(
𝑛+1
2
)
√𝜋𝑛Γ(
𝑛
2
)
1
(1+
𝑥2
𝑛
)
𝑛+1
2
, 𝑥 ∈ ℝ.
Wartość oczekiwana i wariancja:
𝐸𝑋 = 0, określona dla 𝑛 > 1,
𝑉𝑎𝑟𝑋 =
𝑛
𝑛−2
, określona dla 𝑛 > 2.
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
13
17. Zmienna losowa X ma rozkład
𝝌
𝟐
(
𝜒 − kwadrat) z n stopniami swobody (𝑛 ∈ ℕ
+
),
oznaczany przez
𝜒
2
(𝑛), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑛
2
Γ(
𝑛
2
)
𝑥
𝑛
2
−1
𝑒
−
𝑥
2
𝐼
(0,+∞)
(𝑥).
Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑛, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 2𝑛.
Rozkład 𝜒
2
(𝑛) jest rozkładem Γ (
𝑛
2
, 2).
Jeżeli 𝑋
1
, 𝑋
2
, … , 𝑋
𝑛
są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
𝑁(0,1), to zmienna losowa 𝑋 = ∑
𝑋
𝑖
2
𝑛
𝑖=1
ma rozkład
𝜒
2
(𝑛).
dr Tomasz Walczyński –
Statystyka
(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)
14
18. Zmienna losowa X ma rozkład F (Snedecora, Fishera) z m i n stopniami swobody
(
𝑚 ∈ ℕ
+,
𝑛 ∈ ℕ
+
), oznaczany przez
𝐹(𝑚, 𝑛), jeżeli jej gęstość ma postać
𝑓(𝑥) =
(
𝑚
𝑛
)
𝑚
2
𝑥
𝑚
2 −1
β(
𝑚
2
,
𝑛
2
)
(1 +
𝑚
𝑛
𝑥)
−
𝑚+𝑛
2
𝐼
(0,+∞)
(𝑥).
Wartość oczekiwana i wariancja:
𝐸𝑋 =
𝑛
𝑛−2
, określona dla 𝑛 > 2,
𝑉𝑎𝑟𝑋 =
2𝑛
2
(𝑚+𝑛−2)
𝑚(𝑛−2)
2
(𝑛−4)
, określona dla 𝑛 > 4.
Rozkład 𝜒
2
(𝑛) jest rozkładem Γ (
𝑛
2
, 2).
Jeżeli 𝑌 i 𝑍 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach 𝜒
2
(𝑚) i 𝜒
2
(𝑛)
odpowiednio, to zmienna losowa
𝑋 =
𝑌
𝑚
𝑍
𝑛
ma rozkład
𝐹(𝑚, 𝑛).