Rachunek zbiorów

Aparat rachunku zdań nie wychwytuje na przykład sylogizmów. Dlatego w ich przypadku konieczne jest wykorzystanie rachunku zbiorów.

Język rachunku zbiorów:

x, y, z... - elementy

A, B, C, D - zbiory

α, β, γ, δ - rodziny zbiorów

• 1 (U) - uniwersum, zbiór pełny, w obrębie którego rozpatrywane są interesujące nas zbiory

1 = {x | x = x}

• 0 (∅) - zbiór pusty

0 = {x | x ≠ x}

Relacje:

• ⊂ - bycie podzbiorem (inkluzja)

A ⊂ B ↔ ∀x(x∈A → x∈B)

relacja zwrotna - A ⊂ A

relacja przechodnia - A ⊂ B ∧ B ⊂ C → A ⊂ C

relacja antysymetryczna - A ⊂ B ∧ B ⊂ A → A = B

• ⊂ - bycie podzbiorem właściwym (inkluzja właściwa)

A ⊂ B ↔ A ⊂ B ∧ ∼(B ⊂ A)

• = - równość zbiorów

zasada ekstensjonalności: A = B ↔ ∀x(x∈A ↔ x∈B)

• - rozłączność zbiorów

A B ↔ ∼∃x(x∈A ∧ x∈B)

• - krzyżowanie się zbiorów

A B ↔ ∃x(x∈A ∧ x∈B) ∧ ∃x(x∈A ∧ x∉B) ∧ ∃x(x∉A ∧ x∈B)

Diagramy Venna:

A ⊂ B ∨ B ⊂ A ∨ A = B ∨

A B ∨ A B

LOGIKA