METODY NUMERYCZNE

LABORATORIUM

TEMAT: Metoda Newtona.

Jacek Łabusiewicz

Gr. 7

Graficzna postać metody Newtona:

Mamy daną funkcję f(x), jeden punkt startowy x_o i przedział <a,b> poszukiwań pierwiastka, do którego należy punkt x_o. W przedziale poszukiwań pierwiastka funkcja musi spełniać następujące warunki:

• Funkcja f(x) jest określona.

• Funkcja f(x) jest ciągła.

• Funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki.

• W przedziale <a,b> pierwsza pochodna f '(x) jest różna od zera.

Gdy funkcja f(x) spełnia podane warunki, to w przedziale <a,b> istnieje pierwiastek i możemy go wyszukać właśnie tą medodą.

Wzór Newtona pozwala wyliczyć punkt przecięcia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x_i-1 z osią OX. Do wyznaczenia kolejnego przybliżenia pierwiastka x_i potrzebujemy tylko jednego punktu, który został wyznaczony w poprzednim obiegu.

Zaletą metody Newtona jest bardzo szybka zbieżność. Wadą natomiast jest to że we wzorze występuje pochodna, której obliczenie może być trudne dla niektórych funkcji. Jednakże metodę Newtona najczęściej stosuje się do wielomianów, których pochodne są bardzo proste i liczy się je algorytmicznie.

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest umiejętne posługiwanie się pętlą „while” oraz analiza szybkości zbieżności metody Newtona.

Wykonanie

Wybieramy równanie nieliniowe oraz przedział, w którym będą poszukiwane pierwiastki tego równania. Następnie wybieramy punkt startowy x₀ od którego zaczniemy poszukiwanie pierwiastka oraz dokładność. Implementujemy metodę Newtona za pomocą, której będziemy poszukiwali pierwiastka równania.

• Równanie nieliniowe: y=5x²-10x

• Przedział: <1;6>

• Punkt startowy: x₀=3

Budowa Programu

x=3; %Punkt od które zaczynamy poszukiwanie pierwiastka (x₀)

z=0; %Zmienna do zliczania ilości kroków

p=1;

while abs(p)>=0.001 %Początek pętli liczącej pierwiastek funkcji

if (x>=1) & (x<=6) %sprawdzającej dokładność przybliżenia

p=(5.*x.^2-10.*x);

q=(10.*x-10);

p=p/q;

x=x-p;

z=z+1;

end

x

end

z

Analiza szybkości zbieżności metody

Dla stałego pierwszego przybliżenia, zmieniamy dokładność i określamy ilość kroków niezbędnych do otrzymania wyniku.

Dokładność	Ilość kroków
1	1
0.1	3
0.01	4

Wyniki

Pierwsze przybliżenie	Ilość kroków
3	4
4	5
5	5

Dla stałej dokładności zmieniamy pierwsze przybliżenie i określamy ilość kroków prowadzących do właściwego wyniku.

Wyniki

Wnioski

Zbadaliśmy ilość kroków niezbędnych do otrzymania właściwego wyniku oraz wpływ dokładności i wyboru pierwszego przybliżenia na szybkość zbieżności metody. Z wyników wynika, że wraz ze wzrostem dokładności rośnie ilość kroków niezbędnych do uzyskania wyniku. Na szybkość zbieżności decydującą rolę ma wybór pierwszego przybliżenia, im wybrany przez nas punkt startowy znajduje się dalej pierwiastka równania tym ilość kroków jest większa.

---