Metoda redukcji Gaussa - Jordana.

     

    Redukcja Gaussa - Jordana  jest innym sposobem eliminacji niewiadomych, niż w opisanej wyżej metodzie Gaussa. Różnica  polega  na tym, że redukcję robimy w całej k-tej kolumnie, a nie tylko poniżej elementu głównego. Układ równań postaci

                                  
                            (1.36)

przekształcamy w następujący sposób: Pierwsze równanie dzielimy obustronnie przez
, a następnie od i-tego wiersza, i=2, 3, ..., n, odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez
. Otrzymujemy układ równań postaci

                                     
                                (1.37)

Następnie drugie równanie dzielimy obustronnie przez
 i od  i-tego wiersza,

i = 1, 3, 4, ..., n,  odejmujemy wiersz drugi, pomnożony przez
, otrzymując w ten sposób układ równań

                                     
                               (1.38)

Po  wykonaniu (n-1) eliminacji otrzymujemy układ równań postaci

                                               
                                          (1.39)

zatem  układ   (1.39)  jest rozwiązaniem układu równań  (1.36).

Metoda ta umożliwia rozwiązywanie układu równań przy oszczędniejszym wykorzystaniu pamięci operacyjnej, niż w metodzie Gaussa - mniejsza jest liczba współczynników układu, które w czasie obliczeń muszą jednocześnie znajdować się w pamięci komputera. Można zatem metodą redukcji Gaussa - Jordana rozwiązać większe układy równań [4].

Przykład 3.     Rozwiązywanie układów równań metodą redukcji Gaussa - Jordana

Rozwiązać układ równań:

                                             
                                             (2.8)

Pierwsze równanie układu (2.8) dzielimy obustronnie przez współczynnik przy x₁ w pierwszym równaniu ( a₁₁=1).

W wyniku dzielenia otrzymujemy równanie

                                                   
                                                    (2.9)

Następnie mnożymy równanie (2.9) przez  współczynnik przy x₁ w drugim równaniu (a₂₁=4). W wyniku tego mnożenia otrzymujemy równanie

                                                   
                                              (2.10)

Od drugiego równania układu (2.8) odejmujemy stronami otrzymane w wyniku mnożenia równanie (2.10). Otrzymujemy równanie z wyeliminowaną zmienną x₁.

                                                      
                                               (2.11)

Następnie przystępujemy do eliminacji zmiennej x₁ z trzeciego równania układu (2.8). Podobnie jak poprzednio, mnożymy równanie (2.9), ale tym razem przez współczynnik przy x₁ w trzecim równaniu układu (2.8)  ( przez a₃₁=1). Otrzymujemy równanie

                                                     
                                               (2.12)

Od trzeciego równania układu (2.8) odejmujemy stronami otrzymane w wyniku mnożenia równanie (2.12). Otrzymujemy równanie

                                                    
                                                  (2.13)

Równania  (2.9), (2.11) i (2.13) tworzą pierwszy układ zredukowany z wyeliminowaną zmienną  x₁ z drugiego i trzeciego równania.

                                           
                                         (2.14)

Przystępujemy teraz do eliminacji  zmiennej x₂ z pierwszego i trzeciego równania. Dzielimy w tym celu stronami drugie równanie układu równań (2.14) przez współczynnik przy x₂ czyli a₂₂= -5 . Otrzymujemy w wyniku tego działania równanie

                                                      
                                                    (2.15)

Następnie mnożymy równanie (2.15) przez współczynnik przy x₂ w pierwszym równaniu układu (2.14) czyli a₁₂=2. Otrzymujemy w wyniku mnożenia równanie

                                                
                         (2.16)

Odejmujemy równanie (2.16) od pierwszego równania układu równań (2.14). Otrzymujemy równanie

                                                
                                                        (2.17)

Eliminujemy teraz  x₂  z trzeciego równania. Mnożymy w tym celu stronami równanie (2.15) przez współczynnik przy x₂ w trzecim równaniu, czyli a₃₂=-3. W wyniku otrzymujemy równanie

                                              
                                                   (2.18)

odejmujemy teraz stronami równanie  (2. 18) od trzeciego równania układu (2.14). Otrzymujemy równanie

                                                      
                                                          (2.19)

Równania (2.17),  (2.15) oraz  (2.19) tworzą drugi układ zredukowany z wyeliminowaną zmienną x₂ z pierwszego i trzeciego równania układu równań.

                                        
                                                 (2.20)

Należy teraz wyeliminować zmienną  x₃  z pierwszego i drugiego równania układu równań (2.20). Trzecie równanie układu (2.20) dzielimy obustronnie przez współczynnik przy x₃, czyli  a₃₃=
. Otrzymujemy równanie             

                                                              
                                                              (2.21)

Równanie  (2.21) mnożymy przez współczynnik przy x₃ w pierwszym równaniu układu równań (2.20) czyli
. Następnie otrzymane w ten sposób równanie odejmujemy od równania pierwszego układu (2.20). W wyniku odejmowania otrzymujemy równanie

                                                                   
                                                               (2.22)

Mnożymy następnie równanie (2.21) przez współczynnik przy x₃ w drugim równaniu układu równań (2.20), czyli
. Otrzymane równanie odejmujemy stronami od równania drugiego układu (2.20).  Otrzymujemy w wyniku równanie

                                                                
                                                               (2.23)

Równania (2.21), (2.22) oraz (2.23) tworzą trzeci układ zredukowany z wyeliminowaną zmienną x₃ z pierwszego i drugiego równania

                                             
                                                       (2.24)

Jak widać układ równań (2.24) jest rozwiązaniem układu równań  (2.8) czyli rozwiązaniem naszego zadania.

---