Damian Pluskwik gr.10 22.11.2007

Sprawozdanie

Rozwiązywanie równania nieliniowego metodą Newtona.

I. Funkcja: y =

II. Pochodna funkcji: y =

III. Źródło m-pliku:

x=3;

roznica=1;

k=0;

while roznica>dokładnosc

k=k+1

y=sqrt(x+1)-2;

y1=1/2sqrt*(x+1) ;

yn=x-(y/y1);

roznica abs(x-yn) ;

x=yn

end

k

IV. Wnioski

Wyznaczone pierwiastki:

dla stałego pierwszego przybliżenia x₀ = 2 zmieniam dokładność e:

dla 0,2 x = 1,6764 ilość kroków: k = 4;

dla 0,1 x = 2,7017 ilość kroków: k = 6

dla 0,05 x = 2,8651 ilość kroków: k = 9;

dla stałej dokładności 0,1 zmieniam pierwsze przybliżenie x:

dla x = 0 x = 2.7393 ilość kroków: k = 5;

dla x = 1 x = 2,7839 ilość kroków: k = 6;

dla x = 2 x = 2.7393 ilość kroków: k = 4;

Wyniki analizy zbieżności:

Z otrzymanych wyników wnioskuję że dla stałego pierwszego przybliżenia wraz ze zmniejszającą się dokładnością wynik oddala się od rzeczywistego, a także program wykonuje mniejszą liczbę kroków aby uzyskać zadowalający wynik.

Biorąc pod uwagę stałą dokładność widzimy, że im nasza wartość początkowa jest bliższa rozwiązaniu funkcji wartości uzyskiwane są coraz bardziej zbliżone do tej jaką powinniśmy otrzymać w rzeczywistości, program wykonuje także większą ilość kroków w celu osiągnięcia jak najdokładniejszego wyniku.

1. kiedy metoda Newtona nie jest zbieżna?

Metoda Newtona nie jest zbieżna, gdy po kilku iteracjach wracamy do punktu wyjściowego. Np. za punkt startowy przyjmujemy x₀, wartość tego punktu dla naszej funkcji będzie wynosiła wtedy f(x₀), rysujemy styczną do funkcji w punkcie x₀, która przecina oś x w punkcie x₁ dla którego funkcja będzie miała wartość f(x₁), ponownie kreślimy styczną do funkcji, tym razem w punkcie x1. Zauważamy że styczna ta przecina oś x w punkcie x₀, czyli powróciliśmy do punktu wyjściowego. Możemy tak postępować w nieskończoność nie zbliżając się do rozwiązania.

---