WYKŁAD 1 08.03.2011

Literatura:

1. Nowak, Edward. Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań. PWN.

2. Ekonometria. Metody, przykłady, zadania. Praca zbiorowa pod red. Józefa Dziechciarza. Wyd. AE Wrocław.

3. Osińska, Magdalena. Ekonometria współczesna. Toruń 2007.

Konsultacje: poniedziałki. 118P.

Egzamin: I część - pytania testowe prawda-fałsz.

II część - zadania z zakresu ekonometrii. (3-4 zadania)

Rozwój metod ekonometrycznych:

• Prawdopodobny twórca nazwy „ekonometria” - Frisch (1936 r.)

• Dawna definicja ekonometrii: „unifikacja ekonomii, statystyki i matematyki”

• Frisch przeprowadził doświadczenie zakłóconego ruchu wahadła

Ekonometria - mierzenie w ekonomii - zastosowanie metod statystycznych i matematycznych do analizy danych ekonomicznych celu nadania teoriom ekonomicznym kontekstu empirycznego oraz ich potwierdzenia bądź odrzucenia.

Ma zastosowanie praktycznie, nie powstają modele teoretyczne. Modele praktyczne mają wspomagać przewidywanie przyszłości i podejmowanie decyzji.

Historia metod ekonometrycznych:

Era 1

Era klasycznej metody najmniejszych kwadratów.

Era modeli N.Tinbergena

Era 2

Rozwój metod estymacji 2MNK, 3MNK, metoda zmiennych instrumentalnych. Powstały modele gospodarek Kleina I oraz II, Kleina-Goldbergera (1955 r.)

Model Kleina-Goldbergera złożony był z 23 równań. Jeden z nich służył opisaniu rozwoju gospodarki USA w okresie 1929-1952 z wyłączenie lat wojny 1942-1945 (USA kolebką ekonometrii jak Wielka Brytania kolebką statystyki).

Era 3

Zastosowanie analizy mnożnikowej - postać końcowa dynamicznego modelu ekonometrycznego.

Era 4

Wprowadzenie analizy spektralnej do ekonometrii. Prekursorzy analizy spektralnej to Jevons i Moore. Lata sześćdziesiąte to ponowne wprowadzenie analizy spektralnej.

Era 5

Powszechna komputeryzacja

Powstają makromodele będące podstawą symulacji i prognozowania. Metody input-output.

Era 6

Rozwój makromodelowania. Budowa modeli międzynarodowych obejmujących całe kontynenty, jak również świat. Tego typu modele zaliczane są do modeli budowanych w ramach systemu LINK (Link Project Forecast 1983 r.)

Model ekonomiczny a model ekonometryczny

Model ekonomiczny to zbiór założeń, które w sposób przybliżony opisują zachowanie się gospodarki/sektora gospodarki.

Model ekonometryczny to:

• zbiór równań behawioralnych

• deklaracja czy obserwowane zmienne zawierają błędy obserwacji

• specyfikacja błędów pomiaru - zakłóceń

Model ekonomiczny:

Ekonomiczne modelowanie ceny

q = α + βp β<0 gdzie q - popyt

p - cena

β<0

Równanie przy pewnych założeniach nie musi tak działać w rzeczywistości.

Teoria ekonomii rzadko daje odpowiedź na temat postaci funkcyjnej proponowanych zależności - są to przemyślenia, teoria.

Równanie behawioralne

zmienne obserwowane

/ \

q = α + βp + u zakłócenie losowe

część deterministyczna

Zakłócenie losowe zbiera zakłócenia modelu, skupia błędy; to część stochastyczna modelu. Zakłada się, że realizacje składnika losowego pochodzą z rozkładu normalnego.

Zakłócenie losowe u

Specyfikacja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej u:

1) E (u | p) = 0 („cena nie jest skorelowana z zakłóceniem losowym”)

2) wartości zmiennej u dla różnych obserwacji mają wzajemnie niezależne rozkłady normalne ze średnimi równymi 0 i wariancjami równym
.

Cele ekonometrii:

• formułowanie modeli ekonometrycznych - formułowanie modeli ekonomicznych w postaci nadającej się do weryfikacji empirycznej (istotne są moce obliczeniowe)

• estymacja i weryfikacja modeli ekonometrycznych

• zastosowanie modeli do prognozowania i symulacji (i również opisu sytuacji w sensie statycznym, w określonym momencie czasu)

Ekonometryczna analiza budowy:

Teoria ekonomiczna lub model - model ekonometryczny, dane - estymacja - testowanie specyfikacji oraz weryfikacja modelu (diagnostyka) - czy model jest odpowiedni?

Konkluzje

• ekonometria nie ma wyraźnie określonych granic.

• należy rozważać ją w powiązaniu z:

• ekonomią matematyczną - zajmującą się matematycznym formułowaniem teorii ekonomicznych

• teorią ekonometrii - konstrukcja modeli ekonometrycznych i opisu danych

• statystyką ekonomiczną - zbieranie, gromadzenie i organizacja danych statystycznych

Jednorównaniowy model ekonometryczny:

Specyfikacja modelu - pewien proces - określa się poniższe elementy:

Y = f(x₁, … x_k, ξ )

zmienna endogeniczna (w naszych rozważaniach zawsze będzie ilościowa, choć ogólnie nie musi być)

cel badania (np. bezrobocie, płace, populacja ludności)

x₁, … x_k, - zmienne objaśniające (zbiór nigdy nie jest zamknięty)

ξ - ksi - składnik losowy

f - postać analityczna modelu (wybierana w momencie analizy statystycznej)

Rozpatrując budowę modelu można wyróżnić następujące jego części:

część deterministyczna część stochastyczna modelu

Y_t = a₁X_1t + a₀ + ξ_t

\ /

parametry strukturalne modelu parametr wolny

Jest to model przyczynowo-skutkowy - pokazuje zależności miedzy Y i X.

Etapy budowy modelu ekonometrycznego

1. Określenie celu oraz zakresu badania.

2. Specyfikacja modelu ekonometrycznego (baza danych, wybór równania, etc.).

3. Zgromadzenie odpowiednich danych statystycznych.

4. Estymacja parametrów modelu ekonometrycznego.

5. Weryfikacja oszacowanego modelu.

6. Praktyczne wykorzystanie modelu ekonometrycznego.

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych.

Ze względu na cele budowy modelu ekonometrycznego oraz typy modeli:

• modele analityczno-opisowe (opisują stan podmiotu czy celu naszego badania)

• modele prognostyczny (większość modeli dynamicznych)

• symulacje i sterowania (związane z cybernetyką)

Miary jakości modelu ekonometrycznego:

• stopień dopasowania modelu do danych empirycznych

• dokładność parametrów modelu

• wartość informacyjna modelu

• sensowność interpretacji parametrów (jest jeden aekonomiczny model, pozbawiony sensownej interpretacji parametrów - model wektorowo-autoregresyjny, badający co dzieje się z podmiotem po uderzeniach losowych, kiedy podmiot dociera do swojej zwyczajowej ścieżki)

• wartość prognostyczna modelu (jak daleko w przyszłość możemy przewidywać)

Klasy modeli

- liniowy

Y_t = α₁X_1t + α₂X_2t + α₃X_3t + α₀ + ξ

• regresji trzech zmiennych

• liniowy

• dynamiczny

Y_t = β_tY_t-1 + α₁X_1t + α₂X_2t + α₀ + ξ

opóźniona w czasie zmienna - a więc model dynamiczny

sytuacja autoregresyjna - zmienna sama na siebie wpływa

- hiperboliczny - model nieliniowy, sprowadzany do postaci liniowego

- kwadratowy niezupełny

- krzywe logistyczne (trend logistyczny)

Ze względu na udział czynnika czasu modele ekonometryczne dzielimy na statyczne i dynamiczne.

Y_t = α₁t + α₀ + ξ_t

trend liniowy (tendencja rozwojowa)

DOBÓR ZMIENNYCH OBJASNIAJĄCYCH DO MODELU EKONOMETRYCZNEGO

METODA ANALIZY WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI

Jest to metoda dla analizy danych, których przebiegi mają charakter liniowy.

Badanie poziomu zróżnicowania zmiennych

„nie zawsze zmienna jest zmienną”; zmienna musi wykazywać zróżnicowanie wewnętrzne

Współczynnik zmienności dany następującą formułą:

gdzie

S_i - odchylenie standardowe zmiennej

- średnia arytmetyczna zmiennej

Można przyjąć a priori pewien poziom krytyczny dla współczynnika zmienności .Zwykle jest to

V*=0,1

Więc jeżeli V_i < V* to wewnętrzne zróżnicowanie jest zbyt niewielkie, by wykorzystać ją w modelu ekonometryczny - brak zróżnicowania więc brak możliwości stosowania metod ilościowych.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Wartości współczynnika korealni Pearsona zawiera się w przedziale [-1, 1] i dany jest następującą formułą:

kowariancja

odchylenia standardowe

Wykresy rozrzutu:

• dodatnia zależność liniowa między zmiennymi (x rośnie, y rośnie)

• ujemna zależność liniowa między zmiennymi (x rośnie, y maleje);

• brak zależności

• zależność krzywoliniowa.

Badanie istotności współczynnika korelacji liniowej:

H₀: r_xy = 0
H₁: r_xy ≠ 0

Sprawdzianem hipotezy jest statystyka testowa testu Studenta, dana jako:

W momencie testu nie interesuje nas kierunek zależności, a jedynie jej siła.

Interpretacja:

Jeżeli t_α ≥ t nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej - brak istotnej korelacji

Jeżeli t_α < t to hipotezę zerową należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej.

Zasady wyboru zmiennych:

1. Zmienna endogeniczna y_t jest istotnie z punktu widzenia statystycznego skorelowana z poszczególnymi zmiennymi objaśniającymi.

2. Zmienne objaśniające z punktu widzenia statystycznego są między sobą nieistotnie skorelowane (x₁, x₂ etc. nie są ze sobą skorelowane - inaczej tak samo wpływałyby na y; jeśli są skorelowane, wybiera się tą, która wpływa na y silniej)

Przykład

Macierz współczynników korelacji:

• kwadratowa

• symetryczna

Sprawdzamy czy korelacja między x₁ i x_{2 ­­­}jest istotna:

Przyjmijmy, że poziom istotności 5 % (α=0,05 - na 100 decyzji 5 razy popełnimy błąd).

Wartość krytyczna dla α=0,05 oraz n - 2=18 (18 stopni swobody, przy założeniu, że n- liczba realizacji zmiennych - to 20): t_{α ­­}= 2,101

Hipotezy są dane jako:

H₀:
= 0
H₁:
≠ 0

Statystyka testowa dana jest jako:

Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Zmienne x₁ i x₂ są od siebie niezależne, mogą pełnić role zmiennych objaśniających (odniesienie do drugiej zasady).

Estymacja parametrów strukturalnych modelu ekonometrycznego

Klasyczna Metoda Najmniejszych Kwadratów (KMNK).

Idea KMNK

Wyznaczenie ocen a₁, a₂,… a_k parametrów strukturalnych parametrów (alfa)1, (alfa)2, (alfa)3 strukturalnych aby suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości zmiennej endogenicznej Y_t od jej wartości teoretycznych obliczonych na podstawie oszacowanego modelu była najmniejsza..

Jeżeli mamy kilka modeli, to wybrać należy ten, dla którego ta suma jest jak najmniejsza.

Dany jest jednorównoaniowy model ekonometryczny:

Y_t = a₁X_1t + a₂X_2t +…+ a_k-1X_(k-1)t + a_k + ξ_t

t=1,2,…,n

Przy czym k-ta zmienna objaśniająca przyjmuje zawsze wartość 1 (tak więc parametr występujący przy niej jest nazywany parametrem wolnym)

Kryterium MNK ma następującą postać:

Czysty świat teoretyczny to wzór po eliminacji czynnika losowego.

Ostatecznie postać funkcji kryterium KMNK dana jest jako:

WYKŁAD 2 22.03.2011

Zastosowanie KMNK wymaga spełnienia następujących założeń (założenia klasyczne):

• postać modelu jest liniowa względem parametrów (bądź sprowadzalna do liniowej)

• zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi

• zmienne objaśniające nie wykazują współliniowości - co oznacza brak dokładnej zależności liniowej

Składnik losowy -> ξ - > E(ξ) = 0

D² (ξ) = σ²

Nie występie autokorelacja składnika losowego:

E(ξ _i, ξ _j) = 0 dla i ≠ j

Jest to miara pamięci czynnika losowego, która w czasie zanika.

Jeśli autokorelacja występuje, oznacza to, że realizacje są zależne od siebie; model musi zostać poprawiony.

Kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych objaśniających - składnik losowy nie jest skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi.

Przykład. Jedna zmienna objaśniająca. Regresja jednej zmiennej.

Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy oszacować parametry strukturalne modelu produkcji:

Y_t = α₁X_1t + α₀ + ξ_t

Y­_t - produkcja [tys. szt.]

X_1t - zatrudnienie [osoby]

Z wykresu można zobaczyć znak zależności dodatnią oraz siłę, która jest tym większa, im bardziej punkty są skupione. Nachylenie wykresu mniej więcej 45 stopni. Jeśli dorysowałoby się linię regresji, powinna ona przebiegać jak najbliżej każdego z tych punktów.

Następnie można rozpisać wykres produkcji w czasie; świat teoretyczny modelu, który generujemy, ma być jak najbardziej podobny do modelu świata rzeczywistego, widocznego na wykresie.

Kolumnowy wektor realizacji zmiennej endogenicznej oraz macierz X realizacji zmiennych objaśniających dane są jako:

35,2 28 1

33,8 24 1

Y = : X = : :

46, 8 32 1

Stosując formułę na wektor ocen parametrów strukturalnych czyli:

a = (X' X)^-1 X' Y

18 537 597 0,0014 - 0,0417

X'X = (X' X)^-1 =

597 20 - 0,0417 1,2935

Główna przekątna dodatnia - na niej wariancje estymatorów.

26772,3 1,3203

X' Y = a = Y_t = 1,3203 X_1t + 3,8483 + u­_t

865,2 3,8483

parametr wolny

Trzeba się upewnić czy możemy interpretować model.

Parametr musi mieć taki sam znak, jak współczynnik korelacji Pearsona.

Zagadnienie koincydencji.

Dany jest model:

Y_t = 1,3203 X_1t + 3,8483 + u­_t

oraz współczynnik korelacji liniowej Pearsona miedzy produkcją a zatrudnieniem.

r = 0,9349

Więc zmienna jest koincydentalna.

Jeśli parametr ma inny znak niż współczynnik korelacji Pearsona, oznacza to, że zbieżność jest pozorna.

Zasady koincydencji głosi, że

sgn (r_x,y) ≡ sgn (a_i)

stąd wynika, że:

sgn (r_X1t,Yt) ≡ sgn (a₁)

Wzrost zatrudnienia o jeden etat spowoduje przeciętny wzrost wielkości produkcji o 1,32 tys. szt.

a₀ = 3,8483 tys. szt. Taką przeciętną wartość przyjmie wielkość produkcji w przypadku gdy zatrudnienie będzie równe zero. Nawet przy braku sensownej interpretacji, podaje się ją i tak.

Weryfikacja modelu.

Wartości teoretyczne modelu dane są następująca formułą:

Y_t* = 1,3203 X_1t + 3,8483

wartości teoretyczne modelu

Zatem mamy:

Y₁* = 1,3203 * 28 + 3,8483 = 40,8174

Y₂* = 1,3203 * 24 + 3,8483 = 35,5361

: : : : :

Y₂₀* = 1,3203 * 32 + 3,8483 = 46,0979

Sprawdzamy czy na wykresie wartości teoretyczne i empiryczne są podobne; szczególnie w ostatnim okresie ważne jest, żeby wartości te były możliwie bliskie, a nie rozbieżne (gdy są rozbieżne, w przyszłości model może dawać niedopuszczalną prognozę - niezgodną z rzeczywistością). Należy też przyjrzeć się elastyczności modelu - kiedy model zareagował na zmianę.

Efekt postarzania informacji - kiedy najstarsza informacja ma wpływ na wynik. W niektórych modelach można eliminować ten wpływ (np. przypisując wagi do obserwacji, mniejsze wagi obserwacjom starszym, a większe obserwacjom młodszym). Przeciwdziałamy temu, ponieważ wolimy prognozować na podstawie jak najmłodszych danych.

Reszty modelu.

Reszta modelu dana jest następującą formułą:

u_t = y_t - y_t*

Składniki resztowe powinny być symetryczne ze względu na znak (podobna ilość reszt dodatnich i ujemnych).

stąd

u₁ = 35,2 - 40,8174 = - 5,6174

u₂ = 33,8 - 35,5361 = - 1,7361

: : : :

u₂₀ = 46,8 - 46,0987 = 0,7013

Jeśli suma jest < 0 można powiedzieć, że w danym punkcie model jest przeszacowany (świat teoretyczny większy od rzeczywistego), jeśli jest > 0 możemy mówić, że w danym punkcie model jest niedoszacowany (świat teoretyczny mniejszy od rzeczywistego). Sytuacja idealna - gdy reszty wynoszą 0.

Miarą, która pokazuje syntetycznie przeciętny poziom błędu i jakie jest je zróżnicowanie jest wariancja resztowa.

Wykres przebiegu reszt w czasie - widzimy, że reszty są symetryczne w czasie względem osi OX.

Przy podzieleniu wykresu na dwie części wariancje z I i II części wykresu powinny być równe (nie powinny być zmienne w czasie).

Jeżeli wariancje są różne w czasie i różnica między nimi jest statystycznie istotna, mamy do czynienia z heteroskedastycznością składnika losowego. Jest to odejście od założeń KMNK, model trzeba poprawić, nie można stosować KMNK. Niestety, czasem po usunięciu heteroskedastyczności model przestaje być interpretowalny.

Jeśli różnicy nie ma, mamy do czynienia z homoskedastycznym składnikiem losowym.

Własność heteroskedastyczności wykorzystywana jest w analizie ryzyk, analizie finansowych szeregów czasowych.

Drugi odstępstwem od założeń KMNK jest autokorelacja. Gdy realizacje reszt są na przemian, spodziewamy się autokorelacji ujemnej, gdy nie są - autokorelacji dodatniej.

Wariancja (błąd) może być wysoki, byle był stały.

Miary struktury stochastycznej.

Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt:

n = 20; k = 20

stąd

s_u² = 9,9930 [tys. szt.]²

s_u = 3,1612 [tys. szt.]

Interpretacja ekonometryczna S_u: rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej y­_t odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 3,1612 tys. szt. od wartości teoretycznych, wyznaczonych przez model.

Macierz wariancji i kowariancji oraz średnie błędy szacunku:

0,0139 - 0,4163

D²(u) = = s_u² * (X' X)^-1

- 0,4163 12,9258 (wyskalowana macierz (X' X)^-1 )

Średnie błędy szacunku:

Y_t = 1,3203 X_t + 3,8483 + u_t

(0,1181) (3,5952)

Jest to badanie precyzji oszacowania parametrów modelu.

Jeśli chodzi o parametr zmiennej X_1t błąd jest niski; parametr będzie istotnie różny od zera w modelu (i tym samym statystycznie istotny).

Parametr wolny ma błąd istotny, prawdopodobnie będzie statystycznie nieistotny.

Jeśli parametr przy zmiennej X_1t jest wysoki i parametr tym samym będzie nieistotny, usuwa się ten regresor (parametr) z modelu (bo nie wpływa istotnie na Y).

Parametr wolny często jest nieistotny.

Badanie istotności parametrów wpływa na interpretację modelu.

Miary dopasowania modelu do danych empirycznych

(badanie jakości modelu)

Współczynniki zbieżności

_

Y = 46,32 [tys. szt.]

Suma kwadratów reszt wg KMNK musi być minimalna.

stąd:

φ² = 12,59 [%]

mówi o poziomie wariancji zmiennej Y (zróżnicowania Y), jaki nie został wyjaśniony przez model

W tym przypadku dość duża część zmian nie została wyjaśniona przez model, ponieważ:

• pominięcie istotnych czynników objaśniających - nie uwzględniono wszystkich istotnych czynników, które wpływają na poziom produkcji (np. ze względu na brak danych)

• błędy w estymacji

Zatem współczynnik determinacji wynosi:

R² = 87,4 [%]

87,4 % przeciętnego poziomu zmiennej endogenicznej Y_t­ zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny.

W modelach klasycznych nie jest to dobry wynik; dobry wynik to 95% i więcej.

Przy zbyt niskim R² model nie może być wykorzystywany do prognozowania.

Miarę tą charakteryzuje również pewien błąd (wzrasta wraz z liczbą zmiennych objaśniających skorelowanych z y). By tego uniknąć, należy liczyć skorygowany wskaźnik R².

Współczynnik zmienności losowej wynosi:

V_s­ = 7,3 [%]

V_s to poziom wahań przypadkowych zmiennej endogenicznej Y_t­.

Jest to miara uzupełniająca do R², nie funkcjonuje samodzielnie. Jeśli jest niskie R², prawdopodobnie V_s będzie wysokie.

Random walk - jeśli mamy proces, który jest błądzeniem przypadkowym, nie jesteśmy w stanie zbudować modelu, nie da się przebiegu tych procesów prognozować.

Regresja wielu zmiennych - dwuczynnikowa funkcja produkcji.

Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy oszacować parametry strukturalne modelu produkcji:

Y_t = α₁X_1t + α₂X_{2t +} α₀ + ξ

Y­_t - produkcja [tys. szt.]

X_1t - zatrudnienie [osoby]

X_2t - majątek [tys. zł.]

Spodziewamy się, zgodnie z koincydencją, przy obu współczynnikach regresji dodatnich, parametrów dodatnich.

35,2 28 34 1

33,8 24 41 1

Y = : X = : : :

46, 8 32 55 1

x₁ x_{2 ­}parametr wolny

Stosując formułę na wektor ocen parametrów strukturalnych, czyli:

a = (X' X)^-1 X' Y

18 537 36 194 597 0,0100 - 0,0024 - 0,1653

X'X = 74 359 1 125 (X' X)^-1 = 0,0006 0,0339

20 3,0769

26772,3000 1,1085

X' Y = 52207,3000 a = 0,0581

865,200 6,9042

Stąd model po oszacowaniu przyjmie następującą postać:

Y_t = 1,1085 X_1t + 0,0581 X_2t + 6,9042 + u­_t

Wzrost zatrudnienia X_1t o 1 osobę spowoduje przeciętny wzrost produkcji Y_t o 1,1085 tys. szt. pod warunkiem, że majątek X_2t nie ulegnie zmianie.

Wzrost majątku X_2t o 1 tys. zł. spowoduje przeciętny wzrost produkcji o Y_t o 0,0581 tys. szt. pod warunkiem, że zatrudnienie X_1t nie ulegnie zmianie.

a₀ = 6,9042 taką średnią wartość przyjmie wielkość produkcji Y_t w przypadku gdy zatrudnienie X_1t i majątek X_2t będą równie 0.

Zagadnienie koincydencji - podwójne, związane z X_1t i z X_2t. Obie zmienne są koincydentne. Zmienną koincydentną trzeba usunąć z modelu i jeszcze raz oszacować model.

Weryfikacja modelu

Wartości teoretyczne modelu dane są następującą formułą:

Y_t* = 1,1085 X_1t + 0,0581 X_2t + 6,9042

Y₁* = 1,1085 * 28 + 0,0581 * 34 + 6,9042 = 39,9165

: : : : :

Y₂₀* = 1,1085 * 32 + 0,0581 * 55 + 6,9042 =

WYKŁAD 3 05.04.2011

T: WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW

Własność 1. Estymator nieobciążony.

Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) jest równa estymowanemu parametrowi (nieznanemu parametrowi α)

E(a) = α

Dla modelu danego jako:

y = Xa + ξ

Wektor parametrów strukturalnych dany jest jako:

a = (X'X)^-1X'Y

Wektor ocen parametrów jest nieobciążonym, czyli:

E(a) = E[(X'X)^-1X'Y] = E[(X'X)^-1X'*(Xα + ξ)

Jeśli model tak wygląda, każda wielkość będzie wielkością oczekiwaną.

Ponieważ zmienne X (objaśniające) są nielosowane, więc:

E(α) = α

E(ξ) = 0

Wartość współczynnika losowego równa jest zero. Z punktu widzenia poziomu przeciętnego wartości ξ są takie same.

Stąd estymator parametrów strukturalnych jest nieobciążony, jeżeli:

1. Zmienne objaśniające są nielosowe - kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych objaśniających.

E(Xξ) = 0

Nie występuje zależność między zmiennymi i losowymi a składnikiem losowym

2. Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zero:

E(ξ) = 0

Własność 2. Estymator zgodny.

Estymator parametru α jest zgodny jeżeli jest stochastycznie zbieżny do szacowanego nieznanego parametru α.

Im więcej obserwacji, tym lepiej. Przeładowanie modelu informacjami może jednak narazić nas na efekty postarzania informacji etc.

Oznacza to, że przy wzroście liczby obserwacji do nieskończoności jego wartość dąży stochastycznie do prawdziwej wartości parametru

W tym momencie wariancja składnika losowego będzie coraz mniejsza - popełniamy coraz mniejszy błąd między teoretycznym modelem a rzeczywistością.

Jeżeli wraz ze wzrostem liczebności próby oczekiwana wartość rozkładu estymatora zmierza do wartości szacowanego parametru, a jednocześnie wariancja estymatora zmierza do zer, to estymator taki jest zgodny.

Własność 3. Estymator efektywny.

Przy danych kilku estymatorach zgodnych i nieobciążonych estymatorem najefektywniejszym jest ten, który posiada najmniejszą wariancję.

Zastosowanie estymatora powoduje generowanie określonych błędów; zwraca się uwagę na procedury testowania estymatorów, by błąd z estymacji był jak najmniejszy, szczególnie w modelach finansowych.

Jeżeli spełnione są założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów (dotyczące składnika losowego oraz zmiennych objaśniających) to estymator:

a = (X'X)^-1X'Y

Jest najefektywniejszym spośród estymatorów liniowych, gdzie jego wariancja dana jest następującą formułą:

D²(α) = σ² (X'X)^-1

Wynikiem jest symetryczna macierz wariancji-kowariancji - na głównej przekątnej znajdują się wariancje estymatorów. Pierwiastki z nich to odchylenia standardowe, przyporządkowane parametrom na poziomie przeciętnym. Nazywa się to średnimi błędami szacunku i mówi o tym jak dobrze oszacowaliśmy model. W estymatorze zgodnym odchylenia te będą miały wartość 0. Generuje on idealny model teoretyczny.

Założenia klasyczne MNK w odniesieniu do własności estymatorów:

• jeżeli zmienne objaśniające są współliniowe, to nie istnieje estymator dany formułą:

a = (X'X)^-1X'Y

ponieważ nie istnieje macierz odwrotna do macierzy X'X, ponieważ wyznacznik macierzy jest równy zero, czyli: det(X'X) = 0

Zdarza się to gdy wprowadzamy zmienne sztuczne, naśladujące.

• jeżeli wariancja składnika losowego nie jest stała (model nie spełnia zależności klasycznych modeli), to:

a = (X'X)^-1X'Y

jest nieobciążony i zgodny, ale nie jest już najefektywniejszy.

• jeżeli składnik losowy jest zależny:

cov(ξ_t,ξ_t+1) ≠ 0

a w zbiorze zmiennych objaśniających nie ma zmiennej endogenicznej opóźnionej w czasie, to:

a = (X'X)^-1X'Y

jest nieobciążony i zgodny, ale nie jest już najefektywniejszy.

• jeżeli składnik losowy jest zależny

cov(ξ_t,ξ_t+1) ≠ 0

a w zbiorze zmiennych objaśniających istnieje zmienna endogeniczna opóźniona w czasie, to:

a = (X'X)^-1X'Y

nie jest zgodny; nie dążymy do prawdziwej realizacji parametru

• jeżeli wariancja składnik losowego jest funkcją zmiennych objaśniających, to estymator:

a = (X'X)^-1X'Y

nie jest zgodny.

Klasyczne założenia dotyczące składnik losowego

Dana jest macierz wariancji i kowariancji składnika losowego:

D²(ξ₁) E(ξ₁ ξ₂) E(ξ₁ ξ₃) … E(ξ₁ ξ_n)

E(ξ₂ ξ₁) D²(ξ₂) E(ξ₂ ξ₃) … E(ξ₂ ξ_n)

E(ξ ξ') = … … … … …

E(ξ_n ξ₁) E(ξ_n ξ₂) E(ξ_n ξ₃) … D²(ξ_n)

Macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest:

• macierzą kwadratową i symetryczną o wymiarach (n*n)

• na głównej przekątnej znajdują się wariancje składników losowych poszczególnych okresów (w przypadku szeregów czasowych) natomiast poza główną przekątną znajdują się kowariancje między składnikami losowymi poszczególnych okresów.

Można wyróżnić cztery sytuacje ze względu na macierz wariancji i kowariancji składnika losowego.

One właśnie podlegają weryfikacji:

Sytuacja 1. Spełnione założenia MNK.

• wariancja jest jednorodna (jedna, stała w czasie)

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = σ²

• brak autokorelacji, czyli składnik losowy jest niezależny (autokorelacji rzędu pierwszego)

E(ξ_t,ξ_t+τ) = 0 dla każdego τ > 0

Wówczas macierz wariancji i kowariancji ma następującą postać:

σ² 0 … 0

0 σ² … 0 σ² - wariancje składnika losowego

… … … … = σ² I_n I_n - macierz jednostkowa

0 0 … σ²

Sytuacja 2. Nie jest spełnione założenie o jednorodności wariancji składnika losowego.

W takiej sytuacji - odstępstwa od założeń MNK - można udoskonalić model przez doestymowanie modelu, stosując uogólnioną metodę MNK - zminimalizuje to niestałość wariancji w czasie (bo model ma być modelem prognostycznym i gdy wystąpi wysoka wariancja, jest zagrożenie dużego błędu w przyszłości).

Oznacza to, iż

D²(ξ₁) ≠ D²(ξ₂) ≠ … ≠ D²(ξ_n) ≠ σ²

A składnik losowy jest niezależny nie występuje autokorelacja składnika losowego, tzn.

E(ξ_t, ξ_t+τ) = 0 dla każdego τ > 0

Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą diagonalną ma postać:

D²(ξ₁) 0 0 … 0

E(ξ ξ') = 0 D²(ξ₂) 0 … 0

… … … … …

0 0 0 … D²(ξ_n)

Wariancja ma tendencje do tego, że niskie poziomy wariancji grupują się razem, a wysokie poziomy wariancji - również razem.

Sytuacja 3. Jeżeli spełnione jest założenie o jednorodności wariancji składnika losowego, czyli

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = σ²

(homoschedastyczny składnik losowy)

a składnik losowy jest zależny (występuje autokorelacja składnika losowego) trzeba zastanowić się co może powodować autokorelację,

Autokorelacja może występować wskutek:

• pominięcia istotnej zmiennej objaśniającej w modelu

• nieprawidłowego określenia opóźnień zmiennych objaśniających

Poprawianie modelu:

• uzupełnienie brakującej zmiennej

• korekta opóźnień

Jeśli to nie pomoże - doszacowanie modelu uogólnioną metodą MNK; po poprawieniu model traci jednak na efektywności.

Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą symetryczną i ma następującą postać:

1 ρ₁₂ ρ₁₃ … ρ_1n

E(ξ ξ') = ρ₂₁ 1 ρ₂₃ … ρ_2n

… … … … …

ρ_n1 ρ_n2 ρ_n3 … 1

(współczynniki autokorelacji miedzy składnikiem losowym i-tego i j-tego okresu)

Sytuacja 4. Jeżeli nie jest spełnione założenie o jednorodności wariancji składnika losowego czyli

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = σ²

oraz nie jest spełnione założenie o braku autokorelacji, czyli występuje sytuacja, w której

E(ξ_t, ξ_t+τ) ≠ 0

Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą symetryczną i ma następującą postać:

D²(ξ₁) E(ξ₁ ξ₂) E(ξ₁ ξ₃) … E(ξ₁ ξ_n)

E(ξ₂ ξ₁) D²(ξ₂) E(ξ₂ ξ₃) … E(ξ₂ ξ_n)

E(ξ ξ') = … … … … …

E(ξ_n ξ₁) E(ξ_n ξ₂) E(ξ_n ξ₃) … D²(ξ_n)

W tej sytuacji należy poprawić autokorelację

Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych

Model hiperboliczny

Oszacować model o postaci:

Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy, gdzie:

Y_t - wielkość sprzedaży [sztuki]

X_1t - cena [100 PLN]

Interpretuje się zawsze parametry postaci nieliniowej!

Model należy sprowadzić do postaci liniowej:

Stąd model będzie liniowy ze względu na zmienną G_t

Nigdy nie interpretuje się parametru przy zmiennej G_t.

Stosując metodę MNK:

a = (X'X)^-1X'Y

Powstaje macierz realizacji X i Y, ostatecznie otrzymuje się wektor ocen parametrów strukturalnych. Można przejść do postaci nieliniowej przez postać liniową lub bezpośrednio.

Ostatecznie otrzymujemy:

Postać pierwsza:

NIE INTERPRETUJEMY WSPÓŁCZYNNIKA PRZY G!

Postać druga i ostateczna:

Wzrost ceny o jednostkę spowoduje spadek wielkości sprzedaży o 1,17 jednostki.

W modelach hiperbolicznych weryfikuje się postać liniową i jeśli wynik jest pozytywny, można przenieść wyniki na model nieliniowy.

Weryfikacja modelu ekonometrycznego

Oznacza to:

• zbadanie czy oszacowany model jest zgodny z rzeczywistością (kierunek wpływu zmiennych objaśniających jest zgodny z rzeczywistością)

• zbadanie czy model ekonometryczny jest wystarczająco precyzyjny,

• zbadanie czy zmienne objaśniające istotnie wpływają na zmienną endogeniczną - gdy badamy jakość modelu i liczymy współczynnik determinacji, możemy go spierwiastkować i uzyskać współczynnik korelacji wielorakiej i możemy testować na istotność (współczynnik korelacji wielorakiej mówi o łącznym wpływie zmiennych objaśniających na zmienną endogeniczną)

• zbadanie czy spełnione są założenia MNK

brak jednego, sprawdzonego sposobu na weryfikację modelu ekonometrycznego, ale część elementów należy do procedury standardowej.

Miary struktury stochastycznej:

Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt

Przy spełnionych warunkach MNK nieobciążonym estymatorem wariancji reszto wje jest wariancja resztowa wyznaczona według następującej formuły:

Im wariancja resztowa jest mniejsza, tym lepiej.

Reszta ujemna - przeszacowanie - wartość teoretyczna wyższa od rzeczywistej.

Reszta dodatnia - niedoszacowanie - wartość teoretyczna niższa od rzeczywistej.

Reszty powinny być symetryczne ze względu na znak (tyle samo niedoszacowań i przeszacowań).

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej daje tzw. odchylenie standardowe reszt czyli:

Interpretacja odchylenia standardowego

Odchylenie standardowe informuje o ile średnio rzecz biorąc In plus bądź In minus odchylają się rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model.

Macierz wariancji i kowariancji oraz średnie błędy szacunku

Przy spełnionych warunkach MNK macierz wariancji i kowariancji dana jest następującą formuła:

D²(a) = σ² (X'X)^-1

gdzie

σ² = Su²

D²(α) = Su² (X'X)^-1

Miary struktury stochastycznej (wariancja resztowa oraz macierz wariancji i kowariancji) modelu związane są ze zmienną ξ_t.

Miarą precyzji estymacji parametrów strukturalnych α_t są średnie błędy szacunku

Kwadraty błędów szacunku znajdują się na głównej przekątnej macierzy wariancji i kowariancji. Pierwiastek wariancji estymatora daje zatem średni błąd szacunku dla danego parametru a_i

Miary dopasowania modelu do danych empirycznych

Jest to badanie jakości modelu:

Współczynnik zbieżności

Dany jest następującą formułą:

• przyjmuje wartości z przedziału <0,1>

• im φ² jest bliższe bądź równe 1 tym słabiej wyjaśniona została wariancja zmiennej Y_t (tym gorzej model wyjaśnia zmienność Y)

Współczynnik determinacji

Jest miarą alternatywną w stosunku do współczynnika zbieżności i dany jest następującą formułą:

R²=1 - φ²

• przyjmuje wartości z przedziału <0,1>

• im bliżej bądź równy 1 tym lepiej wyjaśniona została wariancja zmiennej Y_t

• po spierwiastkowaniu uzyskuje się współczynnik korelacji wielorakiej czyli łączny wpływ wszystkich zmiennych endogenicznych na zmienną Y_t i podlega testowaniu

• wada: im więcej zmiennych w modelu tym wyższe R², nawet jeśli wprowadzone dodatkowe zmienne nie są istotne dla modelu

Skorygowany współczynnik determinacji:

n - liczba obserwacji

m- liczba zmiennych objaśniających

Skorygowane R² jest zawsze niższe od R²

Liczy się go najczęściej gdy model ma mieć zastosowanie prognostyczne.

Współczynnik zmienności losowej

Dany jest następującą formuła:

Jest to miara uzupełniająca do miary jakości modelu. Im wyższe V_s tym niższe R².

Współczynnik zmienności losowej informuje jaką część średniego poziomu zmiennej endogenicznej stanowią wahania przypadkowe.

R² stosujemy wyłącznie dla modeli liniowych.

Dla modeli nieliniowych istnieją inne wskaźniki.

WYKŁAD 4 19.04.2011

WERYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

Przedział ufności dla parametru strukturalnego modelu dany jest następującą formułą:

{ a_i - t_α * D(a_i) < a_i < a_i + t_α * D(a_i) } = γ

Przykład

Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki:

Y_t = 2X_1t - 5X_2t + 1 + u_t

(1) (2) (0,5)

n = 20 n-k = 20 -3 =17 α = 0,05 t_α = 2.11

t_α przy n-k stopni swobody, przedziale istotności α.

Przedział ufności dla parametru stojącego przy zmiennej X_1t

{2 - 2,11 * 1 < a₁ < 2 + 2,11 *1} = 0,95

{ -0,89 < a₁ < 4,11 } = 0,95

Przedział ufności - na 100 przedziałów 95 razy przedział pokryje prawdziwą wartość parametru strukturalnego.
Przedział istotności - na 100 przedziałów 5 razy przedział nie pokryje prawdziwej wartości parametru strukturalnego.

Przyczyny nieistotności wpływu zmiennych objaśniających na zmienną endogeniczną:

• mała dokładność lub nieodpowiedniość danych statystycznych

• mała dokładność technik estymacji

• niewłaściwa postać analityczna modelu

• pominięcie istotnych zmiennych objaśniających

• przyczyny wynikające z losowości próby

Test Fishera Snedecora - test F

Dotyczy wszystkich parametrów łącznie, z pominięciem wyrazu wolnego:

H₀ - parametry nieistotne

H₁ - parametry są istotne

H₀: α = … = α_k = 0

H₁: α ≠ … ≠ α_k ≠ 0

Statystyka testu dana jest następującą formułą:

r₁ = K r₂ = N - K - 1

Gdzie

N - liczba obserwacji

K - liczba zmiennych objaśniających

R² - współczynnik determinacji

Statystyka F - założony poziom istotności 0,05; wychodzą bardzo wysokie wyniki.

Decyzja:

F ≥ F_α - hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej, co oznacza, że przynajmniej jedna zmienna objaśniająca wpływa na zmienną endogeniczną; (czyli i tak trzeba przeprowadzić test dokładniejszy, by odrzucić te, które nie wpływają)

F < F_α - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, że wszystkie zmienne nieistotnie wpływają na zmienną endogeniczną

Przykład

Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki:

Y_t = 2X_1t - 5X_2t + 1 + u_t

(1) (2) (0,5)

n = 20 α = 0,05

R² = 0,65 (słabe)

H₀: α, α₁ = 0

H₁: α, α₁ ≠ 0

r₁ = K = 2 r₂ = N - K - 1 = 20 - 2 - 1 = 17

F_α = 3,59 (z tablic)

Decyzja: F > F_α

Test t-Studenta

Przy spełnionych założeniach metody najmniejszych kwadratów (składnik losowy pochodzi z rozkładu normalnego) sprawdzianem hipotezy zerowej:

H₀: a_i = 0

Wobec hipotezy alternatywnej:

H_1: a_i różne 0 (a_i < 0; a_i > 0)

Jest statystyka t-Studenta o n-k stopniach swobody, dana jako

i = 1, 2, … k

czyli parametr podzielony przez średni błąd szacunku

Decyzje

| t | > t_α hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej na poziomie istotności

α = 1 - γ

| t | < t_α brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na poziomie istotności

α = 1 - γ

Przykład

Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki:

Y_t = 2X_1t - 5X_2t + 1 + u_t

(1) (2) (0,5)

n = 20 n-k = 20 -3 =17 α = 0,05 t_α = 2.11

Badanie istotności parametru przy zmiennej objaśniającej X_1t

H_o: a₁ = 0

H­₁: a₁ ≠ 0

Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, głoszącej, że a₁ jest równe zero, co oznacza, że parametr strukturalny a₁ jest nieistotny statystycznie, a zmienna przy nim stojąca X_1t nieistotne wpływa na zmienną y_t i należy ją usunąć z modelu. Zmienna X_1t nie przechodzi przez ten test na poziomie istotności 0,05.

Badanie istotności parametru przy zmiennej objaśniającej X_2t

H_o: a₂ = 0

H­₁: a₂ ≠ 0

Hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej, głoszącej że a 2 jest różne od zera, co oznacza, że parametr a₂ jest istotny statystycznie, zmienna objaśniająca X­_2t istotnie wpływa na zmienną y_t i powinna pozostać w modelu.

Po usunięciu nieistotnej zmiennej trzeba ponownie oszacować i zweryfikować model.

Test Durbina - Watsona na istotność autokorelacji rzędu pierwszego.

Przyczyny występowania autokorelacji rzędu pierwszego:

• niewłaściwa postać analityczna modelu,

• błędnie dobrane opóźnienia przy zmiennych objaśniających w modelu

• pominięcie istotnej zmiennej objaśniającej w modelu.

Graficzna identyfikacja znaku autokorelacji pierwszego rzędu:

(-) autokorelacja ujemna; znaki mniej więcej na przemian

(+) autokorelacja dodatnia; znaki nie na przemian

Jeśli występuje autokorelacja (wyniki wczorajsze wpływają na dzisiejsze) tracimy na losowości składnika losowego.

Jeśli reszty pochodzą z rozkładu normalnego, są symetryczne ze względu na znak i można zobaczyć, czy układają się na przemian czy też nie.

Procedura testu Durbina-Watsona (DW)

Hipotezy testu mają następującą postać:

H₀: ρ₁ > 0

H₁: ρ₁ < 0

Testy inaczej przebiegają zależnie od znaku autokorelacji.

Statystyka testu dana jest jako:

współczynnik autokorelacji rzędu I

0 ≤ d ≤ 4

Jeżeli H₁: ρ₁ < 0 to: d' = 4 - d

Jeżeli autokorelacja jest dodatnia - liczymy d i podejmujemy decyzję. Jeśli stwierdzamy ujemną autokorelację, należy doliczyć d' i porównać ją z wartościami teoretycznymi.

Określanie znaku autokorelacji:

• znajomość r₁ - współczynnika autokorelacji Pearsona, r₁ e <-1 ; 1 >

• jeżeli d > 0 i d < 2 autokorelacja dodatnia

• jeżeli d = 2 w przybliżeniu brak autokorelacji r = 0

• jeżeli d > 2 i d < 4 autokorelacja ujemna

• d = 0 r przybliżeniu 1

• d = 4 r w przybliżeniu - 1

Zatem w współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego przyjmuje wartości z przedziału <-1, 1>

Współczynnik autokorelacji jest współczynnikiem korelacji liniowej Pearsona między resztami modelu u_t a resztami odpowiedni opóźnionymi o okres τ

W przypadku autokorelacji pierwszego rzędu τ = 1

Tablice publikowane są najczęściej dla dwóch poziomów istotności: 0,01 i 0,05.

Decyzja:

Na poziomie istotności 0,05 lub 0,01 odczytywane są dolna i górna wartość krytyczna z tablic wartości krytycznych rozkładu DW, czyli:

d₁ oraz d_u

Decyzja dla H₁: ρ₁ > 0

d ≤ d₁ hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej

d₁ < d < d_u obszar niekonkluzywności testu

d ≥ d_u - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Decyzja dla H₁: ρ₁ < 0

d' ≤ d₁' hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej

d₁' < d' < d_u' obszar niekonkluzywności testu

d' ≥ d_u' - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Najgorszą sytuacją jest niekonkluzywność testu, model trzeba poprawić.

1. próba znalezienia źródła w przyczynach autokorelacji (poprawa opóźnienia, sprawdzenie modelu analitycznego)

2. doszacowanie modelu przez uogólnioną metodę najmniejszych kwadratów (strata na efektywności, ale eliminacja autokorelacji)

Integracyjna statystyka testu Durbina-Watsona

Statystyka testu dana jest następującą formułą:

Jeżeli ρ = 1 to wartość statystyki IDW jest bliska 0

W zastosowaniach empirycznych stosowane są następujące zasady:

• wartości statystyki mniejsze od 0,5 traktuje się jako świadczące o istnieniu pierwiastka jednostkowego,

• wartości statystyki bliskie 2 świadczą o integracji stopnia 0 czyli proces jest stacjonarny w zakresie wariancji

Najprostszym sposobem doprowadzenia procesu niestacjonarnego do stacjonarnego jest obliczenie pierwszych różnic. Powinny być one stacjonarne w zakresie wariancji i wariancja będzie stała w czasie

Testowanie poprawności postaci analitycznej modelu poprzez pryzmat losowości reszt modelu

TEST SERII

Hipotezy:

H₀: [Y_t* = f (X_1t, X_2t, …, X_kt)]

H₁: [Y_t* ≠ f (X_1t, X_2t, …, X_kt)]

Zerowa - model właściwy, mamy losowe reszty

Alternatywna - reszty są nielosowe, postać analityczna modelu jest błędna.

W teście analizie podlegają reszty modelu, z tym, że:

• jeżeli model był budowany na podstawie danych dynamicznych (np.: model tendencji rozwojowej) to reszty są uporządkowane w sposób naturalny zgodnie z upływem czasu (kolejnymi realizacjami zmiennej czasowej t).

• jeżeli model był budowany na postawie danych przekrojowych, to reszty modelu porządkowane są według rosnących wartości dowolnie wybranej zmiennej objaśniającej.

Serią jest każdy podciąg reszt, złożony wyłącznie z elementów dodatnich bądź ujemnych. Reszty równe zero nie są brane pod uwagę.

Niech:

u_t > 0 to „a”

u_t < 0 to „b”

Stąd określamy liczbę serii, tzw. k empiryczne

Z tablic liczby serii odczytujemy:

n₁ - dla liczby symboli „a”

n₂ - dla liczby symboli „b”

na poziomie istotności α

P { k ≤ k_α } = α

Decyzja:

k ≤ k_α - to hipotezę zerową należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej. Postać analityczna modelu nie jest właściwa, reszty nie są losowe.

k > k_α - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej; postać właściwa, reszty są losowe.

Przykład:

Podejmowanie decyzji bez pomocy tablic statystycznych

	Parametry	Średnie błędy szacunku	Statystyka t-Studenta	p-value
Parametr wolny	- 11,54	3,32	-3,48	0,00
X1t	0,48	0,18	2,62	0,02
X2t	5,39	0,74	7,33	0,00
X3t	-0,08	0,19	-0,39	0,70

X1t, X2t - wartość p mniejsza od 0,05 (czyli od α ) - odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść alternatywnej - parametr istotny statystycznie

X3t - α < p - brak podstaw do odrzucenia hipotezy alternatywnej - parametr nieistotny statystycznie

WYKŁAD 5 31.05.2011

T: PROGNOZY NA PODSTAWIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO

Prognozy zmiennych objaśniających:

- podane przez grupy ekspertów

- prognozowane na podstawie modelu

PRZYKŁAD

Model tendencji rozwojowej

Zgromadzono następujące dane:

Y_t - zgony niemowląt na 1000 urodzeń żywych

X_1t - spożycie wódki czystej i gatunkowej w przeliczeniu na alkohol 100% w litrach na osobę w ciągu roku

X_2t - PKB na jednego mieszkańca w $

Błędy w doborze zmiennych:

- ogólne zmienne objaśniające

- brak zmiennych objaśniających o charakterze medycznym

Dane

1992	17,3	3,5	2198
1993	161	3,8	2233
1994	15,1	3,8	2402
1995	13,6	3,5	3293
1996	12,2	2,9	3724
1997	10,2	2,8	3725
1998	9,5	2,4	4098
1999	8,9	2,1	4014
2000	8,1	2	4078

Można by było zastosować model tendencji rozwojowej liniowy, bo widać z wykresu Y_t, że zmienne układają się w prostą, skierowaną w dół; nie trzeba modelu ekonometrycznego, zwłaszcza, jeśli nie interesuje nas wpływ zmiennych objaśnianych, a jedynie prognoza.

Spadek alkoholizmu - zmniejszanie zgonów.

Wzrost PKB - zmniejszanie zgonów.

Na podstawie materiału statystycznego oszacowano model ekonometryczny o postaci:

Y_t = α₁X_1t + α₂X_2t + α₀

I uzyskano następujące wyniki

Y_t = 1,79X_1t - 0,0026X_2t + 15,46 + u_t

(1,048) (0,000913) (5,998)

Błąd zmiennej alkoholizmu wskazuje, że trzeba tą zmienną usunąć.

n = 9

k = 3

S_u² = 0,796954

S_u = 0,892723

Istotność parametrów strukturalnych - test t-Studenta

α = 0,2

Na 100 przypadków 20 razy się mylimy - przy poziomie istotności 0,05 model trzeba by było zmieniać.

t _α = 1,415

wartości sprawdzianu:

t _α1 = 1,7118 t _α2 = -2,8073

utrzymano parametry w modelu

1,098 0,0008 - 6,134

D²(a) = 0,0008 8,32E - 0,7 - 0,005

- 6,134 - 0,005 35,986

Miary dopasowania modelu do danych:

φ² = 5,28835

R² = 94,71165

V_s = 7,24

Autokorelacja

n = 9

k = 2

H₀: r₁ = 0

d = 2,077122 H₁: r₁ <0

d'= 1,922878

d₁' = 0,629

d_u' = 1,699

d' > d_u'

Prognoza przyszłych wartości zmiennych objaśniających.

(na rok 2001)s

Prognozy przyszłych wartości zmiennych objaśniających budowane będą na podstawie modelu tendencji rozwojowej o postaci liniowej.

Prognoza zmiennej X_1t

X_1t = Yt_x1t

Yt_x1t = α₁+ α₀ + ξ₁

t = 1,2,…9

Yt_x1t = - 0,24t + 4,19 + u_t

(0,032) (0,18)

(dobre parametry)

R² = 89% (słaby model do prognozowania)

Prognoza dla t = 10

Prognoza zmiennej X_2t

X_2t = Yt_x2t

Yt_x2t = α₁+ α₀ + ξ₁

t = 1,2,…9

Yt_x2t = 278,12t + 1916,64 + u_t

(38,74) (217,98)

R² = 88%

Prognoza dla t = 10

Ostatecznie:

Przyszłe realizacje zmiennej objaśniającej:

X_1t =1,79

X_2t =4697,84

Model ekonometryczny:

Y_t = 1,79X_1t - 0,0026X_2t + 15,46 + u_t

(1,048) (0,000913) (5,998)

Zatem

Podstawiając przyszłe realizacje zmiennej objaśniającej do modelu, otrzymamy prognozę zmiennej endogenicznej:

Y^p _T=2001 = 1,79*1,79 - 0,0026*4697,84 + 15,46 + u_t

Średni błąd predykcji:

1,098 0,0008 - 6,134

D²(a) = 0,0008 8,32E - 0,7 - 0,005

- 6,134 - 0,005 35,986

S_u² = 0,796954

Y_t = 1,79X_1t - 0,0026X_2t + 15,46 + u_t

1,79

X_T = 4697,84

1

V = 1,08962

(błąd)

Rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej Y_t odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 1,08 zgonów niemowląt na 1000 urodzeń żywych od postawionych prognoz.

Prognozy - w liczbie mnogiej - bo jest cały zbiór prognoz. Wartości parametrów są prognozami ex post. Prognozą ex ante jest wartość na 2001 r.

Względny średni błąd predykcji wynosi:

V* = 16,41 %

V* = (V : Y_t ) * 100%

W 2001 r. faktycznie było 7,7 zgonów na 1000 urodzeń żywych.

Współczynnik Janusowy - jeśli jest mniejszy od 1, model jest aktualny i struktury modelu nie trzeba zmieniać.

TEMAT: MODELE ADAPTACYJNE

Cechy ogólne i zastosowania:

• dostosowanie do przebiegu proces - naśladowanie procesu (model będzie się dostosowywał)

• budowa prognoz krótkookresowych

• prosta budowa

• możliwość prowadzenia symulacji

• możliwość uwzględniania wahań przypadkowych, trendu oraz wahań sezonowych (można stosować te modele w każdych warunkach prognostycznych)

• minimalna liczba obserwacji w przypadku modeli bez wahań sezonowych: 8-35 (lub do 40); w przypadku modeli z wahaniami sezonowymi niezbędna jest wiedza na temat 3 pełnych cykli

Ogólna postać modeli adaptacyjnych:

Y_t - zmienna prognozowana

Y_t = η_t + u_t η_t - funkcja trendu (nieznana postać analityczna trendu)

u_t - błąd

u_t to nie reszta modelu; nie musi spełniać warunków obowiązujących dla reszt, u_t nie muszą sumować się do zera!

Wady:

• trudności w ustalaniu początkowych wartości do symulacji

• strata informacji (brak pierwszych prognoz; zostają utracone, szereg czasowy teoretyczny po zastosowaniu modelu będzie skrócony; o kilka pierwszych obserwacji lub (w wahaniach sezonowych) o jeden pełny cykl

• założenie o liniowości zmian zmiennej prognozowanej w przyszłości

• postarzanie informacji

Symulacja

W przypadku modeli adaptacyjnych symulacja polega na takim doborze parametrów wygładzania, by zminimalizować dowolnie wybrany błąd ex post prognoz wygasłych.

Wybór błędu do minimalizowania: taki, którego zasadę działania dobrze rozumiemy.

Model wyrównywania wykładniczego Browna

Zastosowanie: zmienna prognozowana wykazuje trend oraz wahania przypadkowe (nie ma sezonowości).

Wady modelu: straty informacji, problem z doborem wartości początkowych.

Zalety: łatwość prowadzenia obliczeń.

Ocena trendu na moment t:

m_t = αy_t + (1-α) m_t-1

m_t - ocena trendu na okres bieżący t

α - parametr wygładzania

y_t - realizacja zmiennej prognozowanej w momencie t

m_t-1 - ocena trendu na moment poprzedni t-1

parametr wygładzania: 0≤ α ≤ 1

Jeżeli szereg (zmienna prognozowana) wykazuje bardzo szybkie tempo zmian, to parametr (alfa) dąży do jedności bądź jest równy 1. Jeśli tempo zmian jest niskie, parametr wygładzania jest bliski 0 lub równy 0.

Dokładność parametru: do 2-4 miejsc po przecinku.

Równanie prognozy:

Y_Tp = m_t + (m_t - m_t-1)h

h - horyzont prognozy

Gdyby nie uwzględniać horyzontu prognozy, prognozy na kolejne okresy miałyby cały czas tę samą wartość, rokrocznie byłyby stałe.

Jeśli parametr wygładzania równy jest zero, ocena trendu z momentu bieżącego jest równa ocenie trendu z momentu poprzedniego. Zasada prognozy naiwnej - „to co wczoraj, to dzisiaj, to co dzisiaj, to jutro”.

Wartości początkowe do symulacji:

m₁ = y₁

pierwsza ocena trendu jest równa pierwszej realizacji y

lub

m₁ = ẏ (średnie y)

Pierwsza ocena trendu jest równa średniej z realizacji y.

Model Holta - postać klasyczna

Bardziej zaawansowany, dwa parametry wygładzania dobierane jednocześnie.

Zastosowanie: zmienna prognozowana wykazuje trend oraz wahania przypadkowe (nie ma sezonowości).

Wady modelu: straty informacji, problem z doborem wartości początkowych.

Zalety: łatwość prowadzenia obliczeń.

Musimy mieć wartość początkową; straty w informacjach

Ocena trendu:

F_t-1 = αy_t-1 + (1 - α) (F_t-2 + S_t-2)

(wygładzona wartość przyrostu trendu)

S_t-1 = β (F_t-1 - F_t-2) + (1 - β) S_t-2

parametr wygładzania: 0≤ α,β ≤ 1

Y_Tp = F_n + S_n (t - n) gdzie t > n

(wyprzedzenie czasowe

- horyzont prognozy)

Wartości początkowe do symulacji:

F₁ = y₁ lub Y_t* = a₁t + a₀ + u_t

parametr wolny

z modelu trendu

Model generuje wartości od F₂

S₁ = y₂ - y₁ lub Y_t* =a₁t + a₀ + u_t

Model Wintersa - postać addytywna

Wady modelu: straty informacji, problem z doborem wartości początkowych.

Zalety: łatwość prowadzenia obliczeń.

Ocena trendu:

F_t-1 = α(y_t-1 - C_t-1-r) + (1 - α) (F_t-2 + S_t-1)

C_t-1-r­ - wskaźnik sezonowości w sensie Wintera

r - długość cyklu

wyrównana wartość przyrostu trendu:

S_t-1 = β (F_t-1 - F_t-2) + (1 - β) S_t-2

Ocena wskaźnika sezonowości:

C_t-1 = γ (y_t-1 - F_t-1) + (1 - γ) C_t-1-r

parametr wygładzania: 0≤ α,β,γ ≤ 1

Wartości początkowe do symulacji:

F₁ = y_1­ lub F₁ = y średnie

S₁ = y₂ - y₁

(średnia z przyrostów y)

Δy_t = y_t - y_t-1

Jeden parametr za cykliczność.

Równanie prognozy dane jest jako:

Y_Tp = F_n + S_n (t - n) + C_1-r

Wada: ograniczenie co do horyzontu prognozy (prognoza na jeden pełny cykl)

t > n (wyprzedzenie czasowe)

Model Wintersa - postać multiplikatywna

Ocena trendu:

Wyrównana wartość przyrostu trendu:

Ocena wskaźnika sezonowości:

Parametry wygładzone:

0≤ α,β,γ ≤ 1

Jeśli bardzo głębokie cykle: γ bliskie 1

Jeśli bardzo płytkie cykle: γ bliskie 0

Równanie prognozy dla modelu multiplikatywnego:

Y_Tp = [F_n + S_n (t - n)] * C_t-r

t > n

Jeśli zmiany zachodzą wolno, parametry wygładzania są bliskie 0, jeśli zmiany zachodzą szybko, parametry wygładzania są bliskie 1.

---