Pochodne funkcji elementarnych

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

Całki funkcji elementarnych

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

9. 
   

10. 
    

11. 
    

12. 
    

Całka oznaczona

1. Pole powierzchni pod wykresem

2. Długość łuku krzywej

3. Masa rozłożona na krzywej

4. Moment bezwładności krzywej

5. Objętość bryły obrotowej

6. Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej

7. Obliczanie ekstremów i punktów przegięcia

Całka niewłaściwa

Kryterium całkowe zbieżności szeregów

Szeregi funkcyjne i potęgowe

- środek

- promień zbieżności

- przedział zbieżności

przedział zb. + ew. końce przedziału - obszar zbieżności

Szeregi Taylora i Maclarina

Szeregi Fouriera

1. parzysta (symetryczna względem osi OY)

2. nieparzysta (symetryczna względem punktu 00)

3. funkcję określoną na
   możemy rozwijać zarówna w szeregi sinusów jak i cosinusów

Funkcje wielu zmiennych

1. dziedzina

2. granica

3. pochodne cząstkowe

dla

- pochodne pierwszego rzędu

- pochodne drugiego rzędu

twierdzenie Schwarza

jeżeli
to są one ciągłe

4. pochodne funkcji złożonej wielu zmiennych

5. gradient funkcji

6. pochodna kierunkowa

dla funkcji
w kierunku prostej l, o wektorze kierunkowym
w punkcie

gdzie:

8. obliczanie wartości przybliżonych

9. ekstrem funkcji wielu zmiennych

warunek konieczny

→ punkty stacjonarne (P₀)

warunek dostateczny

1. 
   - w P₀ jest minimum

2. 
   - w P₀ jest maksimum

3. 
   - w P₀ nie mam ekstremum

4. 
   - przypadek nie rozstrzygnięty (badać z definicji)

ogólnie dla formy kwadratowej

istotnie dodatnio określona - w P_n jest min (wszystkie w₁, w₂, w₃…>0)

istotnie ujemnie określona - w P_n jest max (w₁<0, w₂>0, w₃<0…)

nieokreślona - brak ekstremum

Całka podwójna

to
- obszar normalny względem osi OX

to
- obszar normalny względem osi OY

Całka podwójna we współrzędnych biegunowych

Uogólnione współrzędne biegunowe

D - elipsa:

Zastosowania całek podwójnych

1. pole obszaru płaskiego

2. masa

3. moment bezwładności względem osi OX

4. środek ciężkości

5. moment bezwładności względem osi (0,0)

6. masa rozłożona na powierzchni o równaniu z = f(x,y) i gęstości ρ(x,y,z)

7. pole powierzchni

Całka potrójna

Całka potrójna we współrzędnych walcowych

Całka potrójna we współrzędnych sferycznych

Zastosowania całek potrójnych

1. objętość

φ

r

φ

r

z

φ

r

θ

---