Wykład 4.

Wnioskowanie statystyczne

• Estymacja przedziałowa parametrów rozkładu zmiennej losowej

• Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej ( lub gdy mamy dużą próbę n>30) ze znanym odchyleniem standardowym
  

,

gdzie:

poziom istotności,

współczynnik ufności,

wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego (Tablica B).

Przykład: W pewnym zakładzie produkcyjnym postanowiono zbadać staż pracowników umysłowych. W tym celu z populacji tych pracowników wylosowano próbę o liczebności n=196 pracowników, z której obliczono
. Dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracowników umysłowych jest normalny z odchyleniem standardowym 2,8 lat. Przyjmując współczynnik ufności
, zbudować przedział ufności dla nieznanego średniego stażu pracy w populacji pracowników umysłowych w tym zakładzie.

Rozwiązanie:

, czyli
.

(Tablica B).

.

-Przedział ufności dla średniej m w populacji normalnej z nieznanym odchyleniem standardowym

,

gdzie

poziom istotności,

współczynnik ufności,

wartość odczytana z tablic rozkładu t-Studenta (n-1 określa ilość stopni swobody) ( Tablica C).

Przykład: Stan zdrowia czterolatków oceniany jest w skali od 30 do 70. Dla 25 losowo dobranych przedszkolaków średnia tego wskaźnika wynosi
, a

odchylenie standardowe S=9. Oszacuj średni wskaźnik zdrowia dla populacji

4-latków z prawdopodobieństwem 0,95.

Rozwiązanie:

, czyli
.

( Tablica C).

• Przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego
  

• Przedział ufności dla odchylenia standardowego
  w populacji normalnej z nieznaną średnią (duża próba n>30):

,

gdzie

poziom istotności,

współczynnik ufności,

wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego ( Tablica B)

Przykład: Na podstawie losowej próby 120 jednokilogramowych opakowań cukru otrzymano
i S=10dag. Zbuduj przedział ufności dla

odchylenia standardowego w rozkładzie wagi wszystkich produkowanych

jednokilogramowych opakowań cukru. Przyjmij współczynnik ufności 0,90.

Rozwiązanie:

( Tablica B),

• Przedział ufności dla wariancji
  w populacji normalnej z nieznaną średnią (mała próba n<30):

,

gdzie

poziom istotności,

współczynnik ufności,

,
wartości odczytane z tablic rozkładu
(n-1 określa ilość stopni swobody) (Tablica F).

Przykład: Na podstawie informacji uzyskanych w 12 losowo wybranych

stacjach meteorologicznych wyznaczono (w dniach) średnią długość okresu wegetacyjnego
oraz S=31,44dnia. Zakładając, że rozkład

badanej cechy jest normalny, zbuduj przedział ufności dla średniej i wariancji

długości okresu wegetacyjnego. Przyjmij współczynnik ufności 0,90.

Rozwiązanie:

;

;
(Tablica F)

,

(Tablica C)

.

• Przedział ufności dla prawdopodobieństwa

W badaniach statystycznych spotykamy się z cechami jakościowymi, niemierzalnymi. Wówczas zachodzi konieczność szacowania m.in. frakcji (tzw. wskaźnik struktury) elementów posiadających wyróżnioną cechę w populacji generalnej. Frakcja jest w swej istocie prawdopodobieństwem sukcesu.

, (duża próba)

gdzie

m- liczba jednostek w próbie posiadających wyróżnioną cechę,

n- liczebność próby,

poziom istotności,
współczynnik ufności,

wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego ( Tablica B).

Przykład: Spośród 10000 pracowników wylosowano próbę losową liczącą 200 osób, którym zadano pytanie, czy w najbliższym czasie zamierzają dalej pracować w Polsce, czy też zamierzają wyjechać za granicę w poszukiwaniu pracy. Okazało się, że20 spośród 200 pytanych pracowników zamierza opuścić kraj. Przyjmując współczynnik ufności 0,90, wyznaczyć przedział ufności dla wskaźnika struktury (frakcji, prawdopodobieństwa) pracowników, którzy zamierzają opuścić kraj.

Rozwiązanie:

(Tablica B),

• Parametryczne testy istotności

1. Testy istotności dla wartości oczekiwanej (średniej)

Załóżmy, że populacja generalna ma rozkład normalny
o nieznanej wartości średniej.

Formułujemy hipotezę zerową oraz alternatywną postaci:

oraz

a)
lub b)
lub c)
,

gdzie

- pewna hipotetyczna wartość średniej w populacji

Do weryfikacji hipotezy zerowej na danym poziomie istotności
stosujemy test postaci:

gdy odchylenie standardowe
jest znane lub jest duża próba (statystyka Z ma rozkład normalny N(0,1))

W przypadku małej próby oraz nieznanym
stosujemy test istotności postaci:

(statystyka t ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody).

Hipotezę zerową odrzucamy, gdy wartość obliczona statystyki z lub t znajduje się w tzw. obszarze krytycznym danego testu. W przeciwnym wypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na danym poziomie istotności
.

Rysunek na tablicy!!!

Tabela wartości krytycznych dla testu z dla kilku przykładowych poziomów

Poziom odrzucenia	Wartość testu z, przy której można odrzucić
		Test dwustronny	Test lewostronny	Test prawostronny
0,05		z < -1,64	z > 1,64
0,02		z < -2,05	z > 2,05
0,01		z < -2,34	z > 2,34
0,001		z < -3,09	z > 3,09

Przykład:

Reprezentacyjnym badaniem objęto losową próbę 18 wiejskich indywidualnych

gospodarstw ze względu na rozmiary zadłużenia. Okazało się m.in., że średnia

arytmetyczna zadłużenia wynosi 2613 zł, a odchylenie standardowe zadłużenia

414 zł. Zweryfikować hipotezę zerową mówiącą, że pochodzi z takiej

zbiorowości generalnej, w której wartość oczekiwana zadłużenia wynosi 2600

zł, wobec dwustronnej hipotezy alternatywnej na poziomie ufności 0,95.

Rozwiązanie:

.

Ze względu na małą próbę stosujemy statystykę t.

Dla testu dwustronnego wyznaczamy wartość statystyki t (Tablica C)

.

Skoro

,

więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że wartość oczekiwana zadłużenia wynosi 2600zł.

2. Test istotności dla dwóch wartości oczekiwanych (średnich)

W praktyce zastosowania często zachodzi konieczność porównania dwóch średnich
i
w dwóch populacjach (np. porównanie starej i nowej technologii produkcji, porównanie populacji zdrowych z populacją chorych itp.).

Załóżmy, że dwie populacje generalne mają rozkłady normalne
,
o nieznanych wartościach średnich.

Formułujemy hipotezę zerową oraz alternatywną postaci:

oraz

a)
lub b)
lub c)
.

Do weryfikacji hipotezy
na danym poziomie istotności
stosujemy test:

gdy odchylenia standardowe
,
są znane lub są duże próby (statystyka Z ma rozkład normalny N(0,1)).

W przypadku małych prób oraz nieznanych
,
stosujemy test istotności postaci (
):

(statystyka t ma rozkład Studenta o
stopniach swobody).

Hipotezę zerową odrzucamy, gdy wartość obliczona statystyki z lub t znajduje się w tzw. obszarze krytycznym danego testu. W przeciwnym wypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na danym poziomie istotności
.

Przykład:

W celu porównania przeciętnego stażu pracy pracowników w dwóch zakładach wylosowano z każdego z tych zakładów grupę pracowników i zbadano ich ze względu na długość stażu pracy. Otrzymano wyniki:

ZAKŁAD1:

ZAKŁAD2:

Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że średnie staże pracy dla wszystkich pracowników każdego z tych zakładów są jednakowe względem hipotezy alternatywnej mówiącej, że średni staż pracy w Zakładzie1 jest krótszy niż w Zakładzie2.

Rozwiązanie:

(hipoteza lewostronna)

Skoro
, to wyznaczamy statystykę t.

.

Skoro
więc hipotezę zerową odrzucamy.

• Nieparametryczne testy istotności - testy zgodności

W testach zgodności weryfikujemy hipotezę zerową postaci:

: rozkład empiryczny jest zgodny z rozkładem teoretycznym,

względem hipotezy alternatywnej:

: rozkład empiryczny nie jest zgodny z rozkładem teoretycznym.

1. Test zgodności
   Pearsona - stosujemy statystykę (warunkiem stosowalności testu jest duża próba. Z wyników próby należy utworzyć rozkład empiryczny o r rozłącznych klasach. Liczba klas nie powinna być zbyt mała (co najmniej 5), a liczebności w każdej klasie nie mniejsze od 10):

,

gdzie

r- liczba przedziałów klasowych,

-liczebność empiryczna i-tego przedziału klasowego,

- częstość teoretyczna (prawdopodobieństwo),

n - liczebność próby.

W/w statystyka ma rozkład
o r-k-1 stopniach swobody ( k - ilość parametrów rozkładu np. rozkład normalny ma dwa parametry).

Przykład:

Przeprowadzono badanie wagi noworodków. Próba licząca n=200 obserwacji dała następujące wyniki:

Waga	1,0-1,4	1,4-1,8	1,8-2,2	2,2-2,6	2,6-3,0
Liczebność	15	45	70	50	20

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład wagi noworodków jest rozkładem normalnym.

Rozwiązanie:

Na podstawie próby szacujemy parametry rozkładu normalnego:

(do sprawdzenia !!!).

Oznaczenia:

- wartość prawego końca przedziału klasowego,

,

wartość dystrybuanty rozkładu normalnego (Tabela A),

(prawdopodobieństwo dla ostatniego przedziału klasowego
).

1,4 1,8 2,2 2,6 3,0	15 45 70 50 20	-1,39 -0,46 0,46 1,39 -	0,082 0,323 0,677 0,918 -	0,082 0,241 0,354 0,241 0,082	16,4 48,2 70,8 48,2 16,4	0,12 0,21 0,01 0,07 0,79
Suma	200	X	X	1,000	200,0

Wartość krytyczna dla rozkładu
odczytujemy z Tablicy F dla 5-2-1 stopni swobody oraz
, czyli
.

Ponieważ
, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkład wagi noworodków jest rozkładem normalnym.

2. Przykłady innych testów:

• Test zgodności
  Kołmogorowa

• Test normalności rozkładu Shapiro-Wilka.

Zadanie 1.

Wyniki egzaminu ze statystyki na jednym z uniwersytetów przedstawiały się następująco:

Liczba punktów	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
Liczba studentów	60	80	30	20	10

Przyjmując współczynnik ufności 0,99 zbuduj przedział ufności dla średniej liczy punktów uzyskanych przez studentów we wszystkich uniwersytetach.

Zadanie2.

W czasie sondażu przed wyborami prezydenckimi przeprowadzonego przez Ośrodek Badania Opinii Społecznej na temat oczekiwanej frekwencji wyborczej okazało się, że w grupie 1200 losowo wybranych osób w wieku 18 lat i więcej 720 osób miało zamiar wziąć udział w głosowaniu. Zakładając, że frakcja osób zamierzających wziąć udział w głosowaniu jest zmienną losową, przy współczynniku ufności 0,98 zbudować przedział ufności dla nieznanego odsetka ogółu dorosłych mieszkańców Polski, zamierzających wziąć udział w wyborach prezydenckich.

Zadanie 3.

W wylosowanej niezależnie próbie 81 zakładów zbadano koszty własne produkcji pewnego wyrobu. Z wyników próby otrzymano
zł oraz S=150 zł. Przy poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że średnie koszty własne w populacji generalnej są równe 500 zł względem hipotezy alternatywnej mówiącej, że średnie koszty własne są większe niż 500 zł.

Zadanie 4.

W wyniku ewidencji dziennej sprzedaży dwóch rodzajów zegarków na rękę szwajcarskiej firmy Swatch w wybranych 20 dniach roboczych ustalono, co następuje:

Zegarki tradycyjne:
, S=7,5,

Zegarki z dodatkowymi funkcjami:
, S=8,2.

Zweryfikować hipotezę zerową, że średnia sprzedaż zegarków tradycyjnych jest równa średniej sprzedaży zegarków z dodatkowymi funkcjami względem hipotezy alternatywnej mówiącej, że średnia sprzedaż zegarków tradycyjnych jest większa niż średnia sprzedaż zegarków z dodatkowymi funkcjami.

Zadanie 5.

Zbadano 200 losowo wybranych czteroosobowych gospodarstw domowych pod względem miesięcznych wydatków na kulturę (teatr, kino, książki) dostarczyło następujących danych:

Miesięczne wydatki	20-50	50-80	80-110	110-140	140-170
Liczba gospodarstw	20	45	70	50	15

Na poziomie istotności 0,05 przy wykorzystaniu testu
zweryfikować hipotezę, że wydatki na kulturę w czteroosobowych gospodarstwach domowych mają rozkład normalny.

33

---