Ad1

Lp	Typ gospodarstwa	Zużycie wody	(xi - )	(xi - )^2
1	Gospodarstwo domowe284	210	-74	5476
2	Gospodarstwo domowe	240	-44	1936
3	Gospodarstwo domowe	320	36	1296
4	Gospodarstwo domowe	374	90	8100
5	Gospodarstwo domowe	288	4	16
6	Gospodarstwo domowe	254	-30	900
7	Gospodarstwo domowe	285	1	1
8	Gospodarstwo domowe	304	20	400
9	Gospodarstwo domowe	265	19	361
10	Gospodarstwo domowe	300	16	256
Razem	x	2840	x	18742

Zbiorowością statystyczną są gospodarstwa domowe 4 - osobowe zamieszkałe w bloku x w Poznaniu.

Jednostką statystyczną jest gospodarstwo domowe ......... .

Cechą zmienną - wielkość rocznego zużycia wody w gospodarstwie ............... .

Średnia arytmetyczna dla szeregu szczegółowego = = = 284 m³

Średnia wielkość rocznego zużycia wody w gospodarstwie domowym 4 - osobowym w bloku x w Poznaniu wynosi 284 m³.

Mediana dla szeregu szczegółowego : Me =

210, 240, 254, 265, 285, 288, 300, 304, 320, 374.

Me = = = 286,5 m³

Połowa gospodarstw domowych zużywa nie więcej jak 286,5 m³, wody, a druga połowa nie mniej jak 286,5 m³.

Wariancja dla szeregu szczegółowego :
S² = = = 1874,2

Odchylenie standardowe :S = = = 43,29 m³

Zużycie wody w poszczególnych gospodarstwach domowych różni się od średniej arytmetycznej o 43,29 m³

Współczynnik zmienności : V(s) = 100 = 100 = 15 %

Względna miara dyspersji wskazuje na małe zróżnicowanie zużycia wody w gosp. domowych .......... bowiem odchylenie standardowe stanowi 15 % średniej arytmetycznej.

Ad2

Zbiorowością statystyczną są biura podróży.

Jednostką biuro podróży

Cechą zmienną cena skierowania w zł.

Obliczanie miar asymetrii.

Cena	Liczba	Środki	Ilo	Obliczenia pomocnicze
skierow. w zł. xio - xi1	biur podróży ni	przedziałów xi	Czyn xi ni	(xi - )	(xi - )^2	(xi - )^2 ni	(xi - )^3 ni
300 - 350	14	325	4550	106,7	11384,89	159388,46	-17006748,7
350 - 400	24	375	9000	56,7	3214,89	77157,36	-4374822,3
400 - 450	42	425	17850	6,7	44,89	1885,38	-12632
450 - 500	20	475	9500	43,3	1874,89	37497,8	1623654,7
500 - 550	12	525	6300	93,3	8704,89	104458,68	9745994,8
550 - 600	8	575	4600	143,3	20534,89	164279,12	23541197,9
Razem	120	X	51800	109,8	45759,34	544666,8	13516643

Średnia arytmetyczna : ( miara średniego poziomu )

Pozycja X = 0,5(n = 1 ) = 60

X = = = 431,7 zł

Średnia cena skierowania na 2-tyg wczasy krajowe wynosi 431,7 zł.

Odchylenie standardowe : ( miara zróżnicowana / dyspersji /

Pokazuje o ile średnio różnią się poszczególne jednost

ki od średniej arytmetycznej.

S == = 67,37

Cena poszczególnych skierowań różni się od średniej arytmetycznej ceny skierowań średnio o 67,37 zł.

Współczynnik zmienności : ( określa czy dyspersja jest duża czy mała )

V_(s) = 100 = 100 = 15,6 %

Odchylenie standardowe ceny skierowania stanowi 15,6 % średniej ceny skierowania.

Zróżnicowanie / dyspersja / małe. / dolna granica min. 0 % /.

Moment trzeci centralny : ( miara pokazująca kierunek asymetrii )

/ liczba nie ma znaczenia lecz znak + lub - /

μ₃ = = =112638,69

Moment trzeci centralny : ( miara pokazująca kierunek i siłę asymetrii )

-2 < α₃ < 2

α₃ = = = 0,37

Szereg asymetryczny o umiarkowanie dodatniej asymetrii.

D = x₀ + c₀

D = 400 + 50 = 422,5

Najczęściej spotykaną ceną skierowania jest 422,5 zł.

Obliczanie współczynnika asymetrii :

A( ) = = = 0,14

Otrzymany wynik potwierdza wniosek o umiarkowanej dodatniej asymetrii rozkładu ilości biur podróży .

Ad3

Powierzchnia w	Odsetek	Skumulowany	Przedział
ha xio - xi1	gospodarstw Wi	odsetek	Kwantyla
1,00-1,.99	17,9	17,9
2,00-4,99	35,3	53,2	Q1Me
5,00-6,99	14,8	68
7,00-9,99	14,8	82,8	Q3
10,00-14,99	11,2	94
15 i więcej	6,0	100
Razem	100	x

Średnia arytmetyczna : ( miara średniego poziomu )

Pozycja Me = 0,5(n + 1 ) = 50,5

Me = 2 + ( - 17,9) = 4,8 ha

Połowa gospodarstw na powierzchnię nie większą jak 4,8 ha, a druga połowa gospodarstw ma powierzchnię nie mniejszą jak 4,8 ha.

Pozycja Q₁ = _{= 25,3}

Q₁ = 2 + ( - 17,9 ) = 4,14 ha

Jedna czwarta gospodarstw ma powierzchnię nie większą jak 4,14 ha, a trzy czwarte nie mniejszą jak 4,14 ha.

Pozycja Q3 = = 75,75

Q₃ = 7 + ( - 68 ) = 8,6 ha

Trzy czwarte gospodarstw na powierzchnię nie większą jak 8,6 ha, a jedna czwarta powierzchnię nie mniejszą jak 8,6 ha.

II Miary dyspersji.

Odchylenie ćwiartkowe :

Q = = = 4,46 ha

Współczynnik zmienności :

V(Q) = 100 = 92,9 %

Duże zróżnicowanie gospodarstw pod względem powierzchni.

Dotyczy środkowej części gospodarstw.

III Miara asymetrii.

-1 < A(Q) < 1

Współczynnik skośności zbudowany na podstawie kwartyli

A(Q) = = = 0,70

Silna asymetria dodatnia.

Miara ta dotyczy tylko środkowych 50 % miast .

Ad4

Q₁ = 3,5 mln zł

Q₃ = 7 mln zł

Me = 4,5 mln zł

Pozycyjne miary dyspersji :

Rozstęp kwartylowy : R(Q) = Q₃ - Q₁ = 3,5 mln zł

Różnica między skrajnymi wartościami pensji zaobserwowanymi u środkowych 50 % pensji wynosi 3,5 mln zł.

Odchylenie ćwiartkowe :Q = = 1,75 mln zł

Współczynnik zmienności : V(Q) = 100 = 38,9 %

Względna miara dyspersja rozkładu wskazuje na umiarkowane zróżnicowanie wysokości płac, bowiem odchylenie ćwiartkowe dotyczące środkowej połowy płac pracowników finansów i ubezpieczeń wynosi 1,75 mln co stanowi 38,9 % mediany.

Pozycyjne miary asymetrii.

Współczynnik skośności :A (Q) = = 0,42

-1 < A(Q) < 1

Umiarkowana asymetria dodatnia.

Miara ta dotyczy tylko środkowych 50 % miast .

Ad5

Mężczyźni	x = 29,55 lat	D = 26 lat	V(s) = 39,3 %	A(x) = 0,3	s = 11,7
Kobiety	x = 22 lata	D = 24 lat	V(s) = 30 %	A(x) = - 0,3	s = 6,6 lat

Średnia wieku mężczyzn w chwili ożenku różni się o 7,55 od średniej wieku kobiet.

Najliczniejsza grupa kobiet związek małżeński zawarła w wieku 24 lat, a mężczyźni w wieku 2 o lata starszym.

Jednocześnie na podstawie otrzymanych wyników A(x) można powiedzieć o umiarkowanej dodatniej asymetrii rozkładu wieku w momencie zawierania związku małżeńskiego wśród mężczyzn, a o umiarkowanej ujemnej wśród kobiet.

Wiek kobiet w momencie zawierania związku małżeńskiego różni się od średniej arytmetycznej średnio o 6,6 lat, a mężczyzn o około 5 lat więcej.

Ad6

Przebieg	Odsetek	Skumuloo	Środki	Iloczyn	Obliczenia pomocnicze
w tys km	taksówek ni	wany dsetek ncum	Przedz iałów xi	xini	(xi - )	(xi - )^2	(xi - )^2 ni	(xi - )^3 ni
0,8 - 1,2	2	2	1	2		0,88	1,77	-1,65
1,2 - 1,6	15	17	1,4	21		0,29	4,37	-2,35
1,6 - 2,0	41	58	1,8	73,8		0,02	0,80	-0,11
2,0 - 2,4	33	91	2,2	72,6		0,07	2,23	0,60
2,4 - 2,8	6	97	2,6	15,6		0,44	2,61	1,74
2,8 - 3,2	3	100	3	9		1,12	3,37	3,56
Razem		x		194	x	2,82	15,15	1,79

Radio - Taxi	x = 1,94 tys km	s = 0,15 tys km	α3 = 0,016	V(s) = 7,73
Halo - Taxi	x = 2,056 tys km	s = 0,406 tys km	α3 = - 0,497	V(s) = 19,7

Sredni przebieg taksówek firmy Radio-Taxi różni się o 116 km od średniego przebiegu taksówek firmy Halo - Taxi. Przebieg taksówek firmy Radio - Taxi różni się od średniej arytmetycznej o 15 km,a drugiej o 40 km.

Otrzymany wynik V(s) mówi nam o małym zróżnicowaniu pod względem przebieg wśród taksówek obu firm.

Natomiast wynik α₃ informuje nas iż rozkład taksówek pod względem przebiegu w firmie Radio - Taxi jest lekko asymetryczny o dodatniej wartości, natomiast w Halo - Taxi lekko asymetryczny o ujemnej wartości.

Związki między dwoma zjawiskami bądź cechami tej samej zbiorowości.

Graficzny obraz współzależności między wiekiem, a ilością awarii pojazdów samochodowych.

x=xi	11	12	10	11	12	9	12	8	8	4	9	2	7	3	3	6	1	2	10	4	7	6	9
y=yi	2	3	1	2	3	3	2	1	2	0	3	0	1	3	1	3	0	2	1	4	2	1	1
x=xi	8	10	9
y=yi	0	1	2

Źródło: Materiały dydaktyczne.

Układ punktów na wykresie informuje że mamy do czynienia ze związkiem liniowym o kierunku dodatnim tzn. wraz ze wzrostem wieku rośnie liczba awarii pojazdów samochodowych. Umiarkowany rozrzut punktów świadczy o umiarkowanej sile związku / współzależności / pomiędzy zmiennymi.

Temat : Analiza współzależności zjawisk I.

Obliczanie współczynnika korelacji liniowej Pearsona mierzącego siłę związku pomiędzy wiekiem (x) i liczbą awarii (y) samochodów dostawczych kompanii transportowej JW. „x” ( stan na dzień 31.12.93 r. )

Wiek w latach xi	Liczba awarii yi	xi yi	xi^2	yi^2
11	2	22	121	4
12	3	36	144	9
10	1	10	100	1
11	2	22	121	4
12	3	36	144	9
9	3	27	81	9
12	2	24	144	4
8	1	8	64	1
8	2	16	64	4
4	0	0	16	0
9	3	27	81	9
2	0	0	4	0
7	1	7	49	1
3	3	9	9	9
3	1	3	9	1
6	3	18	36	9
1	0	0	1	0
2	2	4	4	4
10	1	10	100	1
4	4	16	16	16
7	2	14	49	4
6	1	6	36	1
9	1	9	81	1
8	0	0	64	0
10	1	10	100	1
9	2	18	81	4
193	44	352	1719	106

r = -1 związek funkcyjny ujemny

-1 < r < 0 związek korelacyjny ujemny

r = 1 związek funkcyjny dodatni

0 < r < 1 związek korelacyjny dodatni

Współczynnik można stosować do badania korelacji między dwoma zmiennymi gdy związek jest liniowy, badane zmienne są ilościowe, a dane są zapisane w postaci szeregów lub w postaci tablicy korelacyjnej.

Rxy = = = 660/ 2470,8 = 0,27

= 0,22

Współczynnik korelacji jest większy od zera, a zatem mamy do czynienia z korelacją dodatnią, co oznacza że wraz ze wzrostem wieku pojazdu rośnie liczba awarii. Wartość współczynnika równa 0,22 jedności świadczy o bardzo małej sile związku.

2. Badanie regresji.

Temat : Analiza współzależności zjawisk II

Obliczanie parametrów funkcji regresji opisującej wpływ wieku (x) na liczbę awarii (y) samochodów dostawczych kompanii transportowej jw. x ( stan na dzień 31.12.93 r.)

Wiek w latach xi	Liczba awarii yi	xi yi	xi^2		2	(yi -y)^2
11	2	22	121	2,12	0,02	0,1
12	3	36	144	2,24	0,58	1,72
10	1	10	100	2	1	0,48
11	2	22	121	2,12	0,02	0,1
12	3	36	144	2,24	0,58	1,72
9	3	27	81	1,88	1,25	1,72
12	2	24	144	2,24	0,06	0,1
8	1	8	64	1,76	0,58	0,48
8	2	16	64	1,76	0,06	0,1
4	0	0	16	1,28	1,64	2,86
9	3	27	81	1,88	1,25	1,72
2	0	0	4	1,04	1,08	2,86
7	1	7	49	1,64	0,41	0,48
3	3	9	9	1,16	3,39	1,72
3	1	3	9	1,16	0,03	0,48
6	3	18	36	1,52	2,19	1,72
1	0	0	1	0,92	0,85	2,86
2	2	4	4	1,04	0,92	0,1
10	1	10	100	2	1	0,48
4	4	16	16	1,28	7,4	5,34
7	2	14	49	1,64	0,13	0,1
6	1	6	36	1,52	0,27	0,48
9	1	9	81	1,88	0,77	0,48
8	0	8	64	1,76	3,1	2,86
10	1	10	100	2	1	0,48
9	2	18	81	1,88	0,01	0,1
193	44	360	1719	43,96	2959	31,64

b = = 0,12 a = = 0,8

funkcja regresji ŷ = a + bx

ŷ = 0,8 + 0,12x

Średnia liczba awarii zwiększy się o 0,12 jeżeli samochód będzie starszy o

rok.

Badanie dopasowania funkcji regresji do danych empirycznych

/ analiza wahań przypadkowych /

Różnica między wartościami zaobserwowanymi a wyznaczonymi

² = 29,59

Miarą wahań przypadkowych jest wariancja resztowa

S²e = = = 1,23

Se =

Se = = 1,11 awarii

Zaobserwowana liczba awarii różni się od oszacowanej funkcją regresji /ŷ = 0,45 + 0,35x/ średnio o 0,85 awarii.

Ile awarii może mieć samochód 10 - letni ?

funkcja regresji ŷ = a + bx

ŷ = 0,8 + 0,12x

ŷ_(x=10) = 0,8 + 0,12 · 10 = 2

Ve(x) = · 100 = · 100 =

ŷ_(x=10) - Se < y_(x=10) < ŷ_(x=10) + Se

0 < y_(x=10) < 3

Spodziewać się należy że pojazd 10 letni eksploatowany w tych warunkach może mieć od 0 do 3 awarii.

Współczynnik zbieżności

Miara wahań przypadkowych

0 < ϕ2 < 1

Im bliżej 0 tym funkcja lepiej dopasowana do danych empirycznych. Inter współczynnika zbieżności informuje jaka część zmienności zmiennej zależnej nie została wyjaśniona wpływem zmiennej niezależnej /x/ , lecz jest czynnikiem działania innych czynników.

ϕ2 = = = 0,94

94 % zmienności ilości awarii nie zależy od wieku pojazdu a od innych czynników.

Współczynnik determinacji

R² = 1 - ϕ2 = r²

Informuje jaka część zmiennych zmiennej zależnej została wyjaśniona wpływem zmiennej niezależnej.

R² = 1 - ϕ2 = r² = 1 - 0,94 = 0,06

Około 6 % zmienności liczby awarii zależy od wieku pojazdu.

Pierwiastek ze współczynnika determinacji, zwany indeksem korelacji określa siłę współzależności między zmiennymi i w przypadku związku liniowego jest on równy współczynnikowi korelacji liniowej Pearsona .

R =

Współczynnik korelacji - R = 0,24

Współczynnik korelacji Pearsona r = 0,27

Współczynnik korelacji ma wartość zbliżoną do współczynnika Pearsona. Różnica wyniku jest następstwem przyjęcia zaokrąglonych wielkości parametrów regresji a i b.

---