WYKŁAD nr 1 - szkoły ponadgimnazjalne Liczby zespolone i ich interpretacja geometryczna Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taka parę zapisuje się w postaci sumy , gdzie . Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę (rzeczywistą) a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc: Re z = a Im z = b. Liczby zespolone postaci a + 0i zapisujemy jako a i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczba zespolona jest równa zero, wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0. Zauważmy również, że kolejność liter w zapisie nie gra roli: a + bi = a + ib = bi + a = ib + a. Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny zaopatrzonej w prostokątny układ współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa. Liczbą przeciwną do nazywamy . Natomiast liczbę nazywamy liczbą sprzężoną do z lub sprzężeniem liczby z. Zauważmy, że podwójne sprzężenie liczby z jest równe dokładnie liczbie z. Przykład: Dana jest liczba z= 2-3i. Liczba przeciwna do z to -2+3i, Natomiast sprzężona to 2+3i Natomiast modułem liczby zespolonej nazywamy liczbę Zauważ, że moduł liczby z , jest odległość tej liczby od 0. Przykład: Istniej pewien związek między modułem liczby z a jej sprzężeniem :

Działania na liczbach zespolonych Niech teraz , . Liczby zespolone są równe, gdy mają jednakowe zarówno części rzeczywiste i części urojone: Dodajemy, odejmujemy i mnożymy liczby zespolone tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że . Tak więc: Trochę trudniej jest z dzieleniem, a dokładniej do doprowadzenia ilorazu do postaci Re z + Im z i. Zastosujemy tu wzór: Obliczmy teraz iloraz oczywiście zakładając, że : Przykład: Oblicz wiedząc, że Rozwiązanie: =(3+4i)+(3-4i)=3+4i+3-4i=6 =(3+4i)-(3-4i)=3+4i-3+4i=8i =(3+4i)(3-4i)= 9-16i =9-16(-1)=9+16=25 = Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. (Powyższe wzory można przyjąć za definicję działań.) Wynika z nich, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. Więc mówiąc, że liczba jest dodatnia nie musimy dodawać, że jest ona rzeczywista.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej Liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej: Liczbę nazywamy modułem , a kąt skierowany (dokładniej jego miarę) argumentem liczby i oznaczamy arg z. Wartość argumentu liczby z czyli określamy na podstawie wartości funkcji cosinus i sinus dla, które są dane wzorami: . Ta postać liczby zespolonej także ma interpretację geometryczną: Wygodniej jest nie ograniczać zakresu zmienności argumentu , ale tracimy przez to jednoznaczność. Liczbie zespolonej różnej od zera odpowiada nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli jest argumentem liczby , to każdy inny argument tej liczby wyraża się wzorem , gdzie k jest liczbą całkowitą. Dwie liczby zespolone są sobie równe, wtedy i tylko, gdy mają równe moduły i argumenty różniące się o całkowitą wielokrotność liczby . Jeżeli to nazywamy argumentem głównym i oznaczamy Arg  . (Niektóre podręczniki nieco inaczej definiują argument główny: Argumentem głównym nazywają, gdy . Przykład Napisz postać trygonometryczną liczby zespolonej postaci = Rozwiązanie: Ponieważ , zatem na podstawie funkcji f(x)=tgx odczytujemy rozwiązanie . Wstawiamy nasze dane do wzoru na postać trygonometryczną = = ) Trygonometryczna postać liczby zespolonej bardzo ułatwia mnożenie i dzielenie, natomiast niezbyt nadaje się do dodawania i odejmowania. Jeżeli , to .

Potęga i pierwiastek z liczby zespolonej Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest również wykorzystywana do liczenia potęg i pierwiastków liczb zespolonych. Wzór na n-tą potęgę liczby zespolonej zwany wzorem Moivre'a: . Przykład Oblicz a) b) Rozwiązanie: a) , zatem 1+i= b) Ponieważ , zatem . = Natomiast pierwiastki z liczby zespolonej są dane wzorem: , gdzie . Jeżeli się przyglądniemy wartościom pierwiastków liczby zespolonej, to zauważymy, że ich moduły są takie same i argumenty różnią się o wielokrotność . Z tej obserwacji wnioskujemy, że pierwiastki leżą na jednym okręgu o środku w punkcie 0 i promieniu równym modułowi pierwiastka oraz że pierwiastki dzielą okręg na n równych części. Jest to bardzo użyteczny wniosek przy zaznaczaniu pierwiastków na płaszczyźnie Gaussa, ponieważ wystarczy narysować okręg o promieniu , policzyć i zaznaczyć jeden pierwiastek danej liczby oraz podzielić okrąg na n równych części tak, aby policzony pierwiastek był jednym z punktów podziału. W ten sposób otrzymujemy wszystkie pierwiastki liczby . Pierwiastki szóstego stopnia z 1 - x0 ... x5. Przykład Zajdź pierwiastki liczby zespolonej Rozwiązanie: Stąd na podstawie wykresów funkcji sinus i cosinus wynika, że Dla k=0 mamy Dla k=1 mamy Dla k=2 mamy

Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych Zasadnicze twierdzenie algebry W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian stopnia n posiada dokładnie n pierwiastków (licząc z krotnościami pierwiastków) i rozkłada się na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego. W zbiorze liczb rzeczywistych mogliśmy rozłożyć wielomian na czynniki stopnia pierwszego i na nierozkładalne czynniki stopnia drugiego. Stąd też wynika, że w zbiorze liczb rzeczywistych wiemy tylko, że pierwiastków jest conajwyżej n. Wnioskiem z zasadniczego twierdzenia algebry jest fakt, że w zbiorze liczb zespolonych nie ma nierozkładalnych wielomianów stopnia drugiego. I rzeczywiście: gdy wyróżnik jest większy lub równy 0, to nic się nie zmienia, natomiast gdy wyróżnik jest mniejszy od zera, to istnieją dwa różne pierwiastki. Rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych wymaga znania metod rozwiązywania równań w zbiorze liczb rzeczywistych. Przykład Rozwiąż równanie a) b) c) Rozwiązanie: a) , , b) , , c) , , , zatem

 Zadania

1) Zaznaczyć w układzie współrzędnych następujące punkty: a) b) spełniające zależność . c)spełniające zależność

2) Dane są następujące liczby zespolone: Wykonaj działania: 3) Zapisz w postaci

4) Policzyć moduły liczb zespolonych:

5) Znaleźć w układzie współrzędnych zbiory opisane następującymi nierównościami:

6) Udowodnić, że następujące związki są prawdziwe:

7) Przedstawić następujące liczby zespolone w postaci trygonometrycznej: a) b) c)

8) Stosując postać trygonometryczną wykonać działania: a) b) c) d)

9) Podnieść do danej potęgi liczby zespolone: a) b) c)

10) Policzyć następujące pierwiastki liczb zespolonych:

11) Obliczyć i zaznaczyć w układzie współrzędnych pierwiastki liczb zespolonych:

12) Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych: . Wskazówka: przedstaw z w postaci a+bi

13) Rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych równania:

Opracowała Katarzyna Gołaszewska

ZSP Łochów

---