Struktura i podział testów

Hipotezy dotyczące proporcji testuje się zgodnie z ogólnymi zasadami testowania hipotez statystycznych: formułujemy hipotezy, zakładamy poziom istotności α - dopuszczalną wartość błędu pierwszego rodzaju, następnie na podstawie danych z próby wyznaczamy wartość statystyki testowej, po czym porównujemy ją z wartościami krytycznymi odczytanymi z tablic odpowiedniego rozkładu teoretycznego. Postać stosowanej statystyki testowej zależy od następujących czynników:

• czy badamy hipotezę dotyczącą jednej, dwóch, czy wielu proporcji

• jaka jest liczebność próby (prób) występujących w danym zagadnieniu

• w przypadku dwu lub więcej prób - czy próby są niezależne, czy zależne (powiązane).

Poniżej przedstawiono w skrócie kilka testów najczęściej wykorzystywanych w poszczególnych sytuacjach.

Testy dla jednej proporcji (test dla prób dużych)

W próbie losowej o liczebności n jest m elementów spełniających pewien warunek. Wówczas proporcja w próbie
. Chcemy sprawdzić, czy taki wynik losowania pozwala przyjąć, że w całej populacji proporcja ta ma zadaną z góry wartość p_o. Hipotezy mają postać:

H₁: postać hipotezy alternatywnej zależy od sformułowania zagadnienia:

(1)

(2)

(3)

Założenia: próba musi być dostatecznie duża, to znaczy jej liczebność musi spełniać warunek n > 50, a otrzymana wartość proporcji z próby powinna spełniać warunek: 0,2 < p < 0,8. Można wtedy zastosować statystykę o rozkładzie normalnym. Obliczamy:

,

gdzie q_o = 1 − p_o. Jeśli hipoteza zerowa H₀ jest prawdziwa, to statystyka z ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny - wynika to z Centralnego Twierdzenia Granicznego.

Wartość tak obliczonej statystyki porównujemy z wartością krytyczną (lub dwiema wartościami krytycznymi) wyznaczonymi na podstawie poziomu istotności α dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

Wartości krytyczne znajdujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego. Jeżeli U jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, a U ^{− 1} - funkcją odwrotną do dystrybuanty, natomiast α - założonym poziomem istotności - to odczytujemy:

• dla przypadku (1):

z_kryt = U ^{− 1}(1 − α)

• w przypadku (2):

• zaś w przypadku (3) mamy 2 wartości graniczne:

.

Przedział krytyczny:

• w przypadku (1) jest prawostronny, czyli gdy z > z_kryt - odrzucamy H₀, w przypadku przeciwnym - nie ma podstaw do jej odrzucenia.

• w przypadku (2) przedział krytyczny jest lewostronny (dla z < z_kryt odrzucamy H₀),

• w przypadku (3) przedział krytyczny jest obustronny (dla z > z_kryt1 i dla z < z_kryt2 odrzucamy H₀).

Testy dla dwóch proporcji

Dwie próby niezależne

Poniżej omówiono dwa testy - jeden dla dużych liczebności prób, oparty na statystyce z o rozkładzie normalnym, analogiczny do omówionego powyżej dla jednej próby, drugi, możliwy do zastosowania przy nieco mniejszych liczebnościach prób, oparty na statystyce o rozkładzie chi-kwadrat.

Test dla dwóch prób dużych

Liczebności prób powinny spełniać relacje: n₁ > 50 i n₂ > 50. Jeżeli spośród n₁ elementów pierwszej próby m₁ spełnia określony warunek, to proporcja z próby jest równa

.

Analogicznie dla drugiej próby:

.

Wyznaczamy proporcję dla „próby połączonej”:

oraz
a następnie wyznaczamy wartość statystyki z:

Statystyka ta ma rozkład normalny i wartości krytyczne oraz obszary krytyczne wyznaczamy dla tego testu tak samo, jak to opisano wcześniej w teście dla jednej proporcji.

Test dla dwóch prób o mniejszych liczebnościach (oparty na statystyce chi-kwadrat)

Tutaj liczebności muszą spełniać warunek n = n₁ + n₂ > 20

Liczby elementów spełniających lub nie spełniających zadanego warunku w poszczególnych populacjach można zapisać w tabeli 2x2:

Liczba elementów:	Próba 1	Próba 2	Suma:
spełniających warunek (TAK)	a	b	a + b
nie spełniających warunku (NIE)	c	d	c + d
Suma:	n1=a+c	n2=b+d	n=a+b+c+d

Na podstawie tabeli obliczamy wartość statystyki

gdzie

Jeżeli liczebności prób są na tyle duże, że n₁ + n₂ > 40 - można wówczas pominąć w liczniku składnik
w nawiasie. Wartości krytyczne wyznacza się z tablic rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody.

Dwie próby zależne

Ten przypadek występuje na przykład wtedy, gdy te same obiekty czy osoby stanowiące próbę są badane dwukrotnie w różnych warunkach. Wtedy zwykle liczebności obu prób są jednakowe: n₁ = n₂ = n

Wynikiem takiego eksperymentu są 4 liczby, stwierdzające, ile obiektów w każdej z prób spełnia lub nie spełnia warunku. Wyniki takie można zestawić w tabelce 2x2:

Liczebności	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	a	b
Próba 1: NIE	c	d

Te same wyniki można też zaprezentować w postaci tabelki proporcji zamiast liczebności (gdzie np.
itd.)

Proporcje:	Próba 2: TAK	Próba 2: NIE
Próba 1:TAK	p11	p10
Próba 1: NIE	p01	p00

W zależności od liczebności prób możliwe są różne odmiany testu.

Liczebność duża

Jeżeli
, to wyznaczamy statystykę z o rozkładzie normalnym z jednego ze wzorów:

(stosujemy dowolny z powyższych wzorów, zależnie od dostępnych danych). Wartość statystyki z porównujemy z wartością z_kryt wyznaczoną z tablic rozkładu normalnego, przy czym postępowanie jest takie samo, jak opisane powyżej dla testu dla jednej proporcji.

Liczebność mała (test McNemara)

W tym przypadku hipotezy mają postać:

(proporcje w obu doświadczeniach są równe)

(proporcje w obu przypadkach różnią się istotnie)

Jeżeli b + c > 10 oraz zarówno b > 5 jak i c > 5 to można wykorzystać statystykę

Jeżeli natomiast liczebności są jeszcze mniejsze, tak, że b + c > 10, ale b < 5 lub c < 5, należy wykorzystać nieco zmodyfikowany wzór:

Wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat dla danego poziomu istotności α i v = 1 stopnia swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny (odrzucamy H₀, gdy
).

Testy dla wielu proporcji

Mamy tu k prób o liczebnościach
. W i-tej próbie m_i elementów spełnia zadany warunek, zatem proporcja w i-tej próbie jest równa
.

Testujemy hipotezy:

(wszystkie proporcje w populacjach są jednakowe)

H₁: nie H₀ (proporcje w poszczególnych populacjach różnią się)

Próby niezależne

Test Fishera-Snedecora

Jeżeli wszystkie liczebności
to można wyznaczyć statystykę o rozkładzie Fishera-Snedecora. Obliczamy najpierw „średnią proporcję”

oraz

Otrzymaną wartość statystyki F porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu Fishera-Snedecora dla założonego poziomu istotności α oraz liczby stopni swobody v₁ = k − 1 i
. Obszar krytyczny jest prawostronny, czyli gdy F > F_kryt — odrzucamy hipotezę H₀.

Próby zależne

Jeżeli mamy do czynienia z k zależnymi próbami (seriami wyników) o jednakowej liczebności n każda (np. n osób jest poddawanych k razy badaniu, którego wynik klasyfikujemy w kategoriach: tak, nie), przy czym liczebności są
, możemy wykorzystać test Cochrana do stwierdzenia, czy wyniki w poszczególnych doświadczeniach różnią się istotnie:

H₀: wyniki poszczególnych serii nie różnią się istotnie

H₁: wyniki różnią się (zmiana warunków eksperymentu wpływa na wyniki)

Niech:

• m_i oznacza, jak poprzednio, liczbę obiektów w i-tej próbie, które spełniają warunek (wynik Tak), to znaczy
  , zaś
  ,

• w_j oznacza liczbę prób, w których j-ty obiekt uzyskał wynik Tak - to znaczy
  oraz
  .

Obliczamy statystykę

którą porównujemy z wartością krytyczną odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat dla poziomu istotności α i v = k − 1 stopni swobody. Obszar krytyczny testu jest prawostronny.

---