Pytania na egzamin z wytrzymałości materiałów

• Dlaczego tylko układy geometrycznie niezmienne mogą być analizowane statycznie

Równania statyczne odnoszą się jedynie do układów nieruchomych (geometrycznie niezmiennych - układ jest geometrycznie niezmienny jeśli ma odebrane wszystkie stopnie swobody ). Do obliczenia ukł. Geometrycznie zmiennych stosuje się zasady dynamiczne.

• Kiedy 2 tarcze są połączone w sposób geometrycznie niezmienny a kiedy 3 tarcze?

DWIE TARCZE koniecznym i wystarczającym warunkiem połączenia 2 tarcz w sposób geometrycznie niezmienny jest połączenie ich co najmniej trzema prętami, które nie są równoległe, ani ich kierunki nie przecinają się w jednym punkcie

TRZY TARCZE warunkiem koniecznym i wystarczającym warunkiem połączenia 3 tarcz w sposób geometrycznie niezmienny jest połączenie każdych dwóch co najmniej dwoma prętami w taki sposób, aby pręty te nie były równoległe, ani też punkty przecięcia się kierunków prętów łączących każde dwie tarcze nie leżały na jednej prostej, oraz aby nie schodziły się w jednym punkcie.

• Czy istnieje związek pomiędzy statyczną wyznaczalnością a geometryczną niezmiennością układu?

W zasadzie nie ma związku. Układy statycznie wyznaczalne to te w których niewiadome można wyznaczyć z 3 równań równowagi statycznej. Układy niezmiennie geometrycznie to układy w których liczba stopni swobody = 0.

• Przedstaw tw. O równoważności układów sił wewnętrznych i zewnętrznych

{W_II} = {Z _I}

{W_I} = {Z _II}

• Jaki związek istnieje pomiędzy układem sił wewnętrznych a siłami przekrojowymi

Siły przekrojowe to siły wewnętrzne zapisane w układzie własnym przekroju

• Podaj definicję pręta kratowego. Z jakim układem sił wewnętrznych mamy do czynienia

Pręt kratownicy - pręt prosty połączony przegubowo na obu końcach i obciążony jedynie siłami skupionymi w przegubach (przeguby bez tarcia);

Układ sił wewnętrznych - Jedna stała siła podłużna, której znak jest ważniejszy od wartości.

• Narysuj trzy twierdzenia o prętach zerowych kratownic.

• Jakie właściwości posiada macierz przejścia?

MACIERZ PRZEJŚCIA - macierz współczynników dostaw kierunkowych (cos kierunkowych) pomiędzy układami wsp. (osi nowego układu współrzędnych w starym układzie albo na odwrót);

- macierz jest ortonormalna : ortogonalna i unormowana

- służy do zapisu prawa transformacji wektorowej

- macierz ogólnie nie jest symetryczna;

• Zapisz wzór definiujący tensor II rzędu (wystarczy jedna z kilku możliwości).

obiekt geometryczny, który pomnożony przez wektor daje na wynik wektor

t_ij ∙ v_j = w_i

• Przedstaw interpretację składowych macierzy naprężenia: na przekątnej głównej i poza nią. Podaj ich wymiar.

na przekątnej leżą NAPRĘŻENIA NORMALNE, pozostałe to NAPRĘŻENIA STYCZNE

jej wymiary to [Pa] używany częściej [MPa}

• Na czym polega analiza stanu naprężenia w punkcie?

Stan naprężenia w punkcie to nieskończony zbiór wektorów naprężeń przyporządkowanych wszystkim płaszczyznom przecięcia bryły, przechodzących przez ten punkt.

Analiza stanu naprężeń polega na poszukiwaniu takiego kierunku cięcia wzg. którego naprężenia są największe ( szukamy 3 szczególnych płaszczyzn przekroju - prostopadłych do osi układu wsp. wzg. których naprężenia będą największe a odkształcenia tylko liniowe)

σ_  

T_{σ }  σ_ 

  σ_

• Narysuj koło Mohra dla 2D : σ₁ = 15, σ₂ = 5

• Zapisz ogólny wzór dla statycznych warunków brzegowych

σ_ij ∙ n_j = p_i σ_ij - wektor obciążenia tuż pod „brzegiem”

p_i - wektor obciążenia na zewnątrz

• Jak wyglądają kierunki główne jeśli wartości własne: a) są różne b)dwa sa sobie równe c) trzy są sobie równe:

Ad. a - kierunki są do siebie prostopadłe

Ad. b - istnieje cała płaszczyzna kierunków głównych

Ad. c - istnieje cała przestrzeń kierunków głównych

• Podaj wzory na wartości własne i kierunki główne w przypadku 2D

σ_1,2 = (σ_x + σ_y)/2 ∙ (+/-) √ ((σ_x + σ_y)/2)² + (τ_xy)²)

tg ά_i = (σ_i - σ_x) / τ_xy

• Podaj interpretację składowych macierzy odkształcenia. Podaj ich wymiar.

przekątna główna- względne wydłużenia (odkształcenia liniowe)

poza - połówki odkształceń kątowych (połowa zmiany kąta prostego między osiami)

wymiar [1] -wart. bezwym.

dla σ (naprężenia) :

na przekątnej leżą naprężenia normalne , pozostałe to względnie wydłużenie (przyrost długości do długości pierwotnej)

dla ε (odkształcenia) :

na przekątnej leżą odkształcenia normalne , pozostałe to połowa zmiany kąta między osiami x i y.

Wielkość bezwymiarowa [1], i bardzo mała.

• Jaka jest różnica pomiędzy jednorodnością a izotropią materiału?

IZOTROPIA - niezależność właściwości mechanicznych (jak np. moduł Younga) od kierunku

JEDNORODNOŚĆ - wykazywanie jednakowych właściwości w każdym pkt.

• Co to znaczy że materiał jest sprężysty?

właściwość materiału polegająca na tym, że po zdjęciu obciążenia materiał powraca do konfiguracji pierwotnej

• zapisz symbolicznie ( macierzowo) trzy postaci równań Hooke'a

Tσ = E Tε

Dσ = 2G Dε

Aσ = 3K Aε

• Uzasadni nazwy : prawo zmiany postaci, prawo zmiany objętości

Prawo zmiany postaci: proces polegający na zmianie postaci bez zmiany objętości

Dσ = 2G Dε,

D - dewiatory, G - moduł odkształcenia postaciowego

Prawo zmiany objętości: (proces polegający na zmianie objętości bez zmiany postaci

Aσ = 3K Aε,

A - aksjatory, K - moduł ściśliwości objętościowej

• Wymień podstawowe stałe materiałowe dla materiałów Hooke'a

E - moduł sprężystości podłużnej Younga [Pa]

υ - współczynnik Poissona [1]

G - moduł odkształcenia postaciowego Kirchhoffa [Pa]

B - moduł odkształcenia objętościowego Helmholtza [Pa]

λ i μ - stałe Lamégo [Pa]

• O czym mówi zasada de Saint-Venanta?

Zasada mówi, że jeśli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem - jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) - to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się).

• Co wynika z istnienia osi symetrii przekroju?

To że oś symetrii jest główną centralną osią bezwładności

• Co wynika z istnienia więcej niż dwóch osi symetrii przekroju ?

Jeżeli jest więcej niż dwie osie symetrii to każda kolejna jest główną osią symetrii

• Rozciąganie - przedstaw interpretację modułu Younga i liczby Poissona v

Moduł sprężystości podłużnej (Younga):

Stała materiałowa- wielkość określająca sprężystość materiału - tangens kąta nachylenia wykresu odkształcenia w funkcji naprężenia na prostoliniowej części wykresu rozciągania - dla statycznej próby rozciągania

Jednostką modułu Younga jest paskal, czyli N/m2, dla stali ok. 210 GPa

σ

ά

ε

Liczba Poissona:

bezwymiarowa stała materiałowa, określająca stosunek odkształceń poprzecznych do odkształcenia podłużnego dla rozciągania. Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową

gdzie: ε - odkształcenie, n - dowolny kierunek prostopadły do m

• Omów założenia geometrycznej liniowości dla zadań statycznie niewyznaczalnych

Pręty wydłużają się a kąty nie ulegają zmianie

• Od czego zależy krzywizna pręta zginanego?

И(kappa) = | M / E ∙ I_y |

Jest proporcjonalna do momentu zginającego i odwrotnie proporcjonalna do sztywności zginania

• Wymień dwa podstawowe typy warunków projektowania

1.Warunek obliczeniowy w stanie granicznym nośności:

N_max ≤ N_R → N_max / N_R ≤ 1

N_R - nośność przekroju porzecznego pręta rozciąganego N_R = A ∙ f_d

2. Warunek obliczeniowy w stanie granicznym użytkowania:

u_max ≤ u_dop

(N ∙ L)/ (E ∙ A) ≤ u_dop (dopuszczalna wartość wydłużenia)

• Zginanie ukośne - jak się ma kierunek osi obojętnej do kierunku wypadkowego momentu zginającego ?

Nie pokrywają się. Oś obojętna odchyla się od kierunku momentu zawsze w stronę tej osi bezwładności wzg. której moment bezwładności jest mniejszy

Tg ά = ( I_y / I_x ) ∙ ( M_x / M_y )

z = [ ( I_y / I_x ) ∙ ( M_x / M_y ) ] ∙y

• Zginanie ukośne - jak najprościej określić naprężenie normalne w dowolnym punkcie przekroju

Oś obojętna

bryła

Naprężenie w dowolnym pkt.

---