1 Całka podwójna w prostokącie

Na płaszczyźnie OXY dany jest prostokąt P określony nierównościami

P:

Dana jest też funkcja z = f(x,y) ograniczona i określona w tym prostokącie

Prostokąt P dzielimy na n-prostokątów częściowych, które oznaczamy przez Pi

- określamy średnicę podziału ∂_i - jest to największa odległość dwóch punktów należących do prostokąta P_i

- w każdym z prostokątów P_i dobieramy punkt pośredni A_i (x_i,y_i) oraz wyznaczamy wartość funkcji w punkcie pośrednim f(x_i,y_i)

następnie tworzymy sumę S_n=

- czynności te powtarzamy wiele razy tworząc ciąg .... prostokąta P, taki , że średnica δ_n →0 jeśli n →0

Def. Jeśli ciąg sum całkowitych S_n ma tę samą granicę przy każdym normalnym podziale prostokąta P i jeżeli granica ta nie zależy od wyboru punktów pośrednich A_i to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f(x,y) w prostokącie P i oznaczamy

ją :

Czyli

2 Całka podwójna w obszarze normalnym

Podział nazywamy normalnym jeżeli Δ_n → 0 gdy n → ∞

Def. Jeżeli dla każdego dowolnego normalnego ciągu podziału istnieje granica właściwa

Jeśli istnieje ta granica, to jest całką podwójną.

Tw. Z = f(x,y) jest całkowalne w P<=>kiedy f(x,y) będzie ciągła za wyjątkiem punktu zbieżnego do zera.

Def. Obszarem normalnym względem OX nazywamy obszar D spełniający nierówność

D:

C = inf ϕ(x) d:sup ϕ(x)

x∈<a,b> x∈<a,b>

f (x,y) =
P:

Def. Obszarem normalnym względem OY nazywamy obszar D spełniający warunek:

D: D:

3 Interpretacja geometryczna całki podwójnych

Niech f(x,y) = k

f (x,y)≥0

P:

4. Interpretacja fizyczna całek podwójnych

D-regularny obszar

q (x,y)- jest to gęstość D

Moment statyczny:

-moment statyczny

względem OX

-moment statyczny

względem OY

Środek ciężkości P (x₀,y₀)

Moment bezwładności:

-względem OX

-względem OY

-względem OZ

5. Zmiana zmiennych w całce podwójnej

Jeżeli przekształcenie x=φ(u,v) y=ψ(u,v) odwzorowuje płaski domknięty obszar regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (u,v) na obszar domknięty, regularny ∆ w płaszczyźnie zmiennych (x,y)oraz: 1⁰ funkcje φ i ψ są klasy C¹ w obszarze ∆ (ciągłe ,różniczkowalne). 2⁰ Funkcja f jest ciągła w obszarze D. 3⁰ Odwzorowanie wnętrz jest wzajemnie jednoznaczne. 4⁰ Wyznacznik funkcyjny Jakobian jest różny od zera wewnątrz ∆.

to:

Współrzędne biegunowe:

6. Całka potrójna. Interpretacja geometryczna (fizyczna)

Dany jest prostopadłościan P w przestrzeni Oxyz określony następująco :

oraz funkcja f(xyz) określona

tym prostopadłościanem:

1⁰ Prostopadłościan ten dzielimy

na n prostopadłościanów Pi o

objętościach Vi tak by podział

był normalny tzn średnia podziału dąży do zera gdy n→∞. 2⁰ W każdym prostopadłościanie Pi obieramy punkt pośredni Ai(xi,yi,zi) a następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie pośrednim i tworzymy sumę całkową

Def.

Całka potrójna po prostopadłościanie-jeżeli ciąg sum całkowym Sn ma tą samą granicę przy każdym normalnym podziale prostopadłościanu P i jeżeli ta granica nie zależy od wyboru punktów pośrednich to granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji F(x,y,z) i oznaczamy:

Interpretacja geometryczna całki potrójnej:
1⁰ Jeżeli

V-objętość prostopadłościana

2⁰ Jeżeli V jest objętością prostopadłościanu P, to liczbę f(c) gdzie cεP czyli:

nazywamy wartością

średnią funkcji f(x,y,z) w prostopadłościanie P.

Interpretacja fizyczna: -jeżeli u=u(x,y,z)-jest to gęstość objętościowa masy prostopadłościanu P to:

m-masa

Obliczanie całki potrójej: kolejność całkowania jest dowolna

7. Obliczanie całki potrójnej

Własności całek potrójnych wykorzystane do ich obliczania: obszar całkowania wolno dzielić na części składowe, całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik stały wolno wytyczyć przed znak całki.

Tw: Jeżeli P: a≤x≤b; e≤y≤d; p≤z≤g to

Całka iterowana

Ω: α₁≤α≤α₂; β₁≤β≤β₂; ν₁≤ν≤ν₂

W całce iterowanej funkcja F(α,β,ν) jest najpierw całkowana względem ν, przy tym α i β traktuje się jako , następnie otrzymany wynik całkuje względem β, a α traktuje się jako . następnie otrzymany wynik całkuje się względem α.

8. Zmiana zmiennych w całce potrójnej

Tw: Jeżeli przekształcenie x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) jest klasy C¹ i wzajemnie jednoznaczne w obszarze Ω oraz jakobian

, to

W przypadku gdy obszar całkowania jest walcem, kulą lub częściom z tych brył wskazane jest zamienić współrzędne prostokątne na współrzędne walcowe:

x=rcosϕ r≥0 y=rsinϕ 0<ϕ≤2∏ z=z -∞<z<∞

Wzór na zamiane zmiennych we współrzędnych walcowych:

9. Całka krzywoliniowa nieskierowana

Dany jest na płaszczyźnie R² łuk zwykły o końcach AB

L=AB o równaniach parametrycznych

l: x=x(t), y=y(t), t∈<t₁,t₂) łuk ten nie ma określonego kierunku.

1)Łuk dzielimy na części l₁,l₂,l₃,…l_n o długościach Δl_i gdzie i=1,2,…,n, ł_n=maxΔl_i - maksymalna długość łuków częściowych, jest to średnia podziału 1≤i≤n jeśli ł_n→0 przy n→∞ podział normalny.

2)Na każdym łuku obieramy punkt pośredni P_i(ξ_i,n_i) oraz tworzymy wartość funkcji w tym punkcie.

3)Tworzymy sumę całkową dla punktów P_i=S_n=Σϕ(ξ_i,n_i)Δl.

Def: Jeżeli dla każdego normalnego podziału łuku l granica ciągu sum całkowych S_n jest właściwa, niezależna od wyboru punktów pośrednich, to taką granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji ϕ(x,y) po łuku l i oznaczamy

Obliczenie całki krzywoliniowej nieskierowanej:

1)Jeśli l∈R² ma równanie parametryczne l: x=x(t); y=y(t); t∈<t₁,t₂> to

2)Jeśli l∈R³ : l:x=x(t); y=y(t); z=z(t) t∈<t1,t2> to

3)Jeżeli l dany jest równaniem y=f(x), x∈<a,b>

10 .Całka krzywoliniowa skierowana

Na płaszczyźnie RZ dany jest łuk zwykły skierowany o początku A i końcu B.
t∈<t1,t2>

Na łuku tym określone są dwie funkcje P(x,y) oraz punkt Q(x,y). Na łuku tym budujemy funkcję. DEF.

Jeżeli dla każdego normalnego podziału łuku l ciąg sum całkowych Sn ma granicę niezależną od wyboru punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną po łuku AB i oznaczamy:

Jeśli A=B, to całka określ. jest po krzywej zamkniętej K i oznaczamy ją:

Obliczanie całki skierowanej.

1. jeśli
t∈<t1,t2> to:

2. Jeśli y =f(x) x∈<a,b>

11 Twierdzenie Grenna i jego zastosowanie.

Obszar D normalny względem OX i OY.

Krzywa K=∂D

P(x,y) , Q(x,y) ∈ C¹(D)- funkcja różniczkowalna w tym obszarze ;

to wtedy z tego wynika:

Przykład:

Q(x,y)=2x

P(x,y) = y

12. Całka różniczki zupełnej funkcji dwóch zmiennych.

P(x,y) Q(x,y) U(x,y) - funkcja dwóch zmiennych

∂u/dx=P(x,y) ∂u/dx=Q(x,y)

∂u = P(x,y) Q(x,y)dy

Jeżeli:

to:

(x₀,y₀)=P

13) Szeregi liczbowe. Suma szeregu. Warunek konieczny zbieżności.

Sumę postaci a1+a2+...+an ,gdzie a1,a2,...an jest ciągiem liczbowym nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem
.

Wyraz an nazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Liczby a1,a2,...an nazywamy wyrazami szeregu. SUMA SZEREGU-budujemy tkzw. ciąg sum częściowych: S1,S2,...,Sn, gdzie S1=a1, S2=a1+a2, Sn=a1+a2+...+an

Warunek konieczny zbieżności szeregu. Warunkiem dostatecznym i koniecznym zbieżności szeregu jest warunek istnienia granicy ciągu S1, S2, Sn gdy n→∞.

Jeżeli
jest zbieżny to

14.Szereg Dirichleta. Kryterium porównawcze.

1)Jeżeli dla każdego /\ n≥ n_o a_n ≤Mn i szereg

jest zbieżny, to
jest też zbieżny.

2) Jeżeli /\ n≥ n_o a_n ≥Mn i szereg
jest rozbieżny, to
jest też rozbieżny.

Dla porównynia szeregów stosuję się głównie szereg harmoniczny lub geometryczny.

Sz. harm.
α≤1 sz. rozbieżny ; α>1 zbieżny

Sz.geom.
|q|<1 zbieżny ; |q|>1 rozb.

15.Szeregi o wyrazach nieujemnych .Kryterium d'Alamberta i kryterium Cauchy'ego.

1)Kryterium d'Alamberta . Jeśli istnieje granica

lim n

an+1/an=q ,to szereg o wyrazach nieujemnych a) jest zbieżny gdy q<1 b)jest rozbieżny gdy q>1 c)gdy q=1 nie wiadomo.

2)Kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe).Jeśli istnieje granica lim n


=q, to szereg o wyrazach nieujemnych zbudowany z ciągu
jest :a)zbieżny gdy q<1 b)q>1 rozbieżny

16)Szeregi o wyrazach dowolnych. Kryterium Leibniza.

Jeżeli wyrazy a_n w szeregu
(-1)ⁿ⁺¹ a_n

_{spełniają następujące warunki:1)lim} n→∞ a_n =0 2)a_n >= a_n+1 czyli a_n- a_n+1>=0 to szereg zbieżny

Rodzaje zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych

1)Szereg
jest zbieżny bezwzględnie ,jeśli
jest zbieżny

2)Jeśli
jest zbieżny, ale

jest rozbieżny ,to szereg
jest zbieżny warunkowo

17. CIĄGI FUNKCYJNE. ZBIEŻNOŚĆ, JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU FUNKCYJNEGO.

Ciąg nieskończony którego wyrazami są funkcje określone w niepustym zbiorze liczbowym X , nazywamy ciągiem funkcyjnym, jest to ciąg: f₁(x);f₂(x);f₃(x)...,fn(x)...

Ciąg funkcyjny może być zbieżny albo rozbieżny.
Jeżeli ciąg funkcji (fn) jest zbieżny dla każdej liczby x∈X to określa on pewną funkcję f na tym zbiorze.
Ciąg (fn) jest zbieżny w zbiorze X do funkcji granicznej f zapisujemy lim_n→∞fn(x) = f(x) dla x∈X
DEFINICJA.Ciąg funkcyjny (fn) nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze X do funkcji granicznej f, jeżeli dla każdego
>0 istnieje taki wskaźnik n₀, że dla
każdego x∈X i dla każdego n>n₀ jest spełniona nierówność

18. SZEREGI FUNKCYJNE. KRYTERIUM WEIERSTRASSA.

Szereg, którego wyrazami są funkcje
f₁(x),f₂(x) ... ,fn(x) czyli szereg postaci :

nazywany jest szeregiem funkcyjnym.

Kryterium Weierstrassa: Jeżeli istnieje ciąg (a_n) liczb dodatnich i taki wskaźnik n₀ , że dla każdego naturalnego n>n₀ spełniona jest nierówność |fn(x)| ≤ a_n
oraz szereg liczbowy
jest zbieżny, to

Szereg funkcyjny
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze X.

19. CAŁKOWANIE (RÓŻNICZKOWANIE) SZEREGU FUNKCYJNEGO.

Twierdzenie o różniczkowaniu: jeśli szereg funkcyjny:
jest zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji fn jest w nim różniczkowalna, oraz szereg pochodnych:

jest jednostajnie zbieżny w P, to funkcja:

jest różniczkowalna i zachodzi równość:

Twierdzenie o całkowaniu: jeśli szereg funkcyjny :

Jest jednostajnie zbieżny w przedziale P i ponadto każda z funkcji f_n jest w nim całkowalna, to funkcja :

Jest całkowalna i zachodzi równość :

Szereg o wyrazach dodatnich (a_n>o), malejących an = f(n) jest zbieżny lub nie , w zależności od tego czy całka niewłaściwa

jest zbieżna lub nie. Gdzie f(x)- jest to malejąca funkcja ciągła

Kryterium to stosuje się wtedy , kiedy istnieje taka funkcja f(x), że jej wartość dla n naturalnych pokrywają się z wyrażeniami badanego szeregu, czyli a_n = f(n), a która jest określona dla wszystkich x większych od pewnej dodatniej liczby a.

20. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Przedział zbieżności.

Wśród szeregów funkcyjnych na szczególną uwagę zasługują szeregi potęgowe - są to szeregi w postaci :

gdzie: x0 - środedek szeregu

a1, a2, a3,..., an - są to współczynniki szeregu.

Dla x0=0 mamy szeregi w postaci:

Promień zbieżności nazywamy liczbę Rrówną kresowi górnemu zbioru wszystkich x, dla którego szereg jest zbieżny. Przedział (-R;R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu. Możliwe są 3 przypadki:

1. R=0

2. 0<R<

3. R=+

Do wyznaczania promienia zbieżności stosujemy twierdzenie:

1. Jeśli istnieje granica:

gdy q=
to R=0

gdy0<R<
to R=

gdy q=0 to R=

2. Jeżeli istnieje granica:

(tak jak wyżej)

21. Szereg Tailora. Rozwinięcie funkcji w szeregu Tailora.

Szereg Tailora to szereg w postaci:

np. Rozwinąć funkcję

w szereg Tailora

f(x₀)=f(1)=3+5+1+2=11

f'(x₀)=9x²+10x+1 f'(x₀)=f'(1)=9+10+1=20

f''=(x)=18x+10 f''(x₀)=f''(1)=18+10=28

f''(x)=18 f'''(x₀)==f'''(1)=18

to

22.Szereg Maclaurina. Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji elementarnych.

Gdy x₀=0, to szereg Tailora można zapisać wzorem

Szereg ten nazywa się szeregiem Maclaurina

Rozwinięcia w szereg funkcji elementarnych:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

dla /q/<1

23) Ciągi i szeregi ortogonalne.

Szereg ortogonalny jest to szereg funkcyjny, w którym każde dwa wyrazy są funkcjami ortogalnymi, jest postać:
gdzie ciąg {fn} jest ortogonalnym układem funkcji, {an} jest ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Szeregi ortogonalne stanowią uogólnienie szeregów trygonometrycznych. Jeżeli f(t) jest funkcją określoną na odcinku (a,b) to
w którym
nazywa się rozwiązaniem ortogonalnym funkcji.

24) Szereg Fouriera. Wzory Eulera-Fouriera

Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg Fouriera postaci a₀/2+(a₁ cos Πx/l + b₁ sin Πx/l)+(a₂ cos 2Πx/l + b₂ sin 2Πx/l)+... = a₀/2 +
(an cos nΠx/l + bn sin nΠx/l) gdzie l>0 a₀, a₁, a₂, b₁, b₂, b_n, ... pewne stałe (n=1,2,...) gdzie an i bn oblicza się ze wzorów Fouriera an = 1/l
f(x) cos nΠx/l dx n=0,1,2,... bn=1/l
f(x) sin nΠx/l dx n=0,1,2,...

25. Szereg trygonometryczny Fouriera

. y=f (x) w <a,b>

sz. Fouriera wzór Fouriera

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...}

Tw. Układ funkcji trygon. będzie ortogonalny

{1,cosx,sinx,...} jest ortogonalny w <-π,π>

całka tych funkcji będzie zero:

szereg trygon. Fouriera y=f(x) <-π,π> wzór ogólny:

wzory Eulera-Fouriera

C₀=2a₀ C_2n-1=a_n C_2n=b_n

Tw. Jeżeli szereg trygon. jednostajnie zbieżny w <-π,π> do f(x)=>

26) Warunki Dirichleta. Twierdzenie o rozwijalności w szereg trygonometryczny Fouriera.

Najprostsze warunki dostateczne rozwijalności funkcji w szereg Fouriera są podane w twierdzeniu Dirchleta. ,, Jeśli funkcja f(x) ma w przedziale <-l, l> skończoną ilość punktów nieciągłości pierwszego rodzaju ( lub jest ciągła) i ma w nim skończoną liczbę ekstremów (albo też nie ma ich wcale), to jej szereg Fouriera jest zbieżny, tzn. ma sumę S(x) w każdym punkcie tego przedziału. Przy tym: a) w punktach ciągłości funkcji f(x) szereg jest zbieżny do samej funkcji S(x)= f(x) b) w każdym punkcie nieciągłości funkcji szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej obu granic jednostronnych S(x_k)=1/2 [lim x
x^- _k f(x) + lim x
x⁺_k f(x)] c) na krańcach przedziału <-l, l> szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych granic funkcji , przy x zmierzającym do tych punktów od wewnątrz przedziału S(-l)= S(l)= 1/2 [ lim x
-l f(x) + lim x
l f(x)]

27. ROZWINIĘCIE W SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA FUNKCJI OKRESOWEJ.

szereg

Fouriera

1) Dla funkcji parzystej f(x) = f(-x) wszystkie współczynniki bn są równe zeru, to szereg Fouriera nie zawiera sinusów.

2) Dla funkcji nieparzystej f(x) = -f(-x) wszystkie współczynniki an są równe zeru i szereg Fouriera nie zawiera cosinusów

28. Postać zespolona szeregu trygon. Fouriera.Równość:

można zapisać w postaci zespolonej:

gdzie:

dla: n=0,±1,±2...

Równość w postaci zespolonej nazywamy równaniem funkcji f(x) na przedziale <-l,l > w zespolonym szeregu Fouriera. Jeżeli 2l jest okresem funkcji f(x), to wzór na C_n można zastąpić wzorem:

dla

29.Szereg dwumienny

mat. szereg potęgowy postaci
, gdzie a — dowolna liczba rzeczywista,
 = a(a - 1)(a - 2) · ... · (a - k + 1)/k!;

1. Całka podwójna w prostokącie

2. Całka podwójna w obszarze normalnym

3. Interpretacja geometryczna całek podwójnych

4. Interpretacja fizyczna całek podwójnych

5. Zmiana zmiennych w całce podwójnej

6. Całka potrójna. Interpretacja geometryczna (fizyczna)

7. Obliczanie całki potrójnej. Całki iterowane

8. Zmiana zmiennych w całce potrójnej. Współrzędne

sferyczne i walcowe.

9. Całka krzywoliniowa nieskierowana. Obliczanie całki, interpretacja geometryczna.

10. Całka krzywoliniowa skierowana. Definicja , obliczanie

11. Twierdzenie Greena i jego zastosowania.

12. Całka różniczki zupełnej funkcji dwóch zmiennych.

13. Szeregi liczbowe. Suma szeregu. Warunek konieczny zbieżności.

14. Szereg Dirichleta. Kryterium porównawcze.

15. Szeregi o wyrazach ujemnych. Kryterium d`Alamberta. Kryterium Cauchy`ego

16. Szeregi o wyrazach dowolnych. Kryterium Lebniza.

17. Ciągi funkcyjne. Zbieżność, jednostajna zbieżność

ciągu funkcyjnego

18. Szeregi funkcyjne. Kryterium Weierstrassa.

19. Całkowanie (różniczkowanie) szeregu funkcyjnego.

20. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Przedział

zbieżności.

21. Szereg Taylora. Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora.

22. Szereg Maclaurina. Rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji elementarnych.

23. Ciągi i szeregi ortogonalne.

24. Szereg Fouriera. Wzory Eulera-Fouriera.

25. Szereg trygonometryczny Fouriera.

26. Warunki Dirichleta. Twierdzenie o rozwijalności w

szereg trygonometryczny Fouriera.

27. Rozwinięcie w szereg trygonometryczny Fouriera

funkcji okresowej

28. Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera.

---