r. akad. 00/01	L A B O R A T O R I U M Z F I Z Y K I
nr ćwicz. 25	Rezonans mechaniczny
wydział: Mechaniczny R02 grupa: R02	imię i nazwisko: Marcn Kasprzyk
data wykonania:	ocena		data zaliczenia	podpis
	teoria
		Sprawozdanie

1. Zasada pomiaru

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z ruchem drgającym tłumionym, drganiami wymuszonymi i rezonansem drgań. A także wyznaczenie dekrementu logarytmicznego tłumienia, czasu relaksacji, współczynnika oporu oraz dobroci układu drgań tłumionych.

Drgania tłumione są drganiami o zmniejszającej się amplitudzie. Gdy na układ podziałamy siłą zmieniającą się okresowo, na przykład siła sinsoidalnie zmienną, wówczas ustalą się drgania o stałej amplitudzie, czyli niegasnące. Nazywamy je drganiami wymuszonymi.

Wielkości charakteryzujące ruch drgań tłumionych:

1. Dekrement logarytmiczny tłumienia

gdzie n to ilość drgań,

lub

Przy czym: T - okres drgań tłumionych; β- współczynnik tłumienia.

2. Czas relaksacji - τ- to czas, w którym amplituda drgań zmaleje e razy w stosunku do swej wartości początkowej,

3. Dobroć obwodu, która równa jest iloczynowi 2π i ilorazu energii oscylatora przez średnią energię traconą w jednym cyklu.

Można pokazać, że:

4. Współczynnik tłumienia

gdzie H - Współczynnik oporu ; I - moment bezwładności.

W doświadczeniu mamy również do czynienia z drganiami wymuszonymi.

Mw = M0 ∗ cos ωt

Przy czym: Mo - amplituda momentu wymuszającego; ω - częstość kołowa momentu wymuszającego.

Amplituda drgań jest największa w czasie gdy występuje rezonans. Rezonans mechaniczny występuje gdy impulsy działają na układ z częstotliwością w przybliżeniu równą częstotliwości drgań własnych pobudzanego układu.

Dobroć obwodu można odczytać wykresu krzywej rezonansowej i jest ona równa stosunkowi częstości rezonansowej układu do połówkowej szerokości krzywej rezonansu.

2. Ocena dokładności pojedynczych pomiarów.

W doświadczeniu stosowano następujące urządzenia :

- amperomierz (zkres 3000 mA; klasa dokładności 0,5),

- zasilacz regulowany 0 - 25 V,

- stoper.

Błąd odczytu amplitudy drgań przyjęto:

ΔA=0,5 najmniejszej działki na skali = 0,25 działki.

Błąd stopera przyjęto Δt = 0,5 s.

Błąd natężenia prądu ΔI

3. Tabele pomiarowe

TABELA 1

Wyznaczanie wielkości charakteryzujących swobodne drgania gasnące.

Lp	Ao [dz]	A4 [dz]	t4 [s]	T [s]	δ		τ [s]	[s]	H		Q
1. 2. 3. 4. 5.	5 6 7 8 9	3 4 5 5,5 6	5,53 5,60 5,37 5,22 5,72	1,38 1,40 1,34 1,31 1,43	0,13 0,10 0,08 0,09 0,10	0,03 0,00 0,02 0,01 0,00	10,62 14,00 16,75 14,56 14,30	3,43 0,05 2,70 0,51 0,25	6,59 5,00 4,18 4,81 4,90	1,49 0,10 0,92 0,29 0,20	48,35 62,83 78,54 69,83 62,83	16,13 1,65 14,06 5,35 1,65
					0,1	0,06	14,05	6,94	5,10	3,00	64,48	38,84
					0,012		1,39		0,60		7,80

TABELA 1a I = 1,2 [A]

Lp	Ao [dz]	An [dz]	t4 [s]	T [s]	δ		τ [s]	[s]	H		Q
1. 2. 3. 4. 5.	5 6 7 8 9	2 2,5 3 3,5 4,5	5,50 5,41 5,75 5,41 5,43	1,38 1,35 1,44 1,35 1,36	0,23 0,22 0,21 0,21 0,17	0,02 0,01 0,00 0,00 0,04	6,00 6,14 6,86 6,43 8,00	0,69 0,55 0,17 0,26 1,31	11,67 11,40 10,20 10,89 8,75	1,09 0,82 0,38 0,31 1,83	27,32 28,58 29,93 29,93 36,96	3,22 1,96 0,61 0,61 6,42
					0,21	0,07	6,69	2,98	10,58	4,43	30,54	12,82
					0,014		0,60		0,89		2,56

TABELA 2

Wyznaczanie krzywej rezonansu.

A	[dz]	1	2,5	4	6,5	9	7	2,5	1,5	0,5
T10	[s]	27,9	17,10	15,79	14,53	13,81	13,03	11,97	10,94	8,22
T	[s]	2,79	1,71	1,58	1,45	1,38	1,30	1,20	1,09	0,82
Ω		2,25	3,67	3,98	4,33	4,55	4,83	5,24	5,76	7,66

4. Przykładowe obliczenia wyników pomiarów wielkości złożonej

a) obliczenie okresu drgań T dla pomiaru nr 1 z tabeli 1:

b) wyznaczenie wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia δ dla pomiaru nr 1 z tabeli 1:

c) obliczenie czasu ralaksacji τ dla pomiaru nr 1 z tabeli 1:

d) obliczenie współczynnika oporu H dla pomiaru nr 1 z tabel 1:

e) obliczenie dobroci Q układu dla pomiaru nr 1 z tabeli 1:

f) wyznaczenie częstości kołowej drgań Ω dla pomiaru nr 1 z tabeli 2:

5. Rachunek błędów

1. wyznaczenie błędu ΔT dla pomiaru nr 1 z tabeli 1 ze wzoru:

2. 
   wyznaczenie błędu przeciętnego Δδ_p dla pomiaru nr 1 z tabeli 1:

3. wyznaczenie błędu logarytmicznego dekrementu tłumienia metodą różniczki logarytmicznej:

- dla danych zawartych w tabeli 1 pozycja nr 1:

4. wyznaczenie błędu czasu relaksacji metodą różniczki logarytmicznej:

• 
  dla danych zawartych w tabeli 1 pozycja nr 1:

5. 
   wyznaczenie błędu współczynnika oporu metodą różniczki logarytmicznej:

• dla danych zawartych w tabeli 1 pozycja nr 1:

6. wyznaczenie błędu dobroci układu metodą różniczki logarytmicznej:

- dla danych zawartych w tabeli 1 pozycja nr 1:

7. 
   wyznaczenie błędu częstości kołowej drgań metodą różniczki logarytmicznej:

• 
  dla danych zawartych w tabeli 2 pozycja nr 1

Z wykresu odczytujemy częstość rezonansową równą 4,55 Hz, oraz szerokość krzywej rezonansu (0,4 Błąd! Nie określono zakładki.0,15)Hz. Dobroć układu obliczamy ze wzoru:

6. Zestawienie wyników pomiarowych

DOŚWIADCZENIE I

I = 0 [A]

Pomiar	1	2	3	4	5
Ao [dz]	5,00 ± 0,25	6,00 ± 0,25	7,00 ± 0,25	8,00 ± 0,25	9,00 ± 0,25
A4 [dz]	3,00 ± 0,25	4,00 ± 0,25	5,00 ± 0,25	5,50 ± 0,25	6,00 ± 0,25
T [s]	1,38 ± 0,13	1,40 ± 0,13	1,34 ± 0,13	1,31 ± 0,13	1,43 ± 0,13
δ	0,13 ± 0,03	0,10 ± 0,03	0,08 ± 0,03	0,09 ± 0,02	0,10 ± 0,02
τ [s]	10,62 ± 3,41	14,00 ± 5,46	16,75 ± 7,96	14,56 ± 4,69	14,30 ± 4,15
H	6,59 ± 2,50	5,00 ± 2,25	4,18 ± 2,26	4,81 ± 1,83	4,90 ± 1,72
Q [dz]	48,35 ± 19,82	62,83 ± 30,16	78,54 ± 45,55	69,83 ± 29,93	62,83 ± 23,88

I = 1,2 [A]

Pomiar	1	2	3	4	5
Ao [dz]	5,00 ± 0,25	6,00 ± 0,25	7,00 ± 0,25	8,00 ± 0,25	9,00 ± 0,25
A4 [dz]	2,00 ± 0,25	2,50 ± 0,25	3,00 ± 0,25	3,50 ± 0,25	4,50 ± 0,25
T [s]	1,38 ± 0,13	1,35 ± 0,13	1,44 ± 0,13	1,35 ± 0,13	1,36 ± 0,13
δ	0,23 ± 0,04	0,22 ± 0,04	0,21 ± 0,03	0,21 ± 0,03	0,17 ± 0,02
τ [s]	6,00 ± 1,58	6,14 ± 1,73	6,86 ± 1,58	6,43 ± 1,54	8,00 ± 1,76
H	6,59 ± 3,73	5,00 ± 3,88	4,18 ± 2,96	4,81 ± 3,27	4,90 ± 2,45
Q	27,32 ± 9,56	28,58 ± 10,86	29,93 ± 9,58	29,93 ± 10,18	36,96 ± 11,83

DOŚWIADCZENIE II

A [dz]	Ω
1,0±0,25	2,25±0,04
2,5±0,25	3,67±0,11
4,0±0,25	3,98±0,13
6,5±0,25	4,33±0,15
9,0±0,25	4,55±0,16
7,0±0,25	4,83±0,19
2,5±0,25	5,24±0,22
1,5±0,25	5,76±0,26
0,5±0,25	7,66±0,47

8. Uwagi i wnioski

Zmieniając natężenie prądu w obwodzie z elektromagnesem, zmieniano tłumienie. Z otrzymanych wyników pomiarowych widać, że dla mniejszego tłumienia czas relaksacji jest większy. Jest to zgodne z intuicją, gdyż potrzeba więcej czasu, aby amplituda drgań zmieniła się e-razy.

Logarytmiczny dekrement tłumienia był z kolei dla tego przypadku mniejszy, gdyż stosunek dwóch kolejnych amplitud (w przypadku braku tłumienia) był mniejszy. Błąd logarytmicznego dekrementu tłumienia jest dość duży, dochodzi nawet do 37,5%. Związane jest to z małą dokładnością odczytu wyników pomiarowych ze skali na urządzeniu. Jako błąd odczytu przyjęto 0,5 działki jest to dość dużo gdyż przy odczycie ze skali wychylenia równego 1 otrzymujemy aż 25% błędu. Przy większych wychyleniach tarczy procentowy udział błędu jest znacznie mniejszy.

Zjawisko rezonansu ma olbrzymie znaczenie w życiu codziennym, znane są przypadki zniszczenia konstrukcji mostów przez nieznaczne siły zewnętrzne, na przykład rytmiczne podmuchy wiatru, ale o częstotliwości bliskiej częstotliwości drgań własnych tej konstrukcji.

---