WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA

1.Cel ćwiczenia:

• wyznaczenie współczynnika lepkości dla dwóch wybranych kulek;

• zapoznanie się z wiskozymetrem Hopplera i wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy zawartej w aparacie;

• obserwacja ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym;

2. Podstawy teoretyczne:

Lepkość ( tarcie wewnętrzne ) jest zjawiskiem występowania sił stycznych przeciwdziałających wzajemnemu przemieszczaniu się elementów ciała sąsiadujących ze sobą Wskutek tarcia występującego między elementami ośrodka, poruszająca się cząstka " pociąga " ze sobą inną cząstkę wpływając na jej prędkość zależnie od wartości współczynnika lepkości danego gazu lub cieczy ( im większa lepkość tym prędkości sąsiadujących cząstek są bardziej zbliżone ).

Wszystkie rzeczywiste gazy i ciecze są lepkie, dlatego zjawisko lepkości jest bardzo ważne, jeżeli bierzemy pod uwagę przepływ cieczy lub ruch ciał spadających w ośrodku ciekłym.

Dla cieczy przepływającej stacjonarnie w rurze charakterystyczne jest jej rozwarstwienie, ze względu na prędkości poszczególnych warstw. Niejednorodność pola prędkości klasyfikuje lepkość do zjawisk transportu, gdzie następuje wymiana pędów cząstek prowadząca do ustalenia stałej prędkości w całym przekroju.

Dla małych prędkości przepływu mamy do czynienia z przepływem laminarnym, w który poszczególne warstwy cieczy oddziaływują między sobą. Siłę wzajemnego oddziaływania podał empirycznie Newton:

F = η S (
)

η - współczynnik lepkości;

S - powierzchnia styku warstw;

dV/dx - gradient prędkości;

Wartość współczynnika lepkości zależy od temperatury ośrodka:

- dla cieczy: η = A *

; A ,B - stałe charakteryzujące ciecz;

- dla gazów: η =

;

λ - średnia droga swobodna cząstek gazu;

u - prędkość średnia cząsteczek;

ρ - gęstość gazu

Innym zagadnieniem związanym z lepkością jest swobodne spadanie ciał w ośrodku ciekłym. Siła oporu ( tarcia wewnętrznego ) charakterystyczna dla wszystkich cieczy rzeczywistych ma postać:

R = K l η v; K - stała zależna od kształtu ciała ( osiowo symetrycznego );

l - wymiar liniowy ciała;

v - prędkość opadania ciała;

Dla kuli K = 6π , l = r, a więc równanie przyjmuje postać: R = 6π r η v.

Wypadkowa siła działająca na kulkę ma postać:

F = P + W + R; P - siła ciężkości: P = ρ_Kmg;

W - siła wyporu: W = ρ_wmg;

R - siła oporu: R = 6π r η v.

Z tego otrzymujemy równanie różniczkowe:

= A - Bv; A, B - stałe charakteryzujące ciecz określone wzorami:

A =
B =

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja prędkości:

v =
(1 - e ^-B t ).

Okazuje się, że po pewnym czasie t →∞, kulka porusza się ruchem jednostajnym, co wynika ze stałego wzrostu siły oporu wraz ze wzrostem prędkości. Dlatego ciało spadające w ośrodku ciągłym może osiągnąć pewną prędkość graniczną wyrażoną równaniem:

v_gr =
, co po podstawieniu za A i B daje ostatecznie wyrażenie na lepkość:

η =

Dla kulki spadającej w określonych warunkach ( co gwarantuje wiskozymetr Hopplera ) wyrażenie na współczynnik lepkości przyjmuje postać

η = K (ρ_k - ρ_w) * t; K - stała określająca warunki doświadczenia

t - czas spadania ciała;

3. Przebieg doświadczenia:

3.1. Wymiarowanie kulek:

3.1.1. Średnica:

ŚREDNICA	d [mm]
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
szklana	6.08	6.085	6.075	6.075	6.075	6.08	6.07	6.085	6.075	6.075
ceramiczna	6.5	6.6	6.77	7.085	6.63	6.675	6.81	6.51	6.66	6.85

d_S = 6.0775;

d_C = 6.709;

Tabela błędów pomiaru średnicy:

BŁĘDY	Δd [mm] * 10^-3
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
szklana	-2.5	7.5	2.5	2.5	2.5	-2.5	-7.5	7.5	2.5	2.5
ceramiczna	209	109	-61	-376	79	34	-101	199	49	-141

Średni błąd kwadratowy pomiaru średnicy kulek:

σd_S =

=
= 1.54 * 10 ^-3 mm;

σd_C = 55.8 * 10 ^-3 mm;

3.1.2 Masy kulek:

M_S = 0,4116 g;

M_C = 0,4006 g;

ΔM = 0.0002 g - dokładność wagi laboratoryjnej.

3.1.3.Gęstość kulek:

r_S = 0.303 cm r_C = 0.335 cm

V_S = 0.1175 cm³ V_C = 0.158 cm³

ΔV_S = 4.5 * 10 ^-13 cm³ ΔV_C = 2.17 * 10 ^-8 cm³

ρ_S =
=
= 3.532 g cm ^-3 ρ_C = 2.543 g cm^-3

Logarytmiczny błąd pomiaru gęstości: Δρ = (
+
) * ρ

Δρ_S = 1.7 * 10^-3 Δρ_C = 4.99 * 10^-4

3.2. Pomiary czasów swobodnego spadku kulek w ośrodku ciekłym:

3.2.1. Tabela wyników:

CZAS	t [s]
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
szklana	2.7	2.8	2.8	2.8	2.7	2.8	2.8	2.8	2.8	2.8
ceramiczna	4.2	4.1	4.2	4.2	4.1	4.3	4.1	4.2	4.2	4.2

t_S = 2.78 s

t_C = 4.18 s

3.2.2. Tabela błędów pomiaru czasu

BŁĘDY	Δt [s]
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
szklana	0.08	-0.02	-0.02	-0.02	0.08	-0.02	-0.02	-0.02	-0.02	-0.02
ceramiczna	-0.02	0.08	-0.02	-0.02	0.08	-0.12	0.08	-0.02	-0.02	-0.02

Średni błąd kwadratowy pomiaru czasu:

σt_S = 0.013 s

σt_C = 0.02 s

3.3 Obliczanie współczynnika lepkości

3.3.1.Wartość współczynnika lepkości:

η =

-
;

m - masa kulki;

t - czas swobodnego opadania;

h - droga swobodnego spadania;

r - promień kulki;

ρ - gęstość cieczy = 1240 kg m³

η₁ =
-
= 0.459

η₂ = 0.505

η_SR = 0.482

3.3.2. Błąd pomiaru współczynnika lepkości:

dη=(
-
+

Wzór na Δη otrzymujemy poprzez podstawienie za różniczki obliczonych wartości błędów dla poszczególnych pomiarów. Z tego podstawienia otrzymujemy:

Δη = 0.0227

δη = (Δη/n) * 100% = 4.7 %

3.4. Badanie współczynnika lepkości cieczy zawartej w wiskozymetrze Hopplera :

3.4.1 Warunki doświadczenia:

K = 0.7941 * 10 ^-3

cm³ g^-1 s^-1

ρ_K = (2.41 ± 0.01) g cm^-3

ρ_C = (1.235 ± 0.005) g cm^-3

3.4.2. Wyniki pomiaru czasu:

	t [s]
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
CZAS	223.6	214.6	213.6	210.6	208.2	205.8	203.4	202.0	200.0	198.8

t_W = 208.06 s

3.4.3. Błędy pomiaru czasu:

	Δt [s]
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
BŁĘDY	-15.54	-6.54	-5.54	-2.54	-0.14	2.26	4.66	6.06	8.06	9.26

Średni błąd kwadratowy:

σt_W = 2.44 s

3.4.4. Obliczanie współczynnika lepkości:

η = K t (ρ_K - ρ_C) = 0.7941 * 10^-3 * 208.06 * ( 2.41 - 1.235) = 0.194

3.4.5. Błąd pomiaru:

• równanie różniczkowe do którego podstawiamy wyliczone wartości błędów;

d η = K (ρ_K - ρ_C) dt + K t dρ_K - K t dρ_C = 4.75 * 10 ^-3 = Δη

δη = (Δη/η) ∗ 100 % = 2.45 %

4. Wnioski:

Celem nasze doświadczenia było wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy zawartej w wiskozymetrze Hopplera i naczyniu cylindrycznym. Podstawą teoretyczną do przeprowadzenia ćwiczenia było prawo Stokesa, które wykorzystywaliśmy przy obliczaniu prędkości i czasu spodania kulek w ośrodku ciągłym.

W pierwszej części ćwiczenia wrzucaliśmy do naczynia cylindrycznego wypełnionego cieczą dwie kulki i na podstawie ich rozmiarów, oraz czasu przebycia określonej drogi wyznaczaliśmy współczynnik lepkości danej cieczy. Metoda ta obarczona jest jednak wieloma błędami wynikającymi z niedokładności pomiaru czasu spadku, masy i średnicy kulek, które były w dużym stopniu ( relatywnie do rozmiarów ) zdeformowane. Ponadto do obliczeń teoretycznych wykorzystaliśmy wzór idealny, nie dokońca słuszny dla naczyń ograniczonych ( szczególnie, gdy kulka opada w pobliżu ściany naczynia ) Z tego wynika właśnie rozbieżność czasów spadania kulki, gdyż jej prędkość zależy od odległości od ścianki naczynia ( im bliżej scianki tym prędkość spadku jest mniejsza ). Niedokładność wyników dla obu kulek może wynikać z faktu, że są one zbudowane z różnych materiałów, o różnych współczynnikacz tarcia względem cieczy.

W drugiej części pomiarów badaliśmy ruch kulki w wiskozymetrze Hopplera. Dla dziesięciu pomiarów kolejne czasy swobodnego spadku kulki stale malały, co jest efektem wzrostu temperatury cieczy zawartej w wiskozymetrze pod wpływem tarcia kulki. Powoduje to obniżenie wartości współczynnika lepkości badanej cieczy . Mimo to otrzymane wyniki okazały się dokładniejsze, a obsługa wiskozymetru dużo łatwiejsza. Takze obliczenia przy ustalonych warunkach doświadczenia były mniej skomplikowane.

---