DŁUGOOKRESOWA I KRÓTKOOKRESOWA STRATEGIA PRZEDSIĘBIORSTWA.

Za cel działania przedsiębiorstwa najczęściej przyjmuje się osiąganie jak najlepszych wyników finansowych. Jednak decyzje, jakie musi podejmować konkretny przedsiębiorca, zależą od wielu czynników. Spośród nich można wyróżnić stopień konkurencyjności rynku oraz horyzont czasowy przyjętej strategii.

Niezależnie od tych uwarunkowań można sformułować trzy zadania przed którymi staje przedsiębiorca:

- maksymalizacja dochodów

- minimalizacja kosztów

- maksymalizacja zysków

Strategia długookresowa oznacza, że brak jest ograniczeń dotyczących czynników produkcji.

W strategii krótkookresowej przyjmujemy, że dostęp do czynników produkcji jest ograniczony.

CHAOTYCZNA FUNKCJA POPYTU

Chaotyczna funkcja popytu jest związana z użytecznością zmienna w czasie t. Dotyczy równań różnicowych i różniczkowych nieliniowych. Jest ona wrażliwa na parametr A lub parametr początkowy (x0). Przykłady: funkcja logistyczna.

RÓŻNICE MIĘDZY FUNKCJĄ CES I COBBA DOUGLASA

Postać CES: (wzór w notatkach)

Postać Cobba Douglasa: f( k,z) = aK^α + Z^β gdzie a > 0, α,β>0.

Funkcja Cobba Douglasa jest szczególnym przypadkiem funkcji Ces. Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna pierwszego stopnia y= (aK^γ + bZ^γ)^1/γ gdy γ→0 zbieżna do funkcji produkcji Cobba Douglasa.

RÓŻNICE MIĘDZY MODELEM PAJĘCZYNOWYM A ARROWA HURWICZA

W modelu Arrowa Hurwicza konsument może być również producentem (przywozi i może wyjechać z towarem). Natomiast w modelu pajęczynowym producent i konsument są oddzielnymi podmiotami ( oddzielony jest ten, który dostarcza od tego co nabywa towary; oddzielony jest popyt i podaż).

FUNKCJA PRODUKCJI CES I JEJ INTERPRESTACJA

Funkcja produkcji CES nazywamy funkcję f: R₊² →R₊¹ postaci y= f(k,z) (wzór w notatkach)

Podstawowe charakterystyki: krańcowa produktywność pracy, krańcowa produktywność kapitału, elastyczność produkcji względem pracy, elastyczność produkcji względem kapitału, stopień jednorodności, itp… gdzie, k,z reprezentuje dwa czynniki produkcji ; parametr a odgrywa taką samą rolę jak współczynnik a w przypadku funkcji Cobba Douglasa służy jako wskaźnik poziomu technologii ; parametr γ podobnie jak α w funkcji Cobba Douglasa dotyczy względnego udziału czynników w produkcji ; natomiast parametr substytucyjny który nie ma odpowiednika w funkcji Cobba Douglasa określa wartość, jaką przyjmie (stała) elastyczność substytucji.

PROBLEM NAŚLADOWCY W MODELU DUOPOLU

Rozpatrujemy tutaj firmy, która jest przywódcą (ona podejmuje decyzje o tym ile towaru wypuszcza na rynek i po jakiej cenie) lub naśladowcą ( działa po tym, jak przywódca zadecyduje). Nadal działa prawo popytu i podaży. Przywódca musi najpierw zastanowić się jak postąpi naśladowca (w sposób racjonalny). Mimo iż jest przywódcą nie ma swobody działania.

y₁+y₂ ilość towaru; przywódca nie zna y₂ ,ale wie jak zareaguje naśladowca. Naśladowca zaś zna y₁.

Naśladowca odpowie pewną liczbą towaru, zrobi to w taki sposób, aby zoptymalizować swoje wyniki.

DYNAMIKA ZJAWISK EKONOMICZNYCH - RÓWNANIA RÓŻNICOWE I ROŻNICZKOWE

Problem dynamiki, który opisujemy równaniami różniczkowymi

Zmienna czasowa -> wtedy mówimy o dynamice

F(
, y, t)=0 rozwiązanie różniczkowe
F(∆y, y, t)=0 rozw. Różnicowe

y= y(t)
y=y_t czas dyskretny

Równanie liniowe- zachowanie się ścieżki zależy od pierwiastków charakterystycznych
-stabilne
-niestabilne
-cykliczne

Równanie nieliniowe (pojawia się już problem)

= Ky(1-y) Prawo Robertsona

Wrażliwość równania ze względu na parametr (K) - parametr decyduje o rozwiązaniu równania, parametr determinuje ścieżkę zjawiska, zmiana parametru powoduje zmianę wykresu (ścieżki)

Na gruncie ekonomii posługujemy się konkretnym równaniem, ale co do parametru, to do końca nie wiemy jak to jest (opieramy się o kilka badań).
Mamy równanie, które może generować chaotyczne rozwiązanie, wszystko zależy od tego jak zachowa się parametr (czy można zbudować krzywa logistyczną - jedno rozwiązanie, czy mogą powstac chaotyczne rozwiązania).

Y_t= y²_t-1-2 równanie różnicowe
∆y_t=y_t-y_t-1
y₀=2
y₀=1,99999999
Wrażliwość na wartość początkową - poczatek chaosu deterministycznego

UŻYTECZNOŚĆ RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH W EKONOMII

Model deterministyczny to model matematyczny, który danemu na wejściu zdarzeniu jednoznacznie przypisuje konkretny stan. Opis modelu nie zawiera żadnego elementu losowości. Oznacza to, że ewolucja układu w modelu deterministycznym jest z góry przesądzona i zależy wyłącznie od parametrów początkowych lub ich wartości poprzednich.

Model deterministyczny jest użytecznym i najczęściej stosowanym modelem w opisie wielu zjawisk ekonomicznych. Stanowi też ważne narzędzie w procesie optymalizacji, znajdując zastosowanie m.in. w ekonomii matematycznej i analizach w zarządzaniu. Często ma on formę układu równań różniczkowych bądź różnicowych.

Bardzo ważną cechą analizy dynamicznej jest uwzględnienie czasu. Można to uczynić dwoma sposobami: czas można traktować jako zmienną ciągłą lub zmienną dyskretną. W pierwszym przypadku coś dzieje się ze zmienną w każdym momencie, natomiast w drugim przypadku zmienna podlega zmianie tylko raz w ciągu każdego okresu. Czas ciągły związany jest z matematycznymi technikami rachunku całkowego i równań różniczkowych, natomiast czas dyskretny związany jest z równaniami różnicowymi.

W przypadku czasu ciągłego schemat zmian zmiennej y jest wyrażony za pomocą jej pochodnych y'(t); y''(t); itd. Dotyczą one nieskończenie małych przyrostów. Jeśli natomiast czas traktowany jest jako zmienna dyskretna (czyli t przyjmuje tylko całkowite wartości), to pojęcie pochodnej nie będzie już odpowiednie. W takim przypadku schemat zmian musi być opisany przez tzw. różnice, a nie pochodne lub różniczki zmiennej y(t). Technika równań różniczkowych ustępuje miejsca równaniom różnicowym.

OPTYMALIZACJA W MODELACH DYNAMICZNYCH

Podstawę teoretyczną, na której opiera się metoda programowania dynamicznego, stanowi zasada optymalności. W oryginalnym ujęciu Bellmana została ona przedstawiona w sposób następujący:

Optymalna strategia sterowania ma tę własność, że jakikolwiek by był stan początkowy i decyzja początkowa, to następne decyzje muszą tworzyć optymalną strategię sterowania względem stanu wynikającego z pierwszej decyzji.

Jako oczywisty wniosek z powyższego sformułowania możemy napisać:
Każdy końcowy odcinek strategii optymalnej jest dla swoich warunków początkowych strategią optymalną

3 sposoby podejścia:

1. Równanie Bellmana - szczególne dla zagadnień dyskretnych - prognozowanie dynamiczne

2. Funkcja sterująca - zagadnienie optymalnego sterowania

3. Rachunek wariacyjny - sprowadza się do zagadnienia stacjonarnego, biorę różnice funkcji

WPŁYW FUNKCJONAŁU A ZAGADNIENIE OPTYMALIZACJI

V: G -> R przestrzeń funkcyjna (G-zbiór funkcji)

V[f]
V-funkcjonał -jak go określić? Całka oznaczona

V(u)=∫^T₀F[t, y(t), u(t)]dt

Jeżeli celem społecznym jest max sumy na odcinku czasu [0,t], to funkcjonał celu ma postać:

∫^T₀u[Q(K,L)-K']dt

Optymalizacji dynamiczna polega na poszukiwaniu takiego ciągu decyzji w danym przedziale czasu, który zapewni ekstremum pewnego wskaźnika jakości zależącego od przebiegu zmian tej decyzji, określanym na całym przedziale czasu. Wskaźnik jakości jest więc funkcjonałem tej decyzji, określanym na danym przedziale czasu.

Główną ideą tego problemu jest wybór ścieżki.

Funkcja popytu konsumenta jako wynik relacji preferencji

Konsument nabywa pewne towary (koszyk dóbr)
. Przy wyborze koszyków dóbr konsument posługuje się relacją preferencji:
(relacja słabego porządku, x jest nie gorsze od y). Każdy konsument, opierając się na relacji preferencji, dokonuje wyboru koszyka subiektywnie najlepszego - koszyka preferowanego. Koszy D-preferowany jest to koszyk nie gorszy od dowolnego innego koszyka. W rzeczywistości każdy konsument dysponuje pewnym dochodem I (I≥0), który może wydać na zakup towarów.

Zbiór budżetowy jest to zbiór koszyków towarów , których wartość nie przekracza dochodu konsumenta:
.
Koszyk towarów
nazywamy optymalnym w zbiorze
jeśli
dla dowolnego koszyka
.

Koszyk optymalny można również opisać przez funkcję użyteczności.

Poszukiwanie koszyka optymalnego polega więc na znalezieniu ekstremum warunkowego funkcji wielu zmiennych z warunkami:
i
. Jeśli funkcja u jest wypukła, to
optymalne istnieje.

Optymalne rozwiązanie jest to funkcja cen oraz dochodu
, która jest funkcją popytu.

Klasyczny model równowagi ogólnej (chodziło o Walrasa-Patinkina)

Walrasowska równowaga ogólna oznacza gospodarkę „w stanie spoczynku”, tj. bezczasowo wyraża się w wielkości i strukturze produkcji, użytkowników produkcji i poziomie cen, w którym popyt na produkcję i czynniki produkcji jest równych ich podaży. Nawiązuje do optimum Pareta, ponieważ nie występują tutaj podmioty zainteresowane zamianą tego stanu. Istnieje również całkowite podporządkowanie mechanizmowi rynkowemu, z wykluczeniem ingerencji zewnętrznej. (opis statyczny)

Według równowagi ogólnej na doskonale konkurencyjnym rynku podaż i popyt na konkretnych mniejszych rynkach sumują się w jedną całość. Innymi słowy, wartość zagregowanej nadwyżki popytu zawsze wynosi 0. Prawo Walrasa implikuje, że jeżeli n - 1 rynków znajduje się w równowadze, to i n-ty rynek musi być zrównoważony.

p - cena; z(p) - zagregowana nadwyżka popytu

Dedukcyjne wyprowadzenie funkcji indywidualnego popytu

max [u(
)]

≥ 0
p○ x ≤ I ograniczenie budżetowe

≥ 0 definicja racjonalności konsumenta

Dążę do znalezienia
optymalnego, przy którym max u (max u znajduję konstruując f. Lagrange'a).
Rozwiązanie leży na ograniczeniu budżetowym.

Otrzymuję n+1 równań (n-liczba dóbr w koszyku) o n+1 niewiadomych. Rozwiązanie tego układu daje mi
opt. u(
opt)=max(u(
)), a
opt zależy od dochodu i cen.
γ_i=α_i*I/P_i

Kształt funkcji popytu zależy od funkcji użyteczności
u(
opt)=u(γ(P,I))

Czy jest konieczne założenie funkcji nieliniowych przy badaniu zjawisk ekonomicznych

Konieczność założenia funkcji linowych: Algebra macierzy wykorzystywana w analizie statycznej, analizach statyki porównawczej, optymalizacji oraz analizie dynamicznej ma zastosowanie tylko do układów równań liniowych. Realistyczność opisu rzeczywistych związków ekonomicznych za pomocą równań liniowych zależy od natury badanych związków. W wielu przypadkach, nawet jak założenie o liniowości powoduje w pewnym stopniu rezygnację z realizmu, przyjęty związek liniowy może być takim przybliżeniem rzeczywistego związku nieliniowego, że jego zastosowanie jest uzasadnione. W innych przypadkach można zwiększyć dokładność opisu dzięki przyjęciu oddzielnego przybliżenia liniowego dla każdego segmentu zależności nieliniowej.

Matematyczne narzędzia służące do opisu statycznych i dynamicznych zjawisk ekonomicznych

Analiza statyczna (analiza równowagi): algebra macierzy (1. zapewnia zwięzły sposób zapisu układu równań; 2. Umożliwia sprawdzenie istnienia rozwiązania za pomocą wyznacznika; 3. Pozwala na znajdowanie tego rozwiązania (o ile ono istnieje) 4. Można ją wykorzystać tylko dla układu równań liniowych 5. Ma zastosowanie w analizie statycznej, dynamicznej i w optymalizacji

Analiza dynamiczna: czas ciągły - rachunek całkowy i równania różniczkowe; czas dyskretny - rachunek różnicowy

6

.

---