WPROWADZANIE DO ZAGADNIEŃ LOGIKI

Logika nie zajmuje się myśleniem, tylko zdaniami. Zdania te opisują świat.

LOGIKA

SYNTAKTYKA LOGICZNA SEMANTYKA PRAGMATYKA

SEMIOTYKA

- analiza logiczna wypowiedzi językowych

+ ANALIZA LOG. NAUKI (METODOLOGIA NAUK)

Syntaktyka - zajmuje się językiem, relacjami wewnątrzjęzykowymi.

Semantyka - relacja między wypowiedziami językowymi a elementami, do których one się odnoszą.

Pragmatyka - relacja między użytkownikiem języka a językiem.

Umiejętność logicznego argumentowania jest jednym z elementów dyskusji.

Logika - nauka ścisła, formułuje prawa rządzące jakimiś wypowiedziami.

Język logiki - język sztuczny, wymyślony, wytwarza schematy (np. p^q--<p).

TAUTOLOGIA

Tautologie - niezależnie od tego, jakie wartości posiadają składowe, schemat jest prawdziwy.

Sprawdzanie, czy to jest tautologia:

p^qp p q

1. 1 przy 1 1

2. 1 1 0

3. 1 0 1

4. 1 0 0

Najprościej szukać takiego podstawienia, dla którego będzie fałszywy schemat.

PRAWO WYŁĄCZONEGO ŚRODKA

(qv~q) - zawsze = 1

Prawo wyłączonego środka (łac. tertium non datur) jedno z podstawowych praw klasycznego rachunku zdań.

Prawo to mówi, że dla dowolnego zdania w sensie logiki p albo ono samo jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie. Symbolicznie:

Jednakże interpretacja ta jest poprawna jedynie w logice dwuwartościowej - czyli takiej, w której przyjmuje się, że każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe - i na gruncie takiej logiki jest ono powyższej zasadzie równoważne.

Właściwsze jest następujące odczytanie prawa wyłączonego środka:

dla dowolnego zdania p prawdą jest, że p lub nie p.

Tak odczytane prawo wyłączonego środka obowiązuje również w wielu logikach wielowartościowych, mimo że żadne ze zdań p i nie p nie musi być prawdziwe.

Niektóre logiki, na przykład logika intuicjonistyczna, nie akceptują prawa wyłączonego środka jako znajdującego zastosowanie do wszystkich form twierdzeń. Na przykład twierdzenia o istnieniu obiektu zdaniem intuicjonistów wymagają nie tylko wykazania sprzeczności wynikającej z jego nieistnienia, ale także jego jawnej konstrukcji.

PRAWA DE MORGANA

I prawo De Morgana 

Prawo zaprzeczania koniunkcji: negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji

,

gdzie p i q oznaczają zdania w sensie logiki.

II prawo De Morgana 

Prawo zaprzeczenia alternatywy: negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji

;

Prawa umożliwiają definiowanie jednych spójników zdaniowych za pomocą innych. Na przykład, korzystając z koniunkcji i negacji, za pomocą prawa podwójnej negacji można określić alternatywę:

Tabele prawdy

p	q
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

p	q
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Porównanie wartości w czwartej i siódmej kolumny ostatniego wiersza obu tabel (oznaczonych kolorem żółtym) daje przekonanie o prawdziwości wyrażeń

oraz

bez względu na wartościowanie zmiennych p i q (ma ono zawsze wartość logiczną równą 1). Zdania takie jak nazywa się tautologiami.

W rachunku kwantyfikatorów prawa De Morgana opisują reguły zaprzeczania kwantyfikatorom:

,

,

gdzie p(x) jest dowolnym zdaniem zależnym od zmiennej x.

W teorii mnogości prawa De Morgana służą opisowi działania dopełnienia (lub dokładniej: różnicy zbiorów):

1. dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień,

,

2. dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień,

Z zasady indukcji matematycznej to samo prawo zachowane jest dla skończenie wielu zdarzeń:

,

,

gdzie

Analogicznie wysławia się i zapisuje prawa De Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów (w powyższych wzorach należy przyjąć, że I jest taką rodziną).

ZASADA TOŻSAMOŚCI

(p wtedy i tylko wtedy, gdy p), w postaci dla klasycznego rachunku predykatów, że
(każdy przedmiot jest identyczny z samym sobą). Metafizyka klasyczna razem z zasadą sprzeczności i zasadą wyłączonego środka uznała zasadę tożsamości za jedno z pierwszych praw myśli i bytu. W nieco innych kontekstach filozoficznych zasada tożsamości miała znaczenie także dla filozofii nowożytnej, zwłaszcza dla Leibniza i filozofii identyczności Schellinga - w kontekstach tych nazywana jest częściej zasadą identyczności.

Reguła podstawiania

Reguła odrywania

Modus ponens (reguła odrywania), wnioskowanie logiczne, to reguła logiki mówiąca że jeśli zaakceptujemy że z x wynika y, oraz x (jest prawdziwe), to musimy zaakceptować też y.

ZBIORY

Element a należy do zbioru A ( a
A).

Element a nie należy do zbioru A ( a
A).

Zbiór pusty - to zbiór który nie zawiera żadnego elementu (ť - czytaj ,,fi”)

Zbiór skończony - zawiera skończoną ilość elementów (np. A={1;2;3} jest zbiorem trójelementowym).

Zbiór nieskończony - zawiera nieskończenie dużo elementów (np. zbiór liczb parzystych, płaszczyzna jako zbiór punktów).

Zbiór A jest podzbiorem zbioru B (zawiera się w zb. B ) gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. (A
B), czyli :

Przestrzeń - to zbiór zawierający wszystkie elementy (w danym zadaniu; często oznaczany X )

Dopełnienie zbioru A - zbiór zawierający wszystkie elementy oprócz elementów zbioru A (oznaczenie A')

Zbiór liczbowy - to zbiór, którego wszystkie elementy są liczbami.

---