Zadanie 1

Zakład wytwarza 3 rodzaje skórzanych piłek do gry. Dane technologiczne i ekonomiczne przedstawione są w tabeli:

	football	basketball	rugby
skóra	4	1	6
siła robocza	3	5	2
zysk	2	3	4

Zakład może sprzedać każdą ilość wyprodukowanych piłek. Zasoby skóry wynoszą 400 jednostek a siły roboczej 300 jednostek. Sformułuj model liniowy określający strukturę produkcji piłek maksymalizującą zysk

1. ograniczenie co najmniej 30% wszystkich piłek to piłki do koszykówki

2. można odsprzedać zasoby skóry z zyskiem jednostkowym 0,5

Zadanie 2

Przedsiębiorstwo produkuje 2 wyroby A1 i A2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I 36000 jednostek; środek II 50000 jednostek. Nakłady limitowanych środków na jednostkę produktu podano w tabeli

środek produkcji	nakłady jednostkowe
		A1	A2
I	6	6
II	10	5

Dodatkowo zdolności produkcyjne jednego z agregatów nie pozwalają wyprodukować więcej, niż 4000 szt. wyrobu A2 .

Określić optymalny rozmiar produkcji przy założeniu, że zysk realizowany w obu wyrobach jest jednakowy.

Zadanie 3

Zakład blacharski ma wyprodukować 90 kompletów detali. Na jeden komplet składają się 2 detale typu A i 10 detali typu B Detale są wycinane z arkuszy blachy o standardowych wymiarach czterema różnymi sposobami. Liczbę detali i odpad surowca z 1 arkusza blachy, przy zastosowaniu każdego ze sposobów cięcia podano w tabeli

	Sposoby cięcia
		I	II	III	IV
Detal A	4	3	1	0
Detal B	0	4	9	12
Odpad blachy	12	5	3	0

Ile razy i które sposoby cięcia należy zastosować, aby odpad blachy był minimalny?

Zadanie 4

Zakład produkuje 2 wyroby A i B. Dane dotyczące zużycia surowców, ich zasobów oraz zysków jednostkowych zawarto w tabeli. Ułożyć zadanie programowania liniowego, opisujące plan produkcji gwarantujący maksymalny zysk, gdy wiemy, że można wytworzyć maksymalnie 4000 ton wyrobu A lub 2000 ton wyrobu B

Środki produkcji	A	B	zasoby [tony]
Stal [kg/tonę wyrobu]	2	4	12
Tworzywo sztuczne [kg/tonę wyrobu]	5	2	8
Zysk jednostkowy [zł/kg wyrobu]	2	4	-

Zadanie 5

Firma VOX w ramach umowy kooperacyjnej dostarcza koncernowi KOMA trzy detale A, B, C, które można wytwarzać na maszynie M1. W poniższej tabeli podano wydajność maszyny (szt./h) i czas pracy (h), jednostkowe zużycie materiałów S1 i S2 na poszczególne detale (kg/szt.) i ich zasoby (tona)

Detal	Wydajność maszyny	Zużycie materiałów
		M1	S1	S2
A	4	5	2
B	5	4	3
C	2	6	4
Zasoby	1000	200	300

Warunki umowy są tak sformułowane, że firma VOX musi dostarczyć detal C w ilości nie mniejszej niż 1000 szt. Detal A powinien być dostarczany w ilości dwukrotnie większej od ilości detalu B, przy czym w umowie określono jedynie minimalną ilość tego detalu (A) - 500 szt.

Koszt jednostki materiału S1 wynosi 5 zł. a S2 10 zł. Jedna godzina pracy maszyny M1 kosztuje 40 zł. Ceny zbytu detali wynoszą odpowiednio A -70 zł/szt., B- 75 zł/szt., C - 100 zł/szt.

Istnieje tez możliwość nabycia przez firmę VOX detali B i C od innych producentów. Ceny nabycia wynoszą odpowiednio B 80 zł/szt. C 95 zł/szt. Jaka powinna być polityka gospodarcza firmy, aby osiągnęła ona maksymalny zysk? Zbudować liniowy model dla powyższego zagadnienia.

Zadanie 6

Spółka XYZ ma dostarczyć odbiorcy 1500 detali typu A i 1000 detali typu B, które może wyprodukować lub kupić u innego producenta. Kupno może odbywać się tylko w kompletach - dwa detale typu B i jeden typu A, a ceny zakupu wynoszą odpowiednio A - 70 zł/szt., B -65 zł/szt.

Ogólne zdolności produkcyjne zakładu pozwalają wytworzyć 1200 detali typu A lub 800 detali typu B, przy czym różnica między wielkością produkcji obu detali nie może przekroczyć 300 sztuk.

Detale wytwarza się na maszynie typu M1 przy użyciu surowców S1, S2 i S3 i przy wykorzystaniu nakładów siły żywej. Na koszt wytworzenia mają też wpływ koszty stałe.

W tabeli podano kolejno:

ceny sprzedaży obu detali w zł

zużycie jednostkowe surowców (kg/szt.) i ich zasoby (tony)

wydajność maszyny M1 (min/szt.) oraz jej maksymalny czas pracy(godz.)

jednostkowe nakłady pracy żywej (min/szt.) oraz jej zasoby (godz.)

jednostkowe koszty stałe (zł/szt.)

Tona surowca S1 kosztuje 1000 zł, S2 1500 zł a S3 1000 zł; godzina pracy maszyny m1 -300 zł a godzina pracy robotnika 20 zł.

Zaplanować optymalna strategię postępowania firmy XYZ tak, by osiągnęła ona maksymalny zysk, a łączne poniesione koszty nie przekroczyły sumy 180 000 zł

	cena sprzedaży	S1	S2	S3	M1	siła robocza	koszty stałe
A	90	2	3	5	10	15	2
B	80	2	4	1	6	30	10
zasoby	-	3	4	5	150	400	-

Zadanie 1 Rozwiązać graficznie

Zadanie 2 Zakład dziewiarski wyspecjalizował się w produkcji 2 wyrobów wełnianych W1 i W2. Wąskim gardłem procesu produkcji są maszyny typu R1 oraz R2. W tabeli podano normy pracy poszczególnych maszyn przy produkcji obu wyrobów oraz ich zdolności produkcyjne.

Maszyny	Liczba godzin pracy maszyny na jednostkę		Maks. ilość pracy maszyny w ciągu dnia
		W1		W2
R1	2	1	12
R2	2	2	20

Ustalić plan produkcji zapewniający maksymalny łączny przychód z jej sprzedaży jeżeli cena zbytu W1 wynosi 50 zł, a wyrobu W2 - 75 zł. Przy czym uwarunkowania rynkowe dyktują by ilość produktu W1 była 2,5 razy większa od ilości produktu W2.

Zadanie 3

Zakład produkuje 2 wyroby A i B za pomocą 2 maszyn M1 i M2. Park maszynowy zakładu składa się z 10 maszyn typu M1 oraz 4 maszyn M2. Ze względu na zmianowość pracy i zabiegi konserwacyjne czasy pracy tych maszyn mogą w ciągu doby wynosić co najwyżej M1- 15 godzin i M2 20 godzin. Ułożyć optymalny plan produkcji, wiedząc, że jednostkowy zysk z wyrobu A wynosi 5 zł a z wyrobu B 25 zł i jednocześnie liczba godzin pracy danej maszyny na jednostkę produktu kształtuje wg tabeli:

	Godziny pracy maszyn na jednostkę produktu
		M1	M2
A	2	2
B	1	2

Wrażliwość rozwiązania

Zadanie 1 Zakład produkuje dwa wyroby, zużywając do tego celu pewną ilość środków produkcji, z których trzy: energia elektryczna, stal oraz drewno są limitowane. W produkcji środki te są zużywanie w ilościach podanych w tabeli:

Wyrób	Energia	Stal	Drewno
I	1	4	6
II	3	3	0
cena środka produkcji za jednostkę	5zł	20zł	10zł

Dzienne zasoby tych środków wynoszą: energia-12 jednostek, stal-21 jednostek, drewno-24 jednostek. Ułóż dzienny model planu produkcji maksymalizujący globalny zysk firmy, jeśli zysk jednostkowy wynosi: z produkcji wyrobu I-200 zł, wyrobu II - 300 zł. Uwaga: Przy każdym z podpunktów analizy wrażliwości odwołujemy się do pierwotnej treści zadania.

1. Rozwiąż ten problem graficznie, jaki maksymalny zysk może osiągnąć zakład?

2. Które z czynników produkcji limitują optymalne rozwiązanie(które ograniczenia są aktywne)?

3. Jakie oszczędności mogłaby uczynić firma jeśli zredukowałaby niepotrzebne ilości środków produkcji?

4. O ile może się maksymalnie zmienić prawa strona każdego z ograniczeń z osobna, aby dane ograniczenie nadal było aktywne(nieaktywne)?

5. Jak wpłynie na rozwiązanie dodanie założenia, że drewno musi być wykorzystane w takiej ilości, jaką zakład dysponuje? Ile zakład na tym straci?

6. ile może zmienić się zysk jednostkowy na wyrobie II, aby rozwiązanie optymalne się nie zmieniło?

7. O ile musi zmienić się zysk jednostkowy na wyrobie I, aby rozwiązanie optymalne się nie zmieniło?

Zadanie 2

Zakład dziewiarski wyspecjalizował się w produkcji 2 wyrobów wełnianych W1 i W2. Wąskim gardłem procesu produkcji są maszyny typu R1 oraz R2. W tabeli podano normy pracy poszczególnych maszyn przy produkcji obu wyrobów oraz ich zdolności produkcyjne.

Maszyny	Liczba godzin pracy maszyny na jednostkę		Maks. ilość pracy maszyny w ciągu dnia
		W1		W2
R1	2	1	12
R2	2	2	20

Ustalić plan produkcji zapewniający maksymalny łączny przychód z jej sprzedaży jeżeli cena zbytu W1 wynosi 50 zł, a wyrobu W2 - 75 zł.

1. czy zmieni się rozwiązanie optymalne w przypadku objęcia sezonową obniżką wyrobu W2 do poziomu 45 zł

2. dla cen wyrobów podać przedziały przy których rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie

Zadanie 3

Przedsiębiorstwo ma produkować dwa wyroby: A i B. Surowce, które mają być zastosowane do produkcji są limitowane następująco: S1 - 200 jednostek na dobę, S2 - 130 jednostek na dobę. Jednostkowe zużycie tych surowców w produkcji przedstawia tabela:

	S1	S2
A	1	2
B	5	1

1. Ułóż plan produkcji dziennej przedsiębiorstwa tak, aby jego zysk był możliwie największy, wiedząc, że zysk jednostkowy wynosi dla produktu A - 40zł, a dla B - 100zł.

2. ile co najmniej musiałby się zmienić jednostkowy zysk z tytułu produkcji wyrobu A, aby przedsiębiorstwu opłacało się produkować wyłącznie ten właśnie wyrób?

3. Ze względu na sezonowość, zysk z produkcji wyrobu B może ulec zmianie. Wyznacz granice wahań zysku jednostkowego z produkcji wyrobu B tak, aby wyznaczony pierwotny plan produkcji był nadal optymalny.

Zadanie dualne

Zadanie 1 Przedsiębiorstwo wytwarza 3 wyroby A, B i C. Spośród wielu surowców zużywanych w procesie produkcji 2 są limitowane. Limity dziennego zużycia wynoszą odpowiednio: surowce I 1500 kg, surowiec II 1200 kg. W tabeli podano jednostkowe zużycie tych surowców:

Surowce	Wyroby
		A	B	C
I	1,5	3	4
II	3	2	1

Zysk osiągany na jednostce wyrobu A wynosi 12 zł, na jednostce wyrobu B -18 zł, a na jednostce wyrobu C - 12 zł. Ile wyrobów dziennie ma produkować przedsiębiorstwo by osiągnąć maksymalny zysk.

1. Zbudować model matematyczny tego zagadnienia

2. Utworzyć program dualny, rozwiązać go metodą geometryczna oraz znaleźć rozwiązanie programu pierwotnego

3. Podać wartość funkcji celu

Zadanie 2 Dyrekcja przedsiębiorstwa Z rozważa podjęcie produkcji trzech nwych wyrobów W1, W2 i W3. O ewentualnym ograniczeniu produkcji tych wyrobów stanowią zasoby dwóch surowców: S1 i S2. Miesięczne limity surowców wynoszą S1 - 3600 kg S2 - 4800 kg. Normy zużycia surowców (kg /szt) wynoszą:

Surowce	Zużycie
		W1	W2	W3
S1	5	3	0
S2	1	2	4

Zysk osiągany na jednostce wyrobu W1 wynosi 10 zł, a wyrobu W2 - 24 zł. Który z wyrobów i w jakiej ilości powinno produkować przedsiębiorstwo, by osiągnąć maksimum zysku, nie przekraczając jednakże limitów zużycia surowców S1 i S2.

1. Zbudować odpowiedni program liniowy

2. Skonstruować zadanie dualne do pierwotnego i rozwiązać je metodą geometryczną

3. Podać rozwiązanie zadania prymalnego.

---