Opracowanie: Łukasz Urbańczyk

WYKŁAD 25

CAŁKI KRZYWOLINIOWE

PRZYKŁAD 25.1

Taka parametryzacja okręgu zadaje nam kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara

Ta parametryzacja zadaje nam kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara

Zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Parametryzacje tej samej krzywej mogą różnić się orientacją

Klasa
- kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara

Klasa
- kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara

DEFINICJA 25.1 (PARAMETRYZACJA REGULARNA)

- parametryzacja regularna

DEFINICJA 25.1 (PARAMETRYZACJE RÓWNOWAŻNE)

Niech

- parametryzacja regularna

- parametryzacja regularna

UWAGA:

Jeżeli
to
, zbiór wartości
pokrywają się ,

ponadto jest zachowany kierunek na krzywej (mają taką samą orientację)

TWIERDZENIE 25.1 (RÓWNOWAŻNOŚĆ PARAMETRYZACJI)

Równoważność parametryzacji jest relacją równoważnościową.

Oznaczenie „~” - relacja równoważnościowa

Dowód:

-zwrotność :

-symetria

-przechodniość

Niech :
- parametryzacja regularna

Z:

T:
, gdzie

Złożenie bijekcji jest bijekcją

Złożenie funkcji rosnących jest funkcją rosnącą

UWAGA:

Parametryzacje należące do tej samej klasy równoważności mają ten sam zbiór wartości i wyznaczają ten sam kierunek

DEFINICJA 25.3 (ŁUK REGULARNY)

Niech
- parametryzacja regularna

K=[
] - łuk regularny

A=
(a) - początek łuku K , B=
(b) - koniec łuku K

DEFINICJA 25.4

Niech
,
- parametryzacje regularne

K=[
] , K'=[
]

K'- ma orientacje przeciwną do K

OZNACZENIE

K'= -K - łuk o orientacji przeciwnej do łuku K

Uwaga.

Początek (-K)=koniec K , koniec(-K) = początek K

DEFINICJA 25.5

F - ciągła (różniczkowalna) na łuku K=[
] :
- ciągła (różniczkowalna)

na [a,b]

DEFINICJA 25.6 (CAŁKA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA)

Niech K=[
] - łuk regularny

- określone i ciągłe na K

TWIERDZENIE 25.2 (O NIEZALEŻNOŚCI CAŁKI OD PARAMETRYZACJI)

Całka krzywoliniowa zorientowana nie zależy od wyboru parametryzacji łuku

Dowód:

Niech K=

Z założenia

Z definicji całki dla Φ⇒

dla Ψ

TWIERDZENIE 25.3

Zmiana orientacji łuku powoduje jedynie zmianę znaku całki

Dowód:

Niech K=[
] , -K=[
]

Gdzie

DEFINICJA 25.7 (KRZYWA REGULARNA)

L- krzywa regularna
(mające co najwyżej wspólne końce )

L=(K₁, K₂,...,K_m)
koniec łuku K_i = początek łuku K_i+1

Jeżeli ponadto koniec K_m = początek K₁ to L -krzywa regularna zamknięta

DEFINICJA 25.8 (KRZYWA REGULARNA)

L- krzywa regularna to

PRZYKŁAD 25.2

-łuk paraboli
,

A(2,4) B(1,1)

1

---