Opracowanie: Rafał Szczepara
WYKŁAD 8
PRZESTRZEŃ METRYCZNA
DEFINICJA 8.1 (DEFINICJA METRYKI)
określmy funkcję
taką, że
warunek nieujemności,
warunek symetrii,
warunek nierówności trójkąta,
Jeżeli d spełnia warunki 
to mówimy , że d jest metryką, gdy są spełnione tylko 3 pierwsze warunki to d jest półmetryką.
Parę uporządkowaną 
nazywamy zaś przestrzenią metryczną.
PRZYKŁAD 8.1 (PRZYKŁADY METRYK)
I. Niech 
Udowodnimy, że tak zdefiniowana funkcja spełnia założenia metryki.
Dowód:
Własności 
wynikają bezpośrednio z własności bezwzględnej wartości.
Udowodnimy punkt 
. Z definicji mamy:
c.n.u.
II. Niech 
oraz 
a) 
jest to odległość euklidesowa
Dowód:
Warunki 
są oczywiste, udowodnimy tylko warunek 
definicji 8.1.
W dowodzie będziemy korzystali z nierówności Cauchy'ego.
ale z nierówności Cauchyego wiemy, że:
Zatem
c.k.d.
b)
Niech 
- jest to tak zwana odległość taksówkowa.
Dowód:
Dowody warunków 
są oczywiste, udowodnimy zatem tylko warunek 
definicji metryki.
c)
- jest to odległość maksimum.
Dowód:
Dowody warunków 
są oczywiste, udowodnimy zatem tylko warunek 
definicji metryki.
III. Niech
wtedy 
a) 
jest to odległość euklidesowa.
b) 
- odległość taksówkowa.
c) 
- odległość maksimum.
Dowody są analogiczne jak w przypadku II.
IV. Niech
będzie dowolnym zbiorem, takim że 
Skonstruujmy funkcję d taką, że
wówczas d nazywamy metryką dyskretną.
Udowodnimy, że tak podana funkcja spełnia warunki metryki.
Dowód:
Warunki 
definicji 8.1. są natychmiastowe z określenia funkcji.
Zajmiemy się zatem warunkiem 
.
Jeżeli a) 
to 
b) 
to 
c) 
to 
d) 
to 
e) 
to 
Tym samym pokazałem, iż w metryce dyskretnej warunek 
definicji metryki jest zawsze spełniony.
PRZYKŁAD 8.2 (METRYKA W ILOCZYNIE KARTEZJAŃSKIM DWÓCH PRZESTRZENI METRYCZNYCH)
Niech 
będą przestrzeniami metrycznymi.
Niech:
a) 
,
gdzie 
Jest to odległość euklidesowa w iloczynie kartezjańskim.
b) 
- odległość taksówkowa w iloczynie kartezjańskim.
c) 
- odległość maksimum w iloczynie kartezjańskim
W dalszej części wykładu dana jest przestrzeń metryczna 
.
DEFINICJA 8.2 ( KULA OTWARTA)
Niech 
PRZYKŁAD 8.3
Szukamy kuli 
.
I
II
a)
Kula w metryce euklidesowej 
b)
Kula w metryce taksówkowej
Narysujmy wykres 
c)
Kula w metryce maksimum
DEFINICJA 8.3 (ZBIÓR OGRANICZONY)
Niech 
powiemy, że 
DEFINICJA 8.4 (ZBIÓR OTWARTY W PRZESTRZENI METRYCZNEJ)
TWIERDZENIE 8.1 (TOPOLOGIA W PRZESTRZENI METRYCZNEJ - czytaj: własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej)
Niech 
(połączenie dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym)
(przecięcie skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym)
Uwaga.
Rodzinę podzbiorów z danego zbioru spełniającą warunki 
nazywamy topologią.
Rodzina zbiorów otwartych przestrzeni metrycznej jest topologią i nazywamy ją topologią indukowaną przez metrykę d.
Dowód TWIERDZENIA 8.1:
( z definicji)
( bo 
zawiera wszystkie „swoje” kule).
wystarczy przyjąć 
TWIERDZENIE 8.2
Kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Niech 
Dowód:
Niech
Niech 
Pokażemy, że
Niech 
Wtedy z 
mamy 
, ale z 
warunku definicji mamy:
a 
gdyż 
Pokazaliśmy, że 
, a to oznacza, że 
WNIOSEK: 
DEFINICJA 8.5 (WNĘTRZE ZBIORU)
Niech 
,
i 
oznacza wnętrze zbioru 
,
jest to największy zbiór otwarty zawarty w 
.
WNIOSEK:
Jeżeli 
jest rodziną wszystkich zbiorów otwartych zawartych w 
, to 
DEFINICJA 8.6 (OTOCZENIE PUNKTU W PRZESTRZENI METRYCZNEJ)
Otoczenie punktu 
nazywamy dowolny zbiór otwarty zawierający punkt 
.
Uwaga.
W naszych rozważaniach będziemy stosować tylko otoczenia kuliste.
DEFINICJA 8.7 (ZBIORY DOMKNIĘTE)
Niech 
TWIERDZENIE 8.3 (WŁASNOŚCI ZBIORÓW DOMKNIĘTYCH)
(przecięcie dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym).
(połączenie skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym).
Dowód.
Ad. 
Ad. 
Ad.
Uwaga.
Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
DEFINICJA 8.8 (DOMKNIĘCIE ZBIORU)
Domknięciem zbioru 
nazywamy najmniejszy zbiór domknięty obejmujący zbiór 
.
Domknięcie zbioru 
będziemy oznaczać przez 
.
WNIOSEK:
Jeżeli 
jest rodziną zbiorów domkniętych zawartych w 
i 
, to 
DEFINICJA 8.9 (BRZEG ZBIORU)
Niech 
,
gdzie 
- oznacza brzeg zbioru 
.
DEFINICJA 8.10 (GRANICA CIĄGU)
Niech 
- będzie przestrzenią metryczną
inaczej:
PRZYKŁAD 8.4
Sprawdzić czy ciąg 
jest zbieżny do g w sensie metryki 
(taksówkowej).
Można udowodnić, że zbieżność w 
jest równoważna zbieżności po każdej współrzędnej osobno.
DEFINICJA 8.11 (PUNKT SKUPIENIA)
: 
WNIOSEK:
jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy jeżeli 
zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
24
Wyszukiwarka