Rachunek błędu
1.Wykaz:niepewność sumy wielkości:q=x+y δ
δx+δy
x=xnp
δx
y=ynp
δy wartości największe: xmax=xnp+δx ymax=ynp+δy ;q=x+y ;qnp=xnp+ynp
qmax=xnp+δy+ynp+δy Wartości minimalne: xmin=xnp-δx ;ymin=ynp-δy ;qmmin=xnp-δy+ynp-δy
qmin=xnp+ynp
(δx+δy); qnp=xnp+ynp ;qnp=xnp+ynp ;q=qnp
(δx+δy) ; δδx+δy
Wykaż:niepewność ilorazu
jest =
(zmierzona war. X)=xnp
δx
(niepewność względna x)
(wartość x)
(wartość
wartość max gdy mianownik najwiekszy a licznik najmniejszy,min. -odwrotnie
MAX:
ostatni czynnik ma w wyrażeniu formę(1+a)/(1-b),gdzieaib są małe(dużomniejsze niż1) Można je uprościć stosując dwa przybliżenia.Po pierwsze,ponieważ b jest małe , więc zgodnie z twierdzeniem o dwumianie newtona
Zatem
MIN:
ostatni czynnik ma postać (1-a)/(1+b) gdzie a i b są mniejsze od 1
ab i b2-pomijalnie małe
nie wiem
(wartość
2.Wykaż: niepewność różnicy q=x-y ; qnp=xnp-ynp ;x=xnp
δx ;y=ynp
δy
qmax=xmax-ymin ;qmax=(xnp+δx)-(ynp-δy)
qmin=xmin-ymax ;qmin= (xnp-δx)-(ynp+δy)
q=xnp-ynp
(δx+δy) q=qnp
δq δq
δx+δy
b) niep.względna iloczynu q=x*y ; xnp
δx ;
y=ynp
δy ;
; q=x*y ; qnp=xnp*ynp
; qmax=xmax*ymax ; qmin=xmin*ymin
qmax=xnp
; qmax=xnp*
podkreślone jest pomijalnie małe
pomijalnie małe
;
;
3.Omów niepewność wartości dowolnej funkcji jednej korzystając z wykresu zmiennej
Jeśli niepewność δx jest mała(jak zawsze zakładamy) to interesujaca część wykresu funkcji jest w przybliżeniu prostą iłatwo przekonać się,że qmax i qmin są jednakowo oddalone od gnp.Niepewność δq można zatem odczytać z wykresu jako jedną z tych odległości.W ten sposób możemy zapisać q w standardowej formie:
qnp
δq
analitycznie:δq=q(xnp+δx)-q(xnp)
u-dostatecznie mały przedział
q(x+u)-
Zatem:jeśli δx jest mała
Jeśli funkcja jest malejąca to otrzymamy wynik:
,aby się pozbyć minusa ostateczna postać
4.Omów niepewność wartości funkcji wielu zmiennych.Kiedy stosujemy Różniczkę zupełną.
Przenoszenie krok po kroku korzystając ze wzorów na błąd sumy,różnicy oraz iloczynu i ilorazu.Różniczka zupełna: np.
(jeżeli krok po kroku,przeszacujemy:ponieważ niepewność x z licznika `znosi' się z niepewnością z mianownika).Zawsze gdy w funkcji,ta sama wielkość występuje więcej niż raz,jak w przykladzie, niektóre z niepewności mogą się znosić(efekt ten zwany jest czasem:kompensacją blędu).Może się wówczas zdarzyć,że obliczenia metodą kolejnych kroków spowodują przeszacowanie ostatecznej niepewności.Jednym sposobem, aby tego uniknąć , jest obliczenie niepewności w jednym kroku,korzystając z metody różniczki zupełnej np.
Bląd bezwzględny
błąd względny:
Ogólna regóła przenoszenia błędów:funcja g(x,y)
qnp=q(xnp,ynp) u:-dowolnie małe przyrosty xi y.ekstremalne wartości q są równe q(xnp
δx;ynp
δy)czyli w przybliżeniu:q(x +u,y+)=q(x,y)+
Musimy wprowadzić wartości bezwzględne ponieważ wyrażenia:
i
mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne. Q=q(xnp,ynp)
;
Załóżmy,że wielkości x,...,z zmierzone z niepewnościami δx.....δy do obliczenia wartości funkcjiq(x.....,z)
Jeżeli niepewności wyznaczenia wielkościx,...,z są niezależne i przypadkowe,to niepewność wyznaczenia wartości funkcji q równa jest:
W żadnym jednak wypadku nie jest większa niż zwykła suma:
5.Przedstaw na wykresie i omów funkcję rozkładu normalnego:Błędy systematyczne ograniczone do zaniedbywalnego poziomu.Wartość prawdziwa-można ją sobie wyobrazić jak tę wartość, do której zbliżamy się coraz bardziej,wykonując coraz więcej pomiarów, z coraz wiekszą dokładnością.Jeżeli błędy systematyczne są zaniedbywalne, to odpowiadający rozkład będzie miał kształt krzywej dzwonowej wyśrodkowanej wokół wartości prawdziwej x . Funkcja matematyczna,która opisuje krzywą dzwonową,nosi nazwę funkcji: rozkladunormalnego lub funkcji Gaussa: ma postać:
gdzie δ-ustalona wartość nazywana szerokością rozkładu,krzywa dzwonowa jest szersza dla dużych wartości δ;a węższa dla małych wartości δ .Aby funkcja Gaussa była wyśrodkowana wokół x=X,a niex=0 należy we wzorze x zastapić przezx-X.
e
Funkcja ma maximum W punkcie x=X:maleje symetrycznie po obu stronach x=X;Aby rozkład graniczny,był znormalizowany(co jest wymagane) musi spełniać warunek
Zmieniając w tym kierunku zapiszemy funkcję w postaci f(x)=N
N-współczynnik normalizacji
(x-X=y dy=dx)
dx=n
dy= δdz *=Nδ
Ponieważ całka ma być równa jedności to:
Ostatecznie: rozkład Gaussa(rozkład normalny)-(xδ
G x,
Indeksy X; δ wskazują na środek;szerokość rozkładu
WAŻNE:Funkcja G(x), δ(x opisuje rozkład graniczny wyników pomiarów wielkości x,której wartość prawdziwa jest równa X,pod warunkiem,że pomiary są narażone na wpływ błędów przypadkowych.O dowolnych pomiarach,których rozkładem granicznym jest funkcja Gaussa mówimy ,że mają rozkład normalny.(całkowite pole powierzchni pod krzywą jest rowne 1)
f x=X
x
Mniej ważne:
dx=* (y=x-X dx=dy)
pierwsza całka równa się zero,ponieważ przyczynek od dowolnego punktu y znosi się z przyczynkiem pochodzącym od punktu -y
=X
Czyli wartość średnią obliczoną na podstawie,długiej serii pomiarów jest równa wartości prawdziwej
Odchylenie standardowe:
δx
Gx,δ(x)dx
podstawienie:
=X x-X=y (
i całkujemy przez części) δx2=82
Czyli szerokość δ funkcji Gaussa jest równa odchyleniu standardowemu otrzymanemu z wielokrotnego pomiaru.