1. NAPÓR HYDROSTATYCZNY NA ŚCIANĘ PŁASKĄ

Na każdą powierzchnię ścianki naczynia lub zbiornika ciecz działa siłą o module p*dF, skierowana prostopadle do elementarnej powierzchni. Siły te, zwane elementarnymi naporami hydrostatycznymi, w ogólnym przypadku dowolnie ukształtowanej ścianki tworzą przestrzenny, dowolny układ sił, który redukuje się do wektora głównego oraz momentu ogólnego lub skrętnika. W wielu przypadkach praktycznych mamy do czynienia bądź to ze ściankami płaskimi, bądź to zakrzywionymi w ten sposób, że tworzą powierzchnie walcowe, kuliste lub stożkowe. Układ sił p*dF redukuje się wtedy do jednej wypadkowej, zwanej naporem hydrostatycznym. Weźmy pod uwagę figurę płaską o powierzchni F leżącą
w płaszczyźnie ścianki naczynia, nachylonej do poziomu pod
kątem
(jak na rysunku).

Na element powierzchniowy dF figury, którego środek leży w odległości „z" działa napór elementarny
. Dla całej figury otrzymamy układ sił przestrzenny równoległy, a jego wypadkowa określona jest całką powierzchni figury

Całka ta przedstawia moment statyczny figury F względem
płaszczyzny O-O i jako taka równa się Fz_s, gdzie
z_s jest współrzędną ciężkości figury. Zatem

Iloczyn
określa ciśnienie całkowite, jakie panuje
w środku ciężkości figury F.

Napór cieczy na płaską figurę dowolnie zorientowaną równa się ciśnieniu całkowitemu w środku ciężkości figury pomnożonemu przez pole powierzchni tej figury.

Gdy p_n=0 (gdy na powierzchni zwierciadła cieczy jest takie
samo ciśnienie jak na zewnętrznej stronie ścianki -
w szczególności może to być ciśnienie atmosferyczne) to przez
wartość z_s należy rozumieć głębokość zanurzenia środka
ciężkości.

2. ŚRODEK NAPORU

Cechy wektora siły naporu:

1. Wartości (moduł)

2. Kierunek działania - prostopadły do płaszczyzny ściany
naczynia

3. Punkt zaczepienia - środek naporu (punkt D)

Dla figury usytuowanej poziomo (np. w dnie naczynia), środek
naporu pokrywa się ze środkiem ciężkości figury. Jednakże
w przypadku ściany pochyłej tak nie jest.

Moment siły wypadkowej układu sił względem dowolnej osi równa się sumie momentów poszczególnych sił względem tej osi (twierdzenie z mechaniki).

M_w=M₁+M₂+...

Dla sił działających na figurę F oraz osi Ox twierdzenie to

można zapisać w postaci:

Porównując prawe strony równań (a) i (b) otrzymujemy:

Odległość środka naporu od osi Ox równa się ilorazowi

- nie zależny od

Środek naporu położony jest zawsze poniżej środka ciężkości

figury.

Twierdzenie Steinera dla rozpatrywanej figury ma postać:

- powierzchniowy moment bezwładności figury względem
prostej przechodzącej przez środek ciężkości figury, równoległej do osi Ox

- promień bezwładności figury.

Moment statyczny figury

S_x=Fy_s
Podstawiając powyższe zależności do równania

otrzymuje się

ponieważ
to y_D>y_s.

Odległość środka naporu od środka ciężkości figury mierzona
w płaszczyźnie figury wynosi

.

Między współrzędnymi z i y zachodzi zależność

,

i analogicznie

Po przekształceniu otrzymujemy

Z powyższego równania wynika, że im bardziej ściana jest
nachylona do poziomu tym bardziej środek naporu oddala się od środka ciężkości figury. Odległość ta jest największa dla ściany pionowej. Gdy figura ma oś symetrii równoległą do osi Oy wówczas dla wyznaczenia położenia środka naporu wystarczy obliczyć tylko współrzędne y_D. W przypadku figury niesymetrycznej należy również wyznaczyć współrzędną x_D.

3. NAPÓR NA ŚCIANĘ ZAKRZYWIONĄ

Zamknięty zbiornik z cieczą o ciężarze właściwym
pod
ciśnieniem p_n posiada dowolnie zakrzywione ściany. Układ
współrzędnych przyjęto w ten sposób, że osie Ox i Oy znajdują
się w płaszczyźnie O-O a oś Oz jest skierowana
pionowo w dół. Na rysunku poniżej przedstawiono płat
powierzchni zakrzywionej oraz jego rzuty F_x, F_y, F_z na płaszczyzny układu współrzędnych.

Wektor dF elementarnej powierzchni płata ma składową dF_x,
dF_y, dF_z, które reprezentują pola rzutów elementarnej
powierzchni dF na odpowiednie płaszczyzny układu.

Działanie cieczy na powierzchnię dF jest elementarnym
naporem hydrostatycznym

Składowe poziome elementarnego naporu hydrostatycznego

gdzie:

- ciężar właściwy cieczy

z- głębokość zanurzenia elementarnych powierzchni dF_x, dF_y

Składowe poziome dla całych powierzchni wynoszą

gdzie:

z_s - głębokość zanurzenia środków ciężkości figur F_x, F_y

(punkty s_x i s_y są rzutami środka ciężkości s na odpowiednie płaszczyzny pionowe). Uogólniając powyższe można napisać

gdzie:

N_n - składowa pozioma naporu na powierzchnię zakrzywioną
z_s - głębokość zanurzenia środka ciężkości rzutu powierzchni zakrzywionej na płaszczyznę pionową…………………………….
F_n - pole powierzchni rzutu na płaszczyznę pionową

Twierdzenie

Składowa pozioma naporu cieczy na powierzchnię zakrzywioną obliczana w dowolnym kierunku jest równa naporowi na figurę płaską uzyskaną przez zrzutowanie powierzchni zakrzywionej na płaszczyznę pionową prostopadłą do tego kierunku.

Napór elementarny w kierunku Oz wynosi:

Iloczyn zdF_z związany jest z objętością słupa cieczy.

Natomiast
objętością bryły cieczy ograniczonej

od dołu powierzchnią zakrzywioną, a od góry powierzchnią
O-O.

Składowa pionowa naporu cieczy na powierzchnię zakrzywioną równa się ciężarowi bryły cieczy ograniczonej od dołu tą powierzchnią a od góry powierzchnią O-O.
Jeśli p_n=0 to płaszczyzna O-O pokrywa się
z płaszczyzną cieczy. Wektor siły N_z skierowany jest pionowo ku powierzchni zakrzywionej od strony zwilżonej a jego linia działania przechodzi przez środek ciężkości bryły określonej powyżej. Linie działania sił N_h i N_z w ogólnym przypadku powierzchni nie przecinają się w jednym punkcie, a więc są to siły skośne. Wtedy działanie cieczy na powierzchnię
zakrzywioną nie sprowadza się do jednej wypadkowej, lecz do
skrętnika. Natomiast, gdy powierzchnia zakrzywiona ma pionową płaszczyznę symetrii lub, gdy jest powierzchnią walcową o tworzącej poziomej, wtedy przestrzenny układ sił złożony z naporów elementarnych redukuje się do jednej wypadkowej, zwanej naporem hydrostatycznym.

Składową poziomą i pionową wyliczamy z wyżej wymienionych
wzorów, a jego kierunek pochylenia ze wzorów:

Środek naporu wyznacza się jako punkt przecięcia linii działania
wektorów N_h i N_z. W przypadku powierzchni nieregularnie
zakrzywionej punkt ten nie leży na samej powierzchni, lecz
poza nią.

---