Marta Poślednik, Natalia Pawłowska IIa

Ćwiczenie 10

Temat: Prawo Hooke'a dla sprężyny

Odkształcenie - miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym.

Aby móc mówić o odkształceniu, należy wyróżnić dwa stany ciała: początkowy i końcowy. Na podstawie różnic w położeniach punktów w tych dwóch stanach można wyznaczać liczbowe wartości odkształcenia.

Zależność pomiędzy stanem odkształcenia, a naprężenia określa m.in. Prawo Hooke'a.

Odkształceniem sprężystym 

Nazywamy takie odkształcenie, które ustępuje po usunięciu siły, która je spowodowała. Odkształcenia sprężyste występują w każdej konstrukcji budowlanej, maszynie, urządzeniu. Najczęściej spotykanymi odkształceniami są: rozciąganie, ściskanie, skręcanie. Reakcją na rozciąganie jest przyciąganie się cząsteczek, zaś na ściskanie odpychanie się. Odkształcenia sprężyste nie występuje w ciałach idealnie plastycznych (ich przybliżeniem jest np. glina)

Odkształcenie liniowe osiowe 

Przy rozpatrywaniu uproszczonego przypadku rozciągania, bądź ściskania, czyli odkształcenia liniowego pręta tylko wzdłuż jego długości, biorąc pod uwagę dwa dowolnie wybrane punkty wewnątrz nieobciążonego ciała, można określić odległość pomiędzy nimi. W chwili obciążenia tego ciała siłami zewnętrznymi następuje jego deformacja, a w wyniku tego zmienia się odległość pomiędzy rozpatrywanymi punktami. Odkształcenie liniowe ε w dowolnym punkcie ciała jest granicą ilorazu różnicy odległości do odległości wyjściowej, gdy odległość wyjściowa zmierza do zera.

Innymi słowy przy definicji odkształcenia w punkcie rozważa się zmiany odległości w bezpośrednim otoczeniu tego punktu.

Odkształcenie liniowe - przypadek ogólny 

Dla ciała o dowolnym kształcie, poddanego dowolnej deformacji wartości odkształcenia liniowego mogą być różne w zależnośći od kierunku w jakim są badane. Jeśli rozpatrujemy odkształcenie liniowe w punkcie A położonym w początku układu wspołrzędnych i obierzemy punkt B leżący na osi x układu, który pod wpływem obciążenia przemieścił się do B' to odkształcenie liniowe można zapisać jako:

Przeprowadzając podobną analizę dla osi y i z można otrzymać odpowiednio ε_y i ε_z. Mając dane pole przemieszczeń 
 (czyli wartości wektora przemieszczenia dla wszystkich punktów ciała) można zapisać odkształcenia liniowe jako:

 ; 
 ; 

Odkształcenie postaciowe 

Podobnie rozważa się zmiany miar kątowych w bezpośrednim otoczeniu punktu. Odkształcenie kątowe γ jest granicą ilorazu różnicy kata pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi odcinkami w ciele nieobciążonym i obciążonym, gdy długości tych odcinków zmierzają do zera. Mając dane pole przemieszczeń jak wyżej można zapisać:

 ; 
 ; 

Odkształcenie objętościowe 

Chociaż odkształcenia liniowe ε i kątowe γ w pełni definiują stan odkształcenia, możliwe jest wyznaczenie innych charakterystycznych wartości odkształceń. Jednym z nich jest odkształcenie objętościowe, które jest miarą zmiany objętości ciała.

Z definicji odkształcenie objętościowe to:

gdzie: V⁽⁰⁾ - objętość początkowa, V - objętość końcowa

Można udowodnić, że w układzie kartezjańskim:

Przypadek dużych odkształceń 

Powyższe rozważania dotyczą tzw. przypadku małych odkształceń. Oczywiście jest dyskusyjnym, co można nazywać małymi odkształceniami. Nie ma tu konkretnych rozgraniczeń, należy być jednak świadomym rosnących błędów wraz ze wzrostem odkształceń.

Dla dużych odkształceń tensor odkształcenia można opisać jako:

gdzie: g_ij - tensor metryczny układu współrzędnych związanego z ciałem odkształconym, g_ij⁽⁰⁾ - tensor metryczny układu współrzędnych związanego z ciałem nieodkształconym.

Prawo Hooke'a - prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke'a (1635-1703) w formie

"ut tensio sic vis", pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke'a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke'a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia 

Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Względne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

, więc:

gdzie:

F - siła rozciągająca,

S - pole przekroju,

Δl - wydłużenie pręta,

l - długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

gdzie:

 - odkształcenie względne,

 - naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia 

Prawo Hooke'a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń liniowych

dla odkształceń kątowych własnych

gdzie:

ε - odkształcenie liniowe w punkcie,

σ - naprężenie liniowe w punkcie,

γ - odkształcenie postaciowe (kątowe) w punkcie,

τ - naprężenie kątowe w punkcie,

G - współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa.

E - moduł Younga

ν - współczynnik Poissona

Moduł sprężystości, wielkość tensorowa opisująca sprężyste właściwości materiału. Wiąże ze sobą naprężenie z powstającym w jego wyniku odkształceniem (np. Hooke'a prawo): odkształcenie powstające w kierunku działania naprężenia jest proporcjonalne do naprężenia, rolę współczynnika proporcjonalności odgrywa moduł sprężystości.

Analiza jednoznacznych stanów naprężenia (rozciąganie/ściskanie, naprężenie styczne - ścinanie, równomierne objętościowe ściskanie) pozwala wyznaczyć składowe tensora modułu sprężystości, inną metodą stosowaną w tym celu jest analiza drgań materiału.

---