2. Skręcanie pręta kołowo symetrycznego litego i rurowego.Kąt skręcania.Naprężania przy skręcaniu.Moduł Kirchoffa.

Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku działania zewnętrznego momentu skręcającego Ms (przyczyna) obserwujemy odkształcenie elementu konstrukcji w postaci kąta γ. Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego.

• Warunki równowagi
  

gdzie:

• Warunki geometryczne

dφ - kąt skręcenia

przy czym

• Związki fizyczne

W przypadku skręcenia istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem skręcania (prawo Hooke'a dla ścinania):

τ - naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu; G - moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała tablicowana;

W dalszej kolejności wyznaczamy
, a następnie z warunku równowagi:

Is - biegunowy moment bezwładności przekroju

Rozklad naprężeń w przekroju poprzecznym nie jest równomierny. Naprężenia zmieniaja się liniowo od 0 w srodku do wartości maksymalnej na obwodzie

5. Różniczkowe równanie zginania belki i szkice rozwiązań. Różniczkowa zależność pomiędzy momentem gnącym, siłą gnącą i obciążeniem ciągłym w przekroju Poissona.

Belka - pręt obciążony siłami lub momentami zewnętrznymi, których wektory przecinają oś pręta pod kątem prostym.

Moment gnący Mg - suma algebraiczna momentów obciążeń zewnętrznych działających w płaszczyźnie przekroju belki.

Siła poprzeczna (tnąca) T - suma algebraiczna składowych sił zewnętrznych prostopadłych do osi belki, działających w płaszczyźnie przekroju belki po lewej stronie rozważanego przekroju poprzecznego belki.

Zginanie równomierne -

Zginanie równomierne (czyste) -
- belki o dużej rozpiętości.

Ścinanie pręta -
- belki o bardzo małej rozpiętości

• Zależności różniczkowe przy zginaniu

Warunki równowagi elementu belki:

T+qdx+(T+dT)=0

Mg+Tdx-(Mg+dMg)-qdx·

(dx/2)=0

• Twierdzenie Schwedlera

7. Istota hipotez wytężeniowych. Opisać szczegółowo jedną z 2: sigma max lub tał max.

Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych - sformułowana przez Coulomba, dotyczy granicy sprężystości i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe naprężenia styczne.

- Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężeń wynosi:

W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenie styczne wynosi:

8.  Szczegółowa teoria koła Mohra dla płaskiego stanu naprężeń (naprężenia główne tałmax i fi główne, położenie naprężenia głównego, położenie tał max oraz fi s)

W dowolnym punkcie tarczy, która wraz z obciążeniem zewnętrznym leży w płaszczyźnie xy, występuje płaski stan naprężenia. Dla płaskiego stanu naprężeń macierz reprezentująca tensor stanu naprężeń ma postać:

Analogiczną postać ma macierz reprezentująca tensor stanu odkształceń. Prawo transformacji składowych płaskiego stanu naprężeń (sigma:x, y tał xy ) opisanego w układzie osi współrzędnych xy, pozwala wyznaczyć składowe
układzie współrzędnych
, który to jest

obrócony w stosunku do osi xy, o kąt fi. Składowe stanu naprężenia w obróconym układzie współrzędnych są równe:

9. Naprężenia tnące przy zginaniu belek, wzór Żurawskiego, zginanie teowników.

Wzór Żurawskiego opisujący rozkład naprężeń stycznych wywołanych siłą poprzeczną T w przekroju belki:

, wzór ten ma również zastosowanie jeśli szerokość b zmienia się wzdłuż wysokości przekroju.

W przekroju prostokątnym rozkład naprężeń τ ma charakter paraboliczny:

. Maksymalne naprężenia styczne
występują w warstwie obojętnej dla y=0:

.

10. Układ Clapeyrona, twierdzenie o wzajemności Bettiego i Maxwella.

Układ Clapeyrona - spełnia następujące warunki: 1. materiał musi być idealnie sprężysty i w każdym punkcie naprężenia muszą być mniejsze od granicy proporcjonalności; 2. działanie jednych sił nie może zmienić charakteru działania innych sił (zasada superpozycji zachowana).

12. Opisać metodę sił lub metodę Maxwella-Mohra.

Jeśli energia sprężysta układu będzie zależeć od następujących obciążeń zewnętrznych N, MS, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to przemieszczenie u, będzie określone następującą zależnością:

gdzie: N', Ms', Mgy', Mgz', Ty', Tz' - odpowiednie składowe sił wewnętrznych przy obciążeniu fikcyjnym wynoszącym Ffik=1.

11. Twierdzenie Castigliano, Menambre. Przykłady zastosowań.

Tw. Castigliano - Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.

. Jeśli w interesującym nas punkcie analizowanego ciała nie ma rzeczywistej siły Fi odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu ui należy w tym miejscu przyłożyć siłę fikcyjną Ffik, którą po wykonaniu różniczkowania przyrównuje się do zero:

Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano

Stosując metodę Castigliano, można przemieszcenia u1, … un z wykorzystaniem energii sprężystej V (X1, … Xn) jako:

Na tej podstawie można sformułować zasadę minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano - spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X1, … , Xn zbiorem rzeczywistych wielkości hiperstatycznych jest ten,, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość minimalną

13. Hipoteza wytężeniowa Hubera.

Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego - sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky'ego zakłada, że miarą wytężenia jest energia właściwa odkształcenia postaciowego.

Energię odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia określa zależność:

Dla jednoosiowego stanu naprężenia

energię tą opisuje wyrażenie:

Jeżeli wytężenia są sobie równe, to
, a wzór na naprężenie redukowane ma postać:

Dla płaskiego stanu naprężeń
,
, naprężenie redukowane:

Dla często spotykanego w budowie maszyn stanu naprężeń

Redukowane określa wyrażenie:

A dla prostego ścinania:

Stąd wniosek:

15. Teoria Eulera stateczności prętów ściskanych. Jak sobie radzimy w zakresie sprężystym, plastycznym czy coś takiego.

Pręt obciążany zwiększającą się siłą ściskającą F, pozostanie prosty dopóki siła ta nie przekroczy wartości krytycznej Fkr. Po przekroczeniu wartości krytycznej siła ta powoduje ugięcie osi pręta zwane wyboczeniem.

Wartość siły krytycznej Fkr przy wyboczeniu sprężystym pręta można wyprowadzić z tzw. równania Eulera.

stąd:

gdzie n=1,2,3,…

- długość zredukowana.

Jeśli wprowadzimy pojęcie naprężenia krytycznego σkr oraz smukłości pręta λ to otrzymamy wyrażenie na naprężenie krytyczne Eulera:
.

---