Wykład 10

Fale w ośrodkach sprężystych

Fale mechaniczne

Jeśli jakimś miejscu ośrodka sprężystego wywołamy drganie, to drgająca cząstka pociągnie za sobą kolejne cząstki i ruch drgający będzie się przenosić od cząstki do cząstki z pewną prędkością
. Takie rozchodzenie się drgań w ośrodku nazywamy falą. Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy falami mechanicznymi. Należy podkreślić, że poszczególne cząstki ośrodka nie przemieszczają się, wykonują tylko drgania wokół swoich położeń równowagi.

Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pływające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostajnym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazując mu energię. Można za pomocą fal przekazywać, więc, energię na duże odległości. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.

Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii.

Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.

Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali wyróżnia się:

fale poprzeczne - jeśli drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali;

fale podłużne - jeśli drgania zachodzą w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali.

Rysunek pokazuje ruch cząsteczek podczas rozchodzenia się fali poprzecznej. Numerami
oznaczone są cząstki odległe od siebie o
, czyli o odległość, jaką fala przebywa w czasie
okresu drgań. W chwili
fala biegnąca w prawo dochodzi do cząstki
. Cząstka ta rozpoczyna ruch ku górze, pociągając za sobą kolejne cząstki. Po upływie
okresu cząstka 1 osiąga maksymalne wychylenie, a ruch ku górze rozpoczyna cząstka
. Po następnej ćwiartce okresu cząstka 1 wraca do położenia równowagi i rozpoczyna ruch w dół, cząstka
osiąga maksymalne wychylenie, a cząstka
zaczyna przemieszczać się do góry. Po upływie pełnego okresu w chwili
pierwsza cząstka wraca do stanu, w jakim była w chwili
, a fala, przebywając drogę
, dociera do cząstki

Falą podłużną, jak już wspomniano, nazywamy falę, której kierunek rozchodzenia się jest równoległy do kierunku drgań cząstek.

Rysunek pokazuje ruch cząstek podczas rozchodzenia się w ośrodku fali podłużnej. Widać, że rozchodzenie się fali podłużnej związane jest z powstawaniem w ośrodku postępujących po sobie zagęszczeń i rozrzedzeń cząstek. Zagęszczenia i rozrzedzenia przesuwają się w ośrodku z prędkością
.

Podczas rozchodzenia się fali w drganiach biorą udział nie tylko cząstki leżące na osi
, jak na poprzednich rysunkach, lecz układ cząstek znajdujących się w pewnej objętości. Zbiór punktów, do których fala dochodzi w danej chwili nazywamy czołem fali. Zbiór punktów drgających w tej samej fazie nazywamy powierzchnią falową. Przez każdy punkt biorący udział w ruchu falowym można przeprowadzić powierzchnię falową. Powierzchni falowych jest, więc, nieskończenie wiele, ale czoło fali jest tylko jedno. Spośród wszystkich możliwych kształtów powierzchni falowych wyróżniamy wiele, ale czoło fali jest tylko jedno. Spośród wszystkich możliwych kształtów powierzchni falowych wyróżniamy takie, które są płaszczyznami i powierzchniami kulistymi. Fale takie nazywamy odpowiednio falą płaską i falą kulistą.

Rysunek niżej przedstawia wychylenia cząstek z położenia równowagi
dla cząstek o różnych wartościach
. Zauważmy, że wykres ten może dotyczyć zarówno fali poprzecznej, jak i podłużnej. Długością fali nazywamy odległość, na jaką rozchodzi się fala w czasie równym okresowi drgań ośrodka. Można też powiedzieć, że długość fali to najmniejsza odległość między cząstkami drgającymi w jednakowej fazie. Długość fali związana jest okresem drgań prostym wzorem:
.

Fale rozchodzące się w przestrzeni

Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłuż którego biegnie fala poprzeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura można opisać funkcją

y = f(x), t = 0

y - przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.

W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma postać

y = f(x − vt),

Oznacza to, że w chwili t w punkcie x = vt, kształt jest taki sam jak w chwili t = 0 w punkcie x = 0. Mamy, więc, równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.

Jeżeli śledzimy wybraną część fali, czyli określoną fazę, to musimy zbadać jak zmienia się w czasie wybrana wartość y (np. maksimum - amplituda). Chcemy, żeby y było cały czas takie samo, więc argument x −- vt musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas rośnie to musi też rosnąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma, więc, równanie y = f(x+vt). Podsumowując, dla wybranej fazy mamy

x − vt = const.

Różniczkując względem czasu otrzymujemy

czyli

To jest prędkość fazowa. Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego miejsca sznura x mamy równanie f(t).

Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją

gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd., λ jest długością fali (odległość między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo, to po czasie t

Otrzymaliśmy równanie fali biegnącej.

Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą λ, więc:

λ = vT

stąd

(10.1)

Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd., oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach t, t + T, t +2T, itd.

Często wprowadza się dwie nowe wielkości:

liczbę falową k = 2π/λ i częstość ω = 2π/T.

Wówczas y = Asin(kx-ωt) lub y = Asin(kx+ωt) dla fal biegnących w prawo i lewo.

Widać, że prędkość fazowa fali v jest dana wzorem

v = λ/T = ω/k (10.2)

oraz, że dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.

Rozchodzenie się fal, prędkość fal

Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy, jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali, czyli określona faza.

Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Sprężystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (np. im większa siła tym szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi). Natomiast bezwładność jest związana z masą sznura m oraz jego długością l. Spróbujemy teraz wyprowadzić wzór na zależność prędkości v fali od siły F i od μ = m/l tj. masy przypadającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura o długości dx pokazany na rysunku.

Końce wycinka sznura tworzą z osią x małe kąty ₁ i ₂. Dla małych kątów  ≅ sin ≅ dy/dx. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku y wynosi

Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka dm = μ⋅dx i jego przyspieszenia. Stąd

lub

(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem ∂y bo wychylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno względem zmiennej x jak i zmiennej t). Uwzględniają, że  = ∂y/∂x otrzymujemy

(10.3)

Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne funkcji

oraz

W wyniku podstawienia otrzymujemy

skąd możemy obliczyć prędkość fali

(10.4)

Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości.

Jeżeli teraz przepiszemy równanie struny w postaci

(10.5)

to otrzymamy równanie falowe, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal, takich jak fale dźwiękowe czy elektromagnetyczne.

Przenoszenie energii przez fale

Szybkość przenoszenia Energii można wyznaczyć obliczając siłę F jaka działa na koniec struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku y).

W tym celu posłużymy się zależnością

P = F_yv_y

Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest v_y = ∂y/∂t, a składowa siły F w kierunku y wynosi Fsin . Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy

Dla małych kątów  możemy przyjąć sin ≅ - ∂y/∂x (znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny). Stąd

Obliczamy teraz pochodne funkcji

i podstawiamy do wyrażenia na moc

(10.6)

Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając z tego, że k = ω /v, ω = 2πf oraz, że
otrzymujemy

(10.7)

Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.

Interferencja fal

Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach, ale o fazach różniących się o ϕ. Równania tych fal są następujące

y₁ = Asin(kx - ωt - ϕ)

y₂ = Asin(kx - ωt)

Znajdźmy teraz falę wypadkową (zasada superpozycji) jako sumę y = y₁ + y₂.

Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy

y = 2Acos(ϕ/2)sin(kx - ωt - ϕ/2) (10.8)

co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(ϕ/2). Dla ϕ = 0 fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają), a dla ϕ = 180 wygaszają.

Fale stojące

Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn.

y₁ = Asin(kx - ωt)

y₂ = Asin(kx + ωt)

np. falę padającą i odbitą.

Falę wypadkową można zapisać jako

y = y₁ + y₂ = 2Asinkxcosωt (10.9)

To jest równanie fali stojącej. Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym. Cząstki mają tę samą częstość, ale różną amplitudę zależną od położenia cząstki x. Punkty kx = π/2, 3π/2, 5π/2, itd., czyli x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 itd. mające maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami, a punkty kx = π, 2π, 3π itd. czyli x = λ/2, λ, 3λ/2 itd. mające zerową amplitudę nazywamy węzłami.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę. Energia nie jest przenoszona wzdłuż sznura, bo nie może ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych elementach sznura.

1. Układy drgające, przykład

Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta a następnie puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony, jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych końcach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze cztery rodzaje drgań jakie powstają w strunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane na rysunku poniżej. Takie fale stojące nazywamy rezonansami.

Widzimy, że długości fal spełniają związek

(15.10)

Korzystając z tego, że prędkość fali
oraz podstawiając wyrażenie (15.4) możemy obliczyć częstotliwość rezonansów

(15.11)

Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową a pozostałe wyższymi harmonicznymi czyli alikwotami.

Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące złożeniem tonu podstawowego (n = 1) i wyższych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o różnych amplitudach jest pokazane na rysunku poniżej.

Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).

2. Dudnienia - modulacja amplitudy

Mówiliśmy już o superpozycji fal, interferencji w przestrzeni (dodawanie fal o tej samej częstości). Rozpatrzmy teraz przypadek interferencji w czasie. Pojawia się ona gdy przez dany punkt w przestrzeni przebiegają w tym samym kierunku fale o trochę różnych częstotliwościach. Wychylenie wywołane przez jedną falę ma postać

y₁ = Acos2πv₁t

y₂ = Acos2πv₂t

więc

y = y₁ + y₂ = A(cos2πv₁t + cos2πv₂t)

Ze wzoru na sumę cosinusów

(15.12)

Drgania wypadkowe można więc uważać za drgania o częstości

v_srednie = (v₁ + v₂)/2

która jest średnią dwóch fal, i o amplitudzie (wyrażenie w nawiasie kwadratowym) zmieniającej się w czasie z częstością

v_amp = (v₁ - v₂)/2

Jeżeli częstotliwości v₁ i v₂ są bliskie siebie to amplituda zmienia się powoli. Mówimy, że mamy do czynienia z modulacją amplitudy AM (stosowana np. w odbiornikach radiowych). Dla fal dźwiękowych AM przejawia się jako zmiana głośności nazywana dudnieniami (rysunek).

3. Zjawisko Dopplera

Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała (częstotliwość) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub źródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal. Obecnie rozważymy je dla fal dźwiękowych. Zajmiemy się przypadkiem ruchu źródła i obserwatora wzdłuż łączącej ich prostej.

Źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła z prędkością v_o. Nieruchomy obserwator odbierał by vt/λ fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatkowo v_ot/λ fal. Częstość słyszana przez obserwatora

Ostatecznie

Studiując pozostałe przypadki otrzymujemy ogólną zależność

(15.12)

gdzie v' - częstość odbierana przez obserwatora, v - częstość źródła, v - prędkość fali, v_o - prędkość obserwatora, v_z - prędkość źródła.

Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się, a znaki dolne oddalaniu się obserwatora i źródła.

Podsumowanie

Pod wpływem siły harmonicznej
ciało porusza się ruchem harmonicznym, w którym wychylenie ciała z położenia równowagi zależy sinusoidalnie od czasu:
, gdzie
. Energia całkowita drgań, będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej, jest zachowana. Jeśli drgania są tłumione przez siłę oporu, amplituda drgań
maleje wykładniczo z czasem, a okres drgań jest dłuższy niż dla drgań swobodnych. Jeśli ruch harmoniczny odbywa się pod wpływem siły wymuszającej:
, to częstość drgań jest równa częstości siły wymuszającej
. Amplituda drgań zależna jest wtedy od różnicy kwadratów częstości własnej i częstości siły wymuszającej:
, a dla częstości siły wymuszającej
, gdzie
to współczynnik tłumienia, amplituda jest największa, czyli występuje rezonans.

Jeśli ciało bierze udział w kilku ruchach harmonicznych, wychylenie wypadkowe jest sumą geometryczną składowych wychyleń. W szczególności, wynikiem złożenia dwóch równoległych drgań harmonicznych o niewielkiej różnicy częstości jest dudnienie, czyli drganie, w którym amplituda wolno oscyluje od zera do wartości maksymalnej. Złożenie drgań prostopadłych o równych częstościach daje ruch po prostej, elipsie lub okręgu w zależności od różnicy faz i relacji między amplitudami drgań składowych. Jeśli częstości prostopadłych drgań składowych są różne, to punkt zakreśla skomplikowane krzywe zwane krzywymi Lissajou.

Fala to rozchodzenie się w ośrodku drgań cząsteczek. Rozróżniamy fale poprzeczne, w których drgania cząstek ośrodka są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali i fale podłużne, gdzie cząstki drgają w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali.

Wychylenie
z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór:
, gdzie
jest liczbą falową,
częstością, a
- fazą początkową. Funkcja
jest rozwiązaniem równania falowego:

Jeśli nałożą się fale o jednakowej częstości biegnące w przeciwne strony, to powstaje fala stojąca:
, w której wszystkie cząstki drgają ze stałą częstością
, ale amplituda tych zmian
zależna jest od samego położenia punktu
. Punkty, gdzie amplituda drgań jest maksymalna to strzałki fali stojącej. Węzłami nazywamy punkty, które pozostają w spoczynku (amplituda równa zeru). Odległość między kolejnymi węzłami (i strzałkami) wynosi
.

---