LINIE UGIĘCIA BELEK

METODA ANALITYCZNA:

Strzałka ugięcia= max ugięcie wmax

Dobór znaku w równaniu
zależy od 2 czynników:

-reguły znakowania momentu gnącego

-orientacji układu osi współrzędnych

Schematy ustalania znaków w równaniu:

Równanie kąta obrotu:

Równanie linii ugięcia:

Stałe całkowania obliczymy z warunków brzegowych zależnych od sposobu podparcia belki. Liczba stałych całkowania zależna jest od liczby przedziałów zmienności funkcji momentów zginających. W celu określenia stałych całkowania korzystamy z 2 rodzajów warunków brzegowych: warunków podporowych i warunków ciągłości linii ugięcia.

Warunki podporowe - dotyczą tych przekrojów belki, w których jest ona podparta. W zależności od rodzaju podpory będziemy mieli różne ograniczenia na ugięcia i kąty obrotu przekrojów. W przypadku podpór przegubowych przesuwnych i stałych ugięcie belki musi mieć wartość zerową, natomiast kąt obrotu może przyjmować dowolne wartości. Z kolei dla belek mających przekroje utwierdzone, zarówno ugięcie jak i kąty obrotu musza przyjmować wartość równą zeru w przekroju utwierdzonym.

Warunki ciągłości linii ugięcia - dotyczą tych punktów osi belki, w których przebiega granica zmienności funkcji momentów zginających. W takich punktach wartości ugięć i i kątów obrotu dla końca lewego przedziału musza równać się odpowiednim wartościom z początku prawego przedziału.

METODA CLEBSCHA

Ograniczenie liczby stałych całkowania do dwóch jest możliwe wtedy gdy:

- współrzędne przekrojów we wszystkich przedziałach zmienności funkcji momentów zginających musza być odniesione do jednego i tego samego początku układu osi współrzędnych, którym jest skrajnie lewy lub prawy punkt osi belki.

- funkcja momentów zginających w każdym przedziale musi zawierać wszystkie składowe funkcji momentów ustalonych dla przedziału poprzedniego. Jest to możliwe do spełnienia wówczas, gdy przy układaniu tych funkcji będziemy rozpatrywać zawsze obciążenie tej części belki, która zawiera początek układu współrzędnych.

- każdy nowy człon funkcji momentów zginających dochodzący do funkcji momentów zginających przedziału poprzedniego MUSI zawierać mnożnik
, gdzie a oznacza współrzędną początku przedziału, w którym określamy moment zginający. Jeśli w punkcie belki o współrzędnej a nowym członem jest para sił o momencie M, wówczas w wyrażeniu na funkcję momentów zginających moment ten pomnożymy przez

- całkowanie równań różniczkowych należy przeprowadzić bez otwierania nawiasów.

- jeżeli wzdłuż belki przyłożone jest równomiernie rozłożone obciążenie ciągłe o natężeniu q, które kończy się przed zakończeniem belki, wówczas należy przedłużyć je do końca belki i przyłożyć odpowiednio równoważące obciążenie ciągłe o zwrocie przeciwnym.

Warunki podporowe :

x1=0 w=0

x1=m w=0

Po napisaniu równania momentów następuje zmiana znaków na przeciwne.

Po pierwszym scałkowaniu otrzymujemy równanie kąta obrotu, po drugim scałkowaniu, równanie linii ugięcia.

METODA ANALITYCZNO WYKREŚLNA

Kąt obrotu

Ugięcie

Zasady określania warunków podporowych:

- jeśli ugięcie w danym punkcie osi belki rzeczywistej równe jest zeru, to w odpowiadającym mu punkcie osi belki zastępczej moment zastępczy musi być równy zeru.

- jeśli kąt obrotu przekroju w danym punkcie osi belki rzeczywistej =0, to w odpowiadającym mu punkcie osi belki zastępczej poprzeczna siła zastępcza musi być równa zeru.

- jeśli w danym punkcie osi belki rzeczywistej ugięcie i kąt obrotu przekroju nie są =0, to w odpowiadającym mu punkcie osi belki zastępczej moment zastępczy i zastępcza siła poprzeczna nie może być równa 0.

Tok kolejnych czynności przy zastosowaniu metody analityczno-wykreślnej.

1. Wybór położenia układu współrzędnych

2. Obliczenie reakcji w podporach potrzebnych do sporządzenia wykresu momentów zginających

3. Sporządzenie wykresu momentów zginających belki rzeczywistej obciążonej obciążeniem rzeczywistym.

4. Dobranie schematu belki zastępczej

5. Obciążenie belki zastępczej obciążeniem zastępczym(tzn. wykresem momentów z belki rzeczywistej). Dodatnie pole wykresu momentów zginających traktujemy jako obciążenie skierowane zgodnie ze zwrotem pionowej osi układu współrzędnych

6. Wyznaczenie wartości reakcji zastępczych, które są niezbędne do określenia sił poprzecznych i momentów zginających od obciążenia zastępczego.

7. W celu określenia kąta obrotu przekroju w danym punkcie osi odkształconej belki rzeczywistej, należy wyznaczyć zastępczą siłę poprzeczną odpowiadającym temu punktowi punkcie belki zastępczej

8. Dla określenia ugięcia w danym punkcie osi odkształconej belki rzeczywistej, należy wyznaczyć moment zginający od obciążenia zastępczego w odpowiadającym temu punktowi punkcie belki zastępczej.

9. Znaki zastępczej siły poprzecznej i zastępczego momentu zginającego określamy zgodnie z zasadami dotyczącymi znaków sił poprzecznych i momentów zginających.

10. Określenie kąta obrotu przekroju i ugięcia belki rzeczywistej na podstawie podanych wcześniej wzorów.

ZAGADNIENIA STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Zagadnieniem hiperstatycznym przy zginaniu nazywamy taki przypadek, który występuje przy liczbie więzów ograniczających ruch obiektu większej od minimalnej liczby więzów niezbędnych do jego utrzymania w równowadze.

Aby określić liczbę wielkości hiperstatycznych, należy odjąć od liczby wszystkich niewiadomych sił reakcji więzów liczbę równań równowagi, odpowiadającą danemu układowi sił.

Tok postępowania:

1. Ustalenie liczby wielkości statycznie niewyznaczalnych - dla układu płaskiego n-3 wielkości statycznie niewyznaczalnych, dla układu płaskiego równoległego - n-2 wielkości hiperstatycznych.

2. Dla wielkości hiperstatycznych ustalamy schematy uproszczone, w których usuwamy te więzy, które dają reakcje niewyznaczalne, a następnie zastępujemy ich działanie siłami reakcji. Otrzymujemy wtedy układ statycznie wyznaczalny.

3. Dla uproszczonego schematu określamy przemieszczenia.

4. Układamy dodatkowe równania równowagi pozwalające obliczyć wielkości hiperstatyczne.

WYBOCZENIE

Wyboczenie pręta jest to wygięcie się jego osi (tzw. utrata stateczności) wywołane siłą ściskająca, działającą ściśle wzdłuż tej osi.

Typowe przypadki wyboczenia:

1. jeden koniec pręta zamocowany na stałe, drugi swobodny,

2. oba końce pręta zamocowane przegubowo,

3. jeden koniec pręta utwierdzony, drugi zamocowany przegubowo,

4. oba końce pręta utwierdzone,

ZAGADNIENIE EULERA

Określa zależności określające siłę krytyczną dla prętów ściskanych osiowo. Musza być spełnione założenia:

- materiał pręta jest jednorodny i izotropowy

- materiał pręta podlega prawu Hooka

- oś działania obciążenia idealnie pokrywa się z osią pręta.

Siła krytyczna Eulera - wartość najmniejszej siły utrzymującej pręt w postaci wyboczeniowej.(dla n=0)

Wartości sił krytycznych dla typowych przypadków wyboczenia.

1.

2.

3.

4.

Postać ogólna prawdziwa dla wszystkich przypadków wyboczenia:

lw - długość wyboczeniowa lw=α*w

α - współczynnik długości

naprężenia krytyczne

promień bezwładności

smukłość pręta

wyboczenie zachodzące przy smukłościach równych i większych od smukłości granicznej
nazywa się wyboczeniem sprężystym

ZALEZNOŚCI OPISUJĄCE WYBOCZENIE NIESPRĘŻYSTE

WZÓR TETMAJERA - JASIŃSKIEGO

Zakłada liniową zależność między naprężeniami krytycznymi a smukłością pręta w strefie poniżej smukłości granicznej.

Naprężenie zależy tylko od smukłości, a nie zależy od kształtu przekroju pręta

a,b - współczynniki doświadczalne o wartościach zależnych od rodzaju materiału

Postać wzoru po określeniu stałych:

WZÓR JOHNSONA- OSTENFELDA

Stosowany jest do obliczeń wyboczenia niesprężystego prętów wykonanych z materiałów bez wyraźnej granicy plastyczności. Zakłada się, że w strefie poniżej smukłości granicznej występuje paraboliczna zależność między naprężeniami krytycznymi a smukłością pręta

A,B - stałe

WZÓR JASIŃSKIEGO

Sprowadza obliczenia na wyboczenie do obliczeń na ściskanie

β - współczynnik zmniejszający

σ_dop - dopuszczalne naprężenia wyboczeniowe

kc - dopuszczalne naprężenia ściskające w pręcie

METODY ENERGETYCZNE

Przemieszczeniami uogólnionymi nazywamy wielkości charakteryzujące zmianę położenia punktów układu. Oznaczamy je q1,q2,…qn.

Siłami uogólnionymi Q1,Q2…Qn odpowiadającymi uogólnionym przesunięciom q1,q2,…qn nazywamy takie wielkości zależne od układu sił, dla których suma ich iloczynów przez nieskończenie małe przesunięcia σq1, σq2,… σqn. wyraża elementarną pracę.

Układ musi spełniać następujące warunki:

- materiał jest liniowo sprężysty

- układ znajduje się w równowadze

- przemieszczenia są małe

- na powierzchniach styku ruchomych części układu nie występują siły tarcia

Ogólna zależność na pracę sił uogólnionych Q1,Q2…Qn, wykonywanej na przemieszczeniach uogólnionych q1,q2,…qn, będących skutkiem ich działania

ENERGIA SPRĘŻYSTA UKŁADÓW CLAPEYRONA

Założenia:

-przemieszczenie uogólnione jest wprost proporcjonalne do wywołującej go siły uogólnionej

-zachowane są warunki stosowalności zasady superpozycji przy określaniu przemieszczeń uogólnionych wywołanych różnymi siłami uogólnionymi.

Układy Clapeyrona to takie układy, dla których przesunięcie uogólnione dowolnego punktu układu jest jednorodną liniową funkcją sił uogólnionych, a energia potencjalna odkształcenia sprężystego jest jednorodną kwadratową funkcją sił uogólnionych.

TWIERDZENIE CASTIGLIANA

Umożliwia określanie dowolnych przemieszczeń punktów układów sprężystych.

Pochodna cząsteczkowa energii sprężystej całego układu liniowo - sprężystego, względem jednej z niezależnie działających sił uogólnionych, jest równa przemieszczeniu uogólnionionemu odpowiadającemu tej sile.

TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA CASTIGLIANA

Jeżeli energię sprężystą wyrazimy jednorodną kwadratową funkcją przesunięć uogólnionych, wówczas można udowodnić twierdzenie, mówiące, że pochodna cząstkowa energii sprężystej względem przesunięcia uogólnionego równa się sile uogólnionej, odpowiadającej temu przesunięciu

TWIERDZENIE EULERA DLA JEDNORODNYCH FUNKCJI KWADRATOWYCH

Jeżeli funkcja F(x1,x2…xn) n zmiennych niezależnych xi jest funkcją jednorodną m-tego stopnia, to zachodzi równość:

TWIERDZENIE BETTIEGO

Zasada wzajemności prac

W przypadku działania 2 układów sił uogólnionych typu Clapeyrona praca sił jednego układu, na odpowiadających im przemieszczeniach uogólnionych wywołanych drugim układem, równa się pracy sił drugiego układu na odpowiadających im przemieszczeniach uogólnionych wywołanych przez układ pierwszy.

TWIERDZENIE MENABREI

Twierdzenie o minimum energii układów liniowo - sprężystych

-energia sprężysta

- wielkości statycznie niewyznaczalne

W układzie liniowo sprężystym pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu V względem wielkości statycznie niewyznaczalnej Xi jest równa 0

METODA MAXWELLA - MOHRA

Równanie M-M dla układów zginanych

Wzór M-M dla obciążeń złożonych:

Gdzie:

R, f - obciążenie wywołane odpowiednio obciążeniem rzeczywistym i fikcyjnym obciążeniem jednostkowym

Mg,mg - momenty zginające

Ms, MS - momenty skręcające

T,t - siły poprzeczne

N,n - siły normalne

k - liczba odcinków układu zależna od liczby przedziałów zmienności funkcji siłó wewnętrznych.

METODA WERESZCZAGINA str 266

Aby obliczyć ugięcie i kąt obrotu tą metodą konieczne jest sporządzenie wykresów momentów zginających od obciążenia rzeczywistego i jednostkowego obciążenia fikcyjnego

Należy obliczyć pole wykresu momentów od obciążenia rzeczywistego F^(R), a następnie znaleźć jego środek ciężkości. Mając tę wielkość odmierzamy ją ma wykresie momentów zginających od jednostkowego obciążenia fikcyjnego i dla tej współrzędnej znajdujemy wielkość η^(f)

Gdzie

η^(R) - wartość momentu zginającego pola rzeczywistego odpowiadająca położeniu środka ciężkości pola momentów fikcyjnych F^(f)

η^(f) - wartość momentu zginającego pola fikcyjnego odpowiadająca położeniu środka ciężkości pola momentów rzeczywistych F^(R)

w miejscu liczenia ugięcia przykładamy siłę jednostkową nie zmieniając geometrii belki, w miejscu liczenia kąta obrotu - moment jednostkowy

WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII POWŁOK

Powłoka - element konstrukcyjny o skrajnych powierzchniach zakrzywionych, w którym 2 wymiary liniowe są znacznie większe od trzeciego

Powłoki dzielimy na:

-cienkościenne - gdy promienie krzywizn są duże w porównaniu z grubością powłoki

-grubościenne - gdy powierzchnie krzywizn są porównywalne z grubością powłoki

ZAŁOŻENIA TEORII BŁONOWEJ

- grubość powłoki jest mała w porównaniu z jej pozostałymi wymiarami

- ugięcia powłoki są małe w stosunku do jej grubości

- punkty, które przed odkształceniem leżały na prostej prostopadłej do powierzchni środkowej powłoki, po odkształceniu znajdować się będą na prostej prostopadłej do odkształconej powierzchni środkowej

- naprężenia normalne, działające prostopadle do powierzchni środkowej są bardzo małe

-naprężenia równoległe do powierzchni środkowej są rozłożone równomiernie na grubości powłoki

- zachowana jest obrotowa symetria

RÓWNANIE LAPLACE'A

σ1,σ2 - naprężenia normalne

ρ1,ρ2 - promienie krzywizn

p - ciśnienie

g - grubość ścianki

OBLICZANIE RUR GRUBOŚCIENNYCH

Różnice od teorii błonowej:

-3D stan naprężenia

- nierównomierny rozkład naprężeń po grubości ścianki(poprzeczna niejednorodność)

- naprężenia promieniowe nie są już tak małe, aby można było je pominąć.

Rura grubościenna:

Odkształcenie promieniowe w odległości r od osi rury(przemieszczenie promieniowe jest funkcją u=u(r).)

Odkształcenie obwodowe

Naprężenia osiowe

a,b - stałe z warunków brzegowych.

WALCZAKIEM

Nazywamy zbiornik ciśnieniowy o kształcie walca zamkniętego dnami.

Z równania równowagi otrzymujemy naprężenie obwodowe

Wypadkowa sil zewnętrznych działających na dno zbiornika określona jest związkiem naprężenie wzdłużne

Porównując związki określające oba naprężenia zauważymy ze naprężenie obwodowe jest dwukrotnie większe od naprężenia wzdłużnego

4

---