Kłos Zbigniew

Współczynnik przenikania ciepła

Temperatura powietrza kopalnianego jest obok wilgotności i prędkości przepływu najważniejszym czynnikiem determinującym cieplne warunki pracy. Zmiany temperatury powietrza lub gazów pożarowych mają istotny wpływ na kształtowanie się ich gęstości, która może w istotny sposób wpływać na ilość i rozdział powietrza w kopalni a także niekiedy na kierunek przepływu.

Temperatura powietrza w poszczególnych wyrobiskach kopalń zależy od jego temperatury na wlocie do szybów, od szeregu różnych procesów wymiany ciepła i masy oraz od przemian termodynamicznych, którym podlega powietrze podczas przepływu. śród czynników wywołujących zmiany warunków klimatycznych a w szczególności temperatury, można wyróżnić następujące:

- zmianę entalpii powietrza w wyniku jego sprężenia lub rozprężenia w polu sił ciężkości Ziemi,

- wymianę ciepła między górotworem a przepływającym powietrzem,

- wydzielenie ciepła z mechanizmów i maszyn oraz urządzeń elektrycznych, zainstalowanych w wyrobisku,

- wymianę wilgoci i zmianę stany skupienia wilgoci w powietrzu,

- wydzielanie ciepła w wyniku egzotermicznych procesów utlenienia węgla lub innych skał,

- wymianę ciepła między sprężonym powietrzem w rurociągach i wypływającym z mechanizmów przez to powietrze napędzanych a powietrzem w wyrobisku.

Zmiana entalpii powietrza w wyniku jego sprężania zależy głównie od głębokości, gdyż ze wzrostem wysokości słupa powietrza następuje wzrost ciśnienia. Charakter oraz intensywność wymiany ciepła między powietrzem a otaczającym wyrobiska kopalniane górotworem zależy od wielu czynników, wśród których główną rolę odgrywa głębokość zalegania i związane z nią temperatura pierwotna skał, ilość powietrza płynącego wyrobiskami, okres przewietrzania wyrobisk, termiczne właściwości skał (pojemność cieplna, przewodność cieplna i przewodność temperaturowa), wymiary geometryczne wyrobisk, intensywność przejmowania ciepła od ociosów.

W czasie przepływu powietrza o temperaturze różniącej się od temperatury otaczających skał występuje wymiana ciepła między powietrzem i ścianami wyrobiska, w wyniku której zmienia się zarówno temperatura skał jak i powietrza. Temperatura powietrza w głebokiej kopalni jest zwykle niższa od temperatury skał otaczających, a w miarę upływu czasu ochłodzenie skał sięga coraz dalej w głąb górotworu. Ilość ciepła wymienianego między skałami a powietrzem zależy od procesów przenoszenia ciepła i masy w górotworze jak również od fizycznych właściwości skał. W celu określenia wpływu temperatury skał na temperaturę powietrza przyjmuje się szereg założeń upraszczających, ułatwiających obliczenia. Zakłada się, że górotwór jest ciałem stałym, jednorodnym, izotropowym, o własnościach cielnych niezależnym od temperatury i czasu. W rozważaniach nad przewodnictwem w ciałach stałych wprowadza się pojęcie natężenia strumienia cieplnego q.

W ciałach izotropowych natężenie strumienia cieplnego:

gdzie:

s - współczynnik przewodnictwa cieplnego,

V - temperatura w punkcie o współrzędnych x, y, z w chwili t.

Ze względu na trudność znalezienia temperatury górotworu i powietrza przyjmuje się, że przekrój poprzeczny wyrobiska jest kołowy o promieniu ro (w przypadku chodnika o przekroju niekołowym promień jest równy połowie średnicy hydraulicznej, ro = 2F/P). Postuluje się, że pole temperatury skał jest symetryczne względem osi przewodu s, a temperatura nie zależy od kąta kierunkowego współrzędnych walcowych. Przyrost temperatury skał na jednostkę długości w kierunku promienia (który w głębokiej kopalni jest rzędu 1K/m) jest znacznie większy od przyrostu w kierunku równoległym do osi wyrobiska. Wobec tego pomija się w bilansie energii ciepło przewodzone w kierunku równoległym do osi wyrobiska. Po tych założeniach bilans ciepła w skałach we współrzędnych walcowych ma postać:

i upraszcza się do postaci:

Zmienne niezależne przyjmują wartości z przedziałów:

gdzie:

r - promień wodzący w układzie współrzędnych walcowych,

s - współrzędna bieżąca, mierzona wzdłuż osi wyrobiska od wlotu wyrobiska w kierunku ruchu powietrza,

- długość wyrobiska,

t - czas przetwarzania wyrobiska,

- kąt kierunkowy współrzędnych walcowych,

a - współczynnik przewodnictwa temperaturowego górotworu równy

przy czym:

s - gęstość skał,

cs - ciepło właściwe skał.

Współczynnik przewodnictwa temperaturowego, zwany także współczynnikiem dyfuzyjności cieplnej lub współczynnikiem wyrównywania temperatur, jest ważnym parametrem charakteryzującym nieustalone procesy przewodnictwa cieplnego. W ciałach, które cechuje duża wartość a, procesy ogrzewania lub chłodzenia zachodzą "szybko", małe wartości współczynnika a, jakie cechuje skały, są charakterystyczne dla izolatorów cieplnych.

Wartości współczynników s i a dla skał polskich zagłębi górniczych przedstawiono w tabeli 1 i 2.

TABELA 1. Współczynnik przewodnictwa cieplnego skał s

Rodzaj skały	Górny Śląsk	Dolny Śląsk	Lubelskie Zagłębie Węglowe	Lubińsko-Głogowskie Zagłębie Miedziowe
Zlepieńce i Żwirowce	3.4	2.3
Piaskowce gruboziarniste	3.5	3.4	4.04	2.3
Piaskowce drobnoziarniste	3.1	2.9	2.5
Łupki piaszczyste	2.2	2.5
Łupki ilaste	2.1	1.9	1.5
Węgle kamienne	0.6	0.66	0.4
Wapień			2.8	3.0
Kreda pisząca			1.8
Dolomit				2.5
Margle miedzinośne				2.5

TABELA 2. Współczynnik przewodnictwa temperaturowego skał a

Rodzaj skały	Górny Śląsk	Dolny Śląsk	Lubelskie Zagłębie Węglowe	Lubińsko-Głogowskie Zagłębie Miedziowe
Zlepieńce i Żwirowce	1.6510-6	0.9010-6
Piaskowce gruboziarniste	1.5010-6	1.4510-6	1.6010-6	1.1010-6
Piaskowce drobnoziarniste	1.3010-6	1.2610-6	1.2010-6
Łupki piaszczyste	0.9010-6	1.0010-6
Łupki ilaste	0.8010-6	0.7610-6	1.0210-6
Węgle kamienne	0.3210-6	0.4710-6	0.3510-6
Wapień			1.2510-6	1.0510-6
Kreda pisząca			0.9510-6
Dolomit				1.2010-6
Margle miedzinośne				1.2010-6

Dla określenia zmian temperatury powietrza t, jakie zachodzą podczas przepływu powietrza wzdłuż wyrobisk kopalnianych, korzysta się z równania energii. Zakłada się, że temperatura powietrza zależy od jednej współrzędnej przestrzennej s, nie zmieniając się w przekroju poprzecznym wyrobiska. Zakłada się, że objętościowe natężenie przepływu powietrza Q jest stałe oraz pomija się zmiany energii kinetycznej wzdłuż osi przewodu. Równanie energii ma postać:

gdzie:

qs - ilość ciepła dopływająca do powietrza od skał na odcinku przewodu o jednostkowej długości w jednostce czasu,

qd - ilość ciepła dopływająca do powietrza na odcinku wyrobiska o jednostkowej długości, w

jednostce czasu, która nie jest uwzględniona poprzez qs.

Wzory powyższe wiążą pola temperatur skał oraz powietrza. W celu wybrania funkcji spełniających równanie przewodnictwa i energii takich które odpowiadają konkretnemu zagadnieniu, należy sformułować warunki graniczne dla równania przewodnictwa i początkowe dla równania energii. Pierwsze z tych warunków stanowią:

- warunek brzegowy, który podaje temperaturę skał w chwili rozpoczęcia przewietrzania, czyli temperaturę skał nienaruszonych robotami górniczymi,

- warunek brzegowy określający warunki wymiany ciepła pomiędzy skałami i powietrzem na powierzchni ociosów.

Temperatura pierwotna skał rośnie z głębokością. Fakt ten wynika z procesu przewodzenia ciepła z głębi Ziemi ku jej powierzchni. Pole temperatury pierwotnej górotworu jest ustalone i wobec tego strumień cieplny przewodzony z głębi Ziemi w danym miejscu jest dla każdej głębokości w kierunku pionowym taki sam, zatem w górotworze jednorodnym, izotropowym temperatura pierwotna masywu skalnego jest liniową funkcją głębokości. W ogólnym przypadku rozkład temperatury górotworu w skałach nienaruszonych robotami górniczymi podaje zależność, która uwzględnia zmiany przyrostu temperatury pierwotnej z głębokością i nachylenie wyrobiska (gdy nachylenie wyrobiska jest stałe, gradient temperatury pierwotnej skał nie zmienia swej wartości):

gdzie:

Vo - temperatura pierwotna skał,

Voo - temperatura pierwotna skał na wlocie do przewodu, to jest dla s=0; przyjmuje się, że temperatura pierwotna powierzchni Ziemi jest równa średniorocznej temperaturze powietrza atmosferycznego,

- odwrotność stopnia geotermicznego, czyli gradient temperatury pierwotnej skał.

Przejmowanie ciepła od skał opisuje warunek brzegowy trzeciego rodzaju:

gdzie:

- współczynnik przejmowania ciepła,

ro - promień hydrauliczny przewodu.

Przejmowanie ciepła przy przepływie przez rurę (kanał)

Przejmowaniem ciepła nazywa się wymianę ciepła między powierzchnią ciała stałego a opływającym go płynem. Proces taki występuje wtedy, gdy istnieje różnica temperatur między powierzchnią ciała a płynem. Przejmowanie ciepła następuje wskutek łącznego działania przewodnictwa, konwekcji, niekiedy także promieniowania ciepła. Gęstość strumienia ciepła wymienianego między powierzchnią ciała stałego a cieczą lub gazem podaje prawo Newtona:

gdzie:

q - gęstość strumienia cieplnego, W/m2

- współczynnik przejmowania ciepła, W/(m2K),

Vp - temperatura powierzchni ścianki ciała stałego,C,

T - temperatura płynu C,

Określenie współczynnika proporcjonalności w powyższym wzorze jest zagadnieniem trudnym, ponieważ zależy on od wielu parametrów, do których należą kształt i wielkość ciała, chropowatość jego powierzchni, rodzaj ruchu płynu i wiele innych. W związku z tym w wielu przypadkach wartości współczynnika przejmowania ciepła wyznacza się drogą eksperymentu. Wyniki tych doświadczeń są opracowywane według zasad teorii podobieństwa. Zależności między wielkościami opisującymi przejmowanie ciepła wyraża się za pomocą ogólnego równania między bezwymiarowymi liczbami podobieństwa:

Nu = Nu(Re, Pr, Gr, Fo)

gdzie:

Nu - liczba Nusselta, liczba podobieństwa cieplnego

Re - liczba Reynoldsa, liczba podobieństwa mechanicznego,

Pr - liczba Prandtla,

Gr - liczba Grashofa,

Fo - liczba Fouriera, liczba jednoczesności,

Liczbę podobieństwa określa się dla średniej temperatury płynu na wlocie i na wylocie z przewodu.

Liczba Reynoldsa jest bezwymiarowym parametrem podobieństwa przepływu płynu lepkiego. Określa ona stosunek sił bezwładności do sił lepkości. Małymi liczbami Reynoldsa charakteryzują się powolne przepływy bardzo lepkich płynów. W opisie ruchu tych przepływów nieliniowe składniki konwekcyjne odgrywają małą rolę. Dla każdej postaci przepływu istnieje taka krytyczna liczba Reynoldsa Rekr, że przy Re<Rekr możliwy jest przepływ laminarny. Na przykład w przypadku przepływu płynu przez rurę o kołowym przekroju poprzecznym krytyczna liczba Reynoldsa wynosi Rekr = 2200. W przepływie laminarnym zaburzenia ruchu płynów są tłumione. Przy zwiększaniu prędkości przepływ przestaje być stabilny i pod wpływem zaburzeń, które mogą być przypadkowe, przechodzi w ruch turbulentny. Zawirowania występujące w turbulentnym ruchu płynu prowadzą do znacznego wzrostu intensywności transportu masy, pędu i energii w porównaniu z przepływem laminarnym.

Liczba Prandtla zawiera wyłącznie fizyczne parametry przepływającego płynu: kinematyczny współczynnik lepkości i współczynnik wyrównywania temperatury a. Pierwszy z tych współczynników charakteryzuje wydajność procesu zamiany energii kinetycznej na ciepło, drugi stanowi miarę intensywności rozprowadzenia ciepła po całym płynie. W związku z tym liczba Prandtla określa podobieństwo strumieni płynu ze względu na wytwarzanie i rozprowadzanie w nich ciepła. Liczba Prandtla gazów dwuatomowych wynosi Pr = 0.7-0.73 i bardzo nieznacznie zmienia się z temperaturą, nie przekraczając jedności. W przypadku cieczy liczba ta zmienia się w bardzo szerokim zakresie. Dla wody w temperaturze 0 °C wynosi 13.7, przy 20 stopniach Pr=7.06, a przy 40 jest równa 4.3. W przypadku przepływu turbulentnego niekiedy wprowadza się liczbę Prandtla zawierającą lepkość turbulentną i współczynnik wyrównywania temperatury, którego wartość uwzględnia przenoszenie ciepła wynikające z pulsacji wektora prędkości przepływu.

Liczba Nusselta jest wielkością charakteryzującą podobieństwo przejmowania ciepła od płynu przez ściankę (wnikanie ciepła w ścianę). Podaje ona stosunek średniej wartości strumienia ciepła transportowanego przez konwekcję do strumienia przewodnictwa ciepła w płynie.

Doświadczenia wykazują , że przy wymuszonym opływie nagrzanej powierzchni przez płyn nieściśliwy liczba Nusselta jest funkcją liczb Reynoldsa i Prandtla:

Nu = f(Re, Pr)

Liczba Grashofa charakteryzuje naturalne unoszenie ciepła w ośrodku gazowym. Przedstawia ona stosunek siły wyporu do sił lepkości. Warunki oddawania ciepła przy konwekcji swobodnej podaje zależność:

Nu = f(Gr, Pr)

W przypadku przepływu laminarnego w rurze, przy liczbach Reynoldsa mniejszych od 2200, związek między liczbami prawdobieństwa podaje wzór:

Nu = 0.15 Re 0.33 Pr 0.43 Gr 0.1 (Pr/Prs) 0.25

gdzie:

Prs - liczba Prandtla w temperaturze równej temperaturze ścianki rurociągu.

W przypadku w pełni rozwiniętego przepływu turbulentnego w przewodzie o przekroju kołowym spełnione jest równanie kryterialne:

Nu = 0.023 Re 0.8 Pr 0.4

Powyższe wzory stosuje się także dla przewodów niekołowych. Wówczas jako charakterystyczny wymiar liniowy w liczbach podobieństwa występuje średnica hydrauliczna:

gdzie:

F - pole przekroju poprzecznego, m2,

P - obwód przewodu, m.

Podstawę wielu obliczeń dotyczących przepływów burzliwych płynów w rurociągach stanowi poniższy wzór.

Można go stosować przy

Podstawiając za liczby bezwymiarowe wielkości występujące we wzorach po zależności otrzymuje się:

= 0.023(p/d)(vd/) 0.8 (/a) 0.4 = Cv 0.8 d -0.2 W/(m2C)

gdzie:

C = 0.023 pv -0.4 a -0.4

Współczynnik C zależy tylko od właściwości fizycznych płynu. Wartość współczynnika C dla najczęściej stosowanych chłodziw oraz ciekłych czynników chłodniczych używanych w klimatyzacji kopalń przedstawia poniższa tabela 3.

TABELA 3. Wartość współczynnika C

T [C]	0	10	20	30	40	50
Rodzaj czynnika	C
powietrze woda R 717 R 11 R 12 R 21 R 22	3.74 1430 2756 637 715 751 802	2814 638 704 745 784	3.56 1880 2873 640 688 733 768	2930 641 671 718 741	3.46 2320 2990 642 651 700 708	3047 643 628 681 671

Wzór na współczynnik przejmowania ciepła może być stosowany także przy liczbach Reynoldsa zawartych w przedziale 2200-10000, odpowiadających przepływowi przejściowemu. Wartość wyliczoną za pomocą tego wzoru należy pomnożyć przez współczynnik poprawkowy , zależny od liczby Reynoldsa, podany w poniższej tabeli 4

TABELA 4. Wartość poprawkowa dla przepływu przejściowego.

Re	2500	3000	4000	5000	6000	7000	8000	10000
	0.44	0.60	0.78	0.87	0.94	0.98	0.995	1.0

W przewodach krótkich o stosunku długości do średnicy mniejszych od 50 współczynnik przejmowania ciepła oblicza się mnożąc wartość otrzymaną ze wzoru przez współczynnik poprawkowy 1 zależny od stosunku 1/d oraz od liczby Reynoldsa. Wartości współczynnika poprawkowego przedstawia poniższa tabela 5

TABELA 5. Wartości współczynnika poprawkowego 1 dla przewodu krótkiego.

1/d	1	2	5	10	15	20	30	40	50
Re	1
2103	1.90	1.70	1.44	1.28	1.18	1.13	1.05	1.02	1.0
1104	1.65	1.50	1.34	1.23	1.17	1.13	1.07	1.03	1.0
1105	1.28	1.22	1.15	1.10	1.08	1.06	1.03	1.02	1.0
1106	1.14	1.11	1.08	1.05	1.04	1.03	1.02	1.01	1.0

Na postawie badań przeprowadzonych między innymi przez Michiejewa czy Mac Adamsa liczba Nusselta przestawia wzór :

Nu = 0.0195 Re 0.8

Podstawiając do powyższego wzoru wartości liczbowe współczynników lepkości kinetycznej i przewodnictwa cieplnego powietrza o temperaturze 25C oraz na średnicę hydrauliczną do liczb Re i Nu otrzymuje się następujące wyrażenie na współczynnik przejmowania ciepła:

= 0.426 [ (vP)0.8/(F )0.2 ]

gdzie:

P - obwód wyrobiska,

F - pole przekroju poprzecznego przewodu.

Wartości liczbowe współczynnika przejmowania ciepła są przedstawione w poniższej tabeli 6.

TABELA 6. Wartości współczynnika przejmowania ciepła

V [m/s]	0.25	0.5	1.0	2.0	4.0	8.0	16.0
ro [m]	[W/m2K]
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0	0.12 1.12 1.07 0.97 0.93 0.90 0.86 0.85	2.22 2.72 1.87 1.69 1.62 1.56 1.51 1.47	3.87 3.37 3.26 2.91 2.80 2.71 2.63 2.56	6.75 5.87 5.58 5.12 4.88 4.71 4.57 4.45	11.75 10.22 9.87 8.90 8.51 8.21 7.95 7.75	20.45 17.81 17.20 15.50 14.82 14.29 13.85 13.49	35.02 30.48 29.46 26.54 25.38 24.47 23.73 23.11

Szczerbań prowadził badania, które pozwoliły wprowadzić współczynnik uwzględniający wzrost wartości współczynnika przejmowania ciepła wywołany chropowatością w stosunku do wartości odpowiadającej przewodowi gładkiemu. W przypadku zawilgocenia ociosów wymiana masy potęguje wymianę ciepła i w rezultacie następuje wyrównanie temperatur ścianki i powietrza. Przypadek taki odpowiada nieskończenie wielkiemu współczynnikowi przejmowania ciepła, a więc warunkom brzegowym pierwszego rodzaju (= ).

Literatura:

[1]Wacławik J., Cygankiewicz J., Knechtel J.,: Warunki klimatyczne w głębokich kopalniach, poardnik, PAN, Kraków 1995

[2]Wacłwik J., Roszcynailski W.,: Aerologia górnicza , PAN, Warszawa 1983

---