1. Czy każdy sygnał okresowy w postaci funkcji czasu można aproksymować trygonometrycznym szeregiem Fouriera?
Nie, musi spełniać warunki opisane poniżej:
Przypuśćmy, że
jest funkcją okresową o okresie T. Jeśli f spełnia następujące trzy warunki (zwane warunkami Dirichleta):
funkcja f jest bezwzględnie całkowalna, tzn.:
,
funkcja f w przedziale jednego okresu ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych,
funkcja f w przedziale jednego okresu posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju,
to f ma reprezentację w postaci szeregu Fouriera.
2. Co łączy trygonometryczny i wykładniczy szereg Fouriera i dlaczego w analizie procesów technicznych stosujemy obydwie postacie szeregu?
Trygonometryczny szereg Fouriera jest równoważny wykładniczemu szeregowi Fouriera i zawsze postać wykładniczą można przekształcić do postaci trygonometrycznej i odwrotnie. Wynika to z faktu, że każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej lub trygonometrycznej. Miedzy szeregami Fouriera trygonometrycznym i wykładniczym istnieje scisły zwiazek. Znajac jedna z postaci szeregu mozna wyznaczyc druga. Przejscia miedzy nimi mozna dokonac na podstawie zwiazków miedzy ich współczynnikami, wynikajacymi z porównania wzorów :
d0 = a0 , dn=(an-jbn)/2
Trygonometryczna postać szeregu Fouriera stosowana jest do interpretacji fizycznej, wykładnicza do obliczeń.
3. Jaką zaletę ma zastosowanie transformacji Laplace'a w rozwiązywaniu wektorowych równań różniczkowych?
1) transformata Laplace'a sprowadza równanie rózniczkowe do równania algebraicznego, które rozwiazując pozwala otrzymywać rozwiazanie zagadnienie poczatkowego bez koniecznosci znajdowania równan fundamentalnych równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego
2) Transformata Laplace'a umozliwia rozwiazywanie równan rózniczkowych zwyczajnych o stalych wspólczynnikach, w których funkcja wymuszajaca (prawa strona równania) jest nieciagla, w łatwy sposób.
Po zastosowaniu transformaty Laplace'a możemy łatwo wyznaczyć funkcję pierwotną wykorzystując do tego tablice transformat Laplace'a.
4. Jaką rolę spełnia funkcja Lapunowa w analizie stabilności układów dynamicznych? Porównaj ją z energią mechaniczną wahadła
Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to znaczy, że jest stabilny. Ponadto jeżeli mamy do czynienia z mocną funkcją Lapunowa, to układ jest asymptotycznie stabilny. Widać wieć, ze wyznaczenie funkcji Lapunowa pozwala na okreslenie stabilności układu i taka jest główna rola. Jeśli przyjmiemy, że całkowita energia wahadła jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej oraz po przyjęciu odpowiednich oznaczeń zapiszemy równanie, które będzie określać energię jako funkcję,to zauważymy, że jest ona dodatnio okreslona, a po wyznaczeniu pierwszej pochodnej z tej funkcji zobaczymy, że jest ona ujemnie określona , co oznacza, ze energia calkowita wahadla jest funkcją Lapunowa i pokazuje nam, ze układ wahadla jest stabilny -teoretycznie zygiemu się to nie podoba
5.Jakie działania na wzór ewolucji naturalnej występują w algorytmie genetycznym?
-selekcja
-krzyżowanie
-mutacja
6. Uzupełnij zdanie: jeżeli...........i..........., to w(n+1)=w(n)+η*u(n)
do zad.1: Warunki Dirichleta
1. Słaby - istnienia trygonometrycznego szeregu Fouriera (to że jest bezwzględnie całkowalna), taki wzór jak podał Piotrek, tylko mam jeszcze dopisane że c0, c1, c2, … to wartości skończone
2. Silny - zbieżności czyli skończona liczba max i min w nieciągłości
i takie wzorki:
f(t)=lim(przy t->to) suma od n=0 do nieskończoności cn*cos(n*w(omega)o*t+ (fi)n)
a w punktach nieciągłości f(t)=[f(to- (ten minus jest w indeksie górnym))+f(to+(jak poprzednio))]/2
do zad6: Jeżeli w^T(n)*u(n)<0 i u(n)nalezy do L1 to w(n+1)=w(n)+eta*u(n), gdzie w(n) to podobno wspólczynnik wagowy, eta to korekta, u(n) to sygnał, L1 to podzbiór sygnałów którym przypisywana jest wartość y=1